A obtenção dos vetores de cointegração

De acordo com Andrade (2004) e Carlucci e Montaruli (2014), tendo um processo autorregressivo de ordem p para k variáveis:

37_{Em termos algébricos, a dimensão de qualquer matriz, por exemplo A (quadrada ou retangular) é definida}

Osório Chongo 66 Π 11· x1t −1 + Π 12. x2t−1 + … + A01+ ε1t

xt = A1 · xt −1 + A2 · xt −2 + ... + Ap· xt − p + εt (16)

Um arranjo básico, depois da subtração de xt−1 de ambos membros leva a seguinte

expressão:

∆ xt= (A1− I) · xt −1 + A2 · xt −1 + ... + Ap · xt − p + εt

Após esta operação, se desta vez efetuar-se a soma e subtração na mesma expressão por (A1 − I) · xt −2 chega-se a seguinte expressão:

∆ xt = (A1 − I) · ∆xt − 1 + (A2 + A1 − I) · xt −2 + ... + Ap· xt − p + εt

∆xt = (A1 − I) · ∆xt − 1 + (A2 + A1 − I) · xt −2 + ... + Ap · xt − p + εt

Novamente, se soma e subtração na mesma expressão (A2 + A1 − I) · xt−3

∆ xt = (A1 − I) · ∆xt − 1 + (A2 + A1 − I) · ∆ xt − 2 + (A3 + A2 + A1 − I) … + Ap· xt − p + εt

Esta expressão pode ser generalizada da seguinte forma:

∆ x_{t = ∑}𝑝−1_𝑖=1.Π. ∆ xt− 1 + Π · xt − p + εt (17)

𝚷 = −(𝐈 − ∑𝑷_𝒊=𝟏𝑨𝑖 ) (18) 𝚷𝐢 = −(𝐈 − ∑𝒊_𝒋=𝟏𝑨𝑗 ) (19) A característica de Π, fornece o número de vetores de cointegração. Neste contexto, deve- se ter em conta os seguintes pressupostos:

(i) No caso de ser nula a característica de Π, observa-se na prática um VAR normal.

(ii) Se for obtido o valor k, idêntico ao número das variáveis do modelo, então o vetor das variáveis é estacionário.

(iii) E por último caso seja obtido um valor situado entre 1 e k, então há evidências de se ter igual número de vetores independentes de cointegração.

Osório Chongo 67 O valor da característica daquela matriz é o número de valores próprios associados à matriz que são diferentes de zero. Sabe-se que os valores de λi se obtêm da resolução

de |Π − λ·I| e uma raiz nula implica que |Π| seja nulo, pelo que pelo menos uma coluna será não independente das restantes.

Seja λi é uma variável que representa o valor assumido pelo i. A sua ordenação em

termos de diversos valores assumidos por i (os valóres próprios), ordenados do maior para o menor, portanto de forma decrescente, pode ser descrita do modo seguinte: λ1 > λ2 > λ3... > λk

As seguintes constatações podem ser válidas:

(i) Se a característica for nula, todos os λi serão: ln (1 − λi) = 0

(ii) Se a característica for igual à unidade, então 0 < λ1 <1, e assim ln (1 − λ1) < 0 que corresponde à ln (1 − λj) = 0, para ∀j ≠ 1 para todas os outros valores

assumidos por i.

É neste contexto que é necessário conhecer quantos valores próprios ou assumidos de i obedecem à condição (1 − λi) ≠ 1. Para resolução deste problema, Johansen

propõe as estatísticas do traço (teste de traço) e do valóres próprios máximo para se testar quantos vetores cointegrantes existem.

Os autores Johansen e Juselius (1990) desenvolveram e postularam dois testes estatísticos como o objetivo central de descobrir o número de relações de cointegração de Yt: o teste de traço e o teste máximo de valóres próprios (Pfaff,

2008).

(I) O teste do traço ou razão de verossimilhança, tem como hipótese alternativa o fato de todas as séries serem estacionárias (este conceito foi previamente discutido no início desta parte da dissertação). Estes testes possuem uma distribuição χ2, com (n–r) graus de liberdade, dado por: ʎ_{𝑡𝑟𝑎ç𝑜(𝑟𝑜)} = −𝑇 ∑𝑛 𝑙𝑛(1 − ʎ_𝑡)

𝑖=𝑟𝜃+1 (20)

onde:

Osório Chongo 68 λi = Valores Próprios (ou eigenvalue).

Hipóteses subjacentes a equação (traço)

Nesse contexto, o teste de traço proposto por Johansen, a hipótese38 _{nula é de}

existência de rθ _{vetores de cointegração e a hipótese alternativa é de r> r}θ _vetores.

De maneira formal, é possível escrever: H0: r≤ rθ

H1: r > rθ

O rank ou característisca da matriz Π equivale ao número de suas raízes características que são diferentes de zero. Para esta matriz, caso não exista cointegração, os valóres próprios serão próximos de zero, o que evidencia a ausência neste caso ausência de estacionariedade da matriz Π, e ln(1 − ʎ𝑡): 0, o que implica

a não rejeição da hipótese nula.

Se λi é estatisticamente diferente de zero, então ln(1 − ʎ𝑡) será negativo. Logo, o

valor da estatística de traço será elevado, o que implica a rejeição da hipótese nula. O teste é crescente, isto é, inicia-se com a soma de desfasagens de 1 menos os valóres próprios, considerando, primeiramente, rθ _{= 0. Em termos práticos}39 _{a rejeição da}

hipótese nula implica a existência de mais de um vetor de cointegração. Continuando, parte-se para a soma dos 1 − n desfasagen de 1 menos os valóres próprios correspondentes, até o momento em que a hipótese nula não for mais rejeitada. Os valores críticos foram tabulados por Johansen e Juselius (1990) e Johansen (1991) e

38_{De uma forma mais precisa a Hipótese nula mostra que que o número de vetores de cointegração é menor ou}

igual a r, com r = 0, 1, 2, 3,4,5 … n.

39 _{Para determinar a classificação de co-integração r, segue-se uma sequência de testes. Primeiro, foi testada a}

hipótese nula de r = 0 contra r ≥ 1 para averiguar a existência de pelo menos uma relação de cointegração. Se não for rejeitada a hipoótese de r = 0, conclui-se que não há relações de cointegração ou tendências comuns entre as séries. Nesse caso, não é necessário um modelo VEC e sendo possível simplesmente usar um VAR nas diferenças da série (modelo de curto prazo).Se for rejeitada a hipótese nula de r = 0, no estágio inicial, pelo menos algumas das séries são cointegradas e sendo possivel determinar o número de relações de cointegração. O segundo passo consiste em testar a hipótese nula de que r ≤ 1 contra r ≥ 2. Se não for possivel rejeitar a hipótese de não mais do que uma tendência comum, então estima-se um sistema VEC. Se for rejeitada a hipótese a hipótese de que r ≤ 1, então procede-se ainda a testar r ≤ 2 contra r ≥ 3, e assim por diante. Por conviencia, escolhe-se r para ser o menor valor em que não se rejeita a hipótese nula que não há relações adicionais de cointegração.

Osório Chongo 69 mais recentemente Mackinnon, Haung e Michelis (1999) apresentam a tabela mais recente deste teste.

(I) O segundo teste é denominado de teste de valóres próprios e tende a apresentar resultados mais robustos que o teste de traço. Este teste alternativo chamado de valóres própriosmáximo pode ser interpretado como a diferença entre sucessivas estatísticas−traço, dado por:

ʎ𝑚𝑎𝑥. (r, r+1) = - T*ln(1-‘r+1) (21)

Hipóteses subjacentes a equação (alternativa) ʎ𝑡𝑟𝑎ç𝑜(𝑟𝑜)

Para este teste a hipótese alternativa é explícita de tal forma que pode ser testada a hipótese nula de que r = 0 contra a sua hipótese alternativa de que r = 1, e posteriormente a hipótese nula de que r = 1 contra a alternativa de que r = 2 e sucessivamente, neste contexto, a hipótese nula estabelece a existência de rθ vetores

de cointegração. Já a hipótese alternativa é de que existem rθ + r vetores de

cointegração, as hipóteses podem ser descritas do modo seguinte desta forma as hipóteses podem ser representadas da seguinte forma:

H0: r = rθ e H1: r = rθ+1

O problema será, então, maximizar a função de máxima verossimilhança, dada pela seguinte expressão: L (α, β, Ω) = IΩI-T/2 * exp {-1/2*∑ ( 𝑇 . 𝑖=1 µ0t + αβ´µkt) ´*Ω -1 *(µ0t + αβ´µkt)}40 (22)

Todas as variáveis aparecem em nível para a estimação. Para evitar o problema de regressão espúria, o procedimento comum em econometria é estimar o modelo de correção de erros.