A natureza do raciocínio matemático

O raciocínio dedutivo teve origem na matemática grega, na qual a prova era obtida por um esquema dedutivo e axiomático, devendo-se aos gregos a criação da matemática como ciência racional (Harel & Sowder, 2007; Nápoles, 2000). No entanto, Aristóteles já considerava os dois tipos de raciocínio, o indutivo e o dedutivo, tendo-se dedicado ao estudo dos raciocínios dedutivos elementares que designou de silogismos e que foram a base do raciocínio sistemático até à época do Renascimento (Cohen & Manion, 1990; Nápoles, 2000). O facto de o silogismo se ter deixado de relacionar com a observação e com a experiência diminuiu a sua eficácia. E é no século XVII que Francis Bacon critica o modelo em vigor, propondo o modelo do raciocínio indutivo por meio do qual uma afirmação baseada no estudo de um número de casos individuais deve levar a uma hipótese e finalmente a uma generalização (Cohen & Manion, 1990). Segundo Oliveira (2002), pela indução baconiana através de uma só experiência pode ser induzido um determinado facto. Consequentemente, afirmam Cohen e Manion (1990), a ciência deixou de considerar a lógica e a autoridade como meios absolutos que conduzem à prova, passando estas a constituir fontes de hipóteses acerca do mundo e dos seus fenómenos.

Em termos de tipo de raciocínio, Polya (1968) distingue o raciocínio plausível, usado no processo de descoberta da prova, do raciocínio demonstrativo, usado na prova enquanto produto do processo criativo matemático. Refere, ainda, que a prova matemática aparece como puramente dedutiva, mas que ela é descoberta por raciocínio plausível, através de conjeturas.

Polya (1968) refere as vantagens da indução no processo de aprendizagem:

Induction results in adapting our mind to the facts. When we compare our ideas with the observations, there may be agreement or disagreement. If there is agreement, we feel more confident of our ideas; if there is disagreement, we modify our ideas. After repeated modification our ideas may fit the facts somewhat better. Our first ideas about any new subject

are almost bound to be wrong, at least in part; the inductive process give us a chance to correct them, to adapt them to reality. (p.55)

O autor acrescenta que essa adaptação mental é feita em paralelo com a adaptação da linguagem verbal, o que permite mudar a terminologia matemática e clarificar os conceitos. Foca, ainda, a utilidade do processo indutivo na situação, que por vezes ocorre na investigação matemática, de perante a formulação de um teorema, haver necessidade de lhe dar um significado mais preciso de modo a clarificá-lo. Também De Villiers (2003) considera que a exploração de conjeturas e de resultados de forma experimental contribui para melhor compreender o significado proposicional de um teorema.

Polya (1954) afirma no prefácio da sua obra Induction and Analogy in

Mathematics (volume I) que a matemática oferece uma excelente oportunidade para

aprender o raciocínio dedutivo e que o currículo da matemática escolar oferece uma grande oportunidade para aprender o raciocínio plausível. Compara o raciocínio dedutivo com o raciocínio plausível e conclui que o raciocínio dedutivo é seguro, é definitivo, segue códigos rígidos e não está sujeito a controvérsias e que o raciocínio plausível é controverso e provisório. Distingue-os, ainda, por no raciocínio dedutivo ser primordial distinguir uma prova de um palpite e no raciocínio plausível ser primordial distinguir entre um e outro palpite em termos de razoabilidade. O raciocínio indutivo é um caso particular do raciocínio plausível, e, segundo Polya (1968), é por indução que se chega da observação à conjetura.

Segundo Reid e Knipping (2010), identificaram-se, na investigação em educação matemática, três tipos de raciocínios como os mais importantes para ensinar e aprender a prova: o dedutivo, o indutivo, e a analogia. Estes autores propõem distinguir os diferentes raciocínios pelo modo como usam casos (observação específica contida numa condição), regras (proposição geral que afirma que se uma condição ocorre a outra também ocorre) e resultados (observação específica similar a um caso mas referindo-se a uma condição que depende de outra ligada por uma regra). Por condição os autores entendem a descrição de um atributo de alguma coisa ou uma relação entre atributos. Esta estrutura é a mesma dos silogismos, a qual envolve uma regra e um caso chegando a um resultado (o mesmo que duas premissas e uma conclusão). O mais usado em matemática é o silogismo condicional, cuja estrutura em lógica matemática é a da implicação (Nápoles, 2000).

No raciocínio dedutivo, um caso e uma regra implicam um resultado e no tipo de silogismo condicional há duas figuras: “Modus Ponens” (MP) ou “afirmação do antecedente” e “Modus Tollens” (MT) ou “negação do consequente”. No silogismo MP, o mais usado por ser mais intuitivo, se numa premissa em forma de implicação o antecedente é verdadeiro, infere-se que o consequente também é verdadeiro. No silogismo MT, se numa premissa em forma de implicação a negação do consequente é verdadeira, ou seja, se se provar que o consequente é falso, infere-se que o antecedente também o é. Nos silogismos tipo “Modus Ponens”, muitas vezes o caso também é uma regra geral ficando-se, então, com duas regras gerais, mas, quando o caso não é uma regra geral, então a dedução é uma particularização da regra (Reid & Knipping, 2010). De facto, uma dedução pode ir do geral para o particular ou do geral para o geral (Nápoles, 2000).

Tradicionalmente considera-se que o raciocínio dedutivo não conduz a novo conhecimento por toda a informação estar já contida nas premissas. Contudo, Reid e Knipping (2010) salientam que na sala de aula se encontram exemplos de raciocínio dedutivo com a função de explicar e mesmo de explorar. Estes autores, argumentam que os alunos podem experienciar a descoberta ao tornar algo que sabem implicitamente em conhecimento explicito. Salientam também o facto de uma particularização poder ser um raciocínio dedutivo quando uma afirmação geral se testa por particularização.

No raciocínio indutivo, um caso e um resultado (ou muitos casos similares associados com muitos resultados similares) levam a uma regra. Neste raciocínio parte- se de casos particulares e concluem-se regras gerais; usa-se o que se sabe para concluir sobre algo que não se sabe; todavia, o que se conclui é apenas provável e não é certo. Como refere Nápoles (2000), o raciocínio indutivo pode ser representado por um paralogismo (silogismo errado) condicional, no qual o grau de verosomilhança do antecedente aumenta quando aumenta o número de consequências sem nunca se chegar à certeza mas apenas à conjetura.

No raciocínio abdutivo um resultado e uma regra levam a um caso. Este raciocínio é o reverso do raciocínio dedutivo e o seu ponto de partida dá-se através de um caso surpreendente.

O raciocínio por analogia é definido por Polya (1968; 2004) como a perceção de aspetos semelhantes entre situações. O mesmo autor refere que as analogias atravessam todo o nosso pensamento. Reid e Knipping (2010) apontam algumas características importantes do raciocínio por analogia, a saber: a possível confusão com uma

generalização seguida de uma particularização; a possibilidade de ser usado para explorar e para explicar em matemática; a semelhança com a forma do raciocínio dedutivo implicando a dificuldade de os distinguir

Os alunos, quando colocados perante um desafio que os faça sentir a necessidade de descobrir, investigam a matemática e geram novo conhecimento pondo em ação todo o tipo de pensamento inferencial e não apenas o dedutivo (Oliveira, 2002).