A ordem do preditor

O preditor linear obtido pela solu¸c˜ao da Express˜ao 5.10 ´e um modelo AR que busca ter uma resposta em freq¨uˆencia t˜ao pr´oxima quanto poss´ıvel da Transformada de Fourier do sinal x[n] utilizado como base para sua constru¸c˜ao [62], de forma que espera-se que os p´olos do modelo sejam posicionados em freq¨uˆencias onde haja grande concentra¸c˜ao de energia. Isso significa que as tarefas de s´ıntese e de an´alise espectral se confundem, j´a que o modelo AR que melhor sintetiza um determinado sinal no dom´ınio do tempo ´e tamb´em o modelo AR que melhor descreve esse mesmo sinal no dom´ınio da freq¨uˆencia. O n´umero de p´olos do preditor est´a, portanto, ligado ao n´umero de sen´oides neces- s´ario para descrever x[n]. Cada par de p´olos complexo-conjugados ´e capaz de modelar

5.2 Predi¸c˜ao linear no dom´ınio do tempo 69

corretamente uma sen´oide - assim, um sinal harmˆonico composto de 20 sen´oides pode ser descrito por um modelo AR de 40 p´olos.

Quando se considera a presen¸ca de ru´ıdo, a necessidade por p´olos aumenta signifi- cativamente. A solu¸c˜ao da Express˜ao 5.10, em sinais ruidosos, leva `a obten¸c˜ao de um modelo AR no qual alguns p´olos relacionam-se n˜ao `as sen´oides que comp˜oem o sinal, mas `as sen´oides que melhor modelam o ru´ıdo. Dessa forma, o aumento da ordem do modelo AR n˜ao necessariamente implica na melhoria do modelo de sinal, embora, de fato, o erro quadr´atico total diminua conforme a Express˜ao 5.12.

Al´em disso, pode-se verificar que o aumento da ordem do modelo AR implica na utiliza¸c˜ao de mais amostras da autocorrela¸c˜ao. Analisando-se a express˜ao 5.11, pode-se verificar que rxx[k], com o aumento de k, ´e calculado levando-se em considera¸c˜ao menos amostras reais de x[n]. Dessa forma, a estimativa de rxx[k] degrada com o aumento de k, e, portanto, a qualidade dos coeficientes obtidos decai.

Isso significa que o aumento da ordem do modelo AR permite a obten¸c˜ao de sinais mais complexos (em rela¸c˜ao ao n´umero de sen´oides que o comp˜oe), embora isso implique na degrada¸c˜ao da qualidade da estimativa. Encontramos, assim, um compromisso de acordo com o qual um n´umero de p´olos muito pequeno n˜ao ´e capaz, matematicamente, de modelar o sinal, ao passo que um n´umero excessivo de p´olos modela o sinal de forma inadequada.

Na maior parte das aplica¸c˜oes, a melhor ordem poss´ıvel do preditor linear ´e um parˆametro desconhecido [62], e, portanto, deve ser determinado de forma emp´ırica. Em trabalhos anteriores, j´a foram utilizados preditores de ordem 12 para predi¸c˜ao de voz [64], ordem 18 para s´ıntese de violoncelo, violino e viola [65], ordem entre 20 e 50 para s´ıntese de instrumentos de forma geral [66]. Em todos esses trabalhos, foi realizada uma investiga¸c˜ao extensiva sobre o melhor n´umero de p´olos para obter resultados espec´ıficos.

´

E necess´ario perceber que o modelo AR obtido pela aplica¸c˜ao da recurs˜ao de Levinson- Durbin sobre um pequeno quadro de ´audio busca reproduzir n˜ao uma simples soma de sen´oides, mas uma soma de sen´oides multiplicadas por uma janela no dom´ınio do tempo. Dessa forma, pode ser necess´ario o uso de um n´umero bastante elevado de p´olos, capaz de modelar um sinal que ´e nulo para todas as amostras tais que n < 0 ou n > N − 1 - o que envolve n˜ao s´o p´olos que modelam o comportamento harmˆonico do sinal, mas tamb´em p´olos que modelam a multiplica¸c˜ao por uma janela de dura¸c˜ao finita. Neste trabalho, simula¸c˜oes mostraram ser necess´ario um n´umero bastante elevado de p´olos para obter resultados satisfat´orios na estima¸c˜ao de freq¨uˆencias.

70 Melhoria da resolu¸c˜ao em freq¨uˆencia usando predi¸c˜ao linear

sinais cosseno de amplitude 1₂ e freq¨uˆencias iguais a 50, 95, 100 e 105 Hz foi sintetizado e amostrado a 44100 Hz. Trˆes formas de an´alise foram aplicadas a esse sinal, como pode ser visto na Figura 5.1. A primeira forma foi a TDF expandida com zeros, na qual o sinal foi multiplicado por uma janela de Hanning e expandido com zeros at´e dez vezes o seu comprimento original. A seguir, foram obtidos dois modelos AR para esse mesmo sinal, de ordem 2000 e 4000, gerando duas respostas em freq¨uˆencia que tamb´em foram utilizadas para analisar o sinal.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 1000 2000 3000 Freqncia (Hz) Magnitude TDF / Janela Hanning Modelo AR / 2000 Modelo AR / 4000 Componentes reais

Figura 5.1: Compara¸c˜ao de diferentes formas de an´alise de um mesmo sinal: TDF do sinal multiplicado por janela Hanning e resposta em freq¨uˆencia de modelos AR de ordem 2000 e 4000. Impulsos correspondentes `as componentes reais do sinal s˜ao mostradas.

Inicialmente, ´e poss´ıvel perceber que os dois preditores levam `a gera¸c˜ao de picos mais agudos que a TDF correspondentes `as componentes senoidais desejadas. Tamb´em, na regi˜ao pr´oxima a 50 Hz, verifica-se que o preditor de ordem 2000 gerou uma resposta em freq¨uˆencia com um ´unico pico sobre a freq¨uˆencia esperada para a sen´oide, enquanto o preditor de ordem 4000 gerou uma resposta em freq¨uˆencia com dois picos. Na regi˜ao pr´oxima a 100 Hz, ´e importante perceber que, embora o modelo AR de ordem 4000 tenha sido capaz de modelar corretamente os trˆes picos esperados, os dois picos apresentados pelo modelo de ordem 2000 s˜ao mais pr´oximos dos valores reais.

Assim, a ordem de modelo escolhida para aplica¸c˜ao num caso real dever´a ser por volta de 2000, embora esse valor dependa de testes emp´ıricos posteriores.