A relatividade da Simultaneidade

O conceito de simultaneidade está relacionado com a ocorrência de dois eventos de maneira concomitante, ou seja, ao mesmo tempo. Na relatividade de Galileu, se dois eventos ocorrem de maneira simultânea para um sistema de referencial inercial, então estes eventos também ocorrerão de maneira simultânea para quaisquer outros sistemas de referencial inerciais. Desta forma, pode-se dizer que a simultaneidade de eventos não é relativa na relatividade galileana.

A simultaneidade de eventos ocorre desta maneira na relatividade galileana devido ao fato que independentemente do referencial inercial adotado o tempo transcorre da mesma maneira para todos eles. Porém, na relatividade restrita o tempo transcorre de maneiras distintas para referenciais inerciais distintos, ou seja, o tempo é relativo. Assim, para dois observadores que se encontram em sistemas referenciais distintos, dois eventos podem ocorrer de maneira simultânea para um observador e de maneira não simultânea para outro. Um experimento mental (gedanken) proposto pelo próprio Einstein servirá para ilustrar o exposto acima.

Considere um trem movendo-se com uma velocidade _{em relação ao solo e que ambos os sistemas} de referência, do trem e do solo, sejam inerciais. Existem dois observadores, cada um deles está em repouso em um dos referenciais. Em determinado instante, dois raios atingem cada uma das extremidades do trem, deixando marcas no trem e no solo, ou seja, os raios marcam as extremidades do trem e as posições no solo onde elas se encontravam naquele determinado instante, como pode ser visto na Figura 6a. Os observadores posicionados nos referenciais se encontram ambos no ponto médio entre as extremidades do trem atingidas pelos raios.

Figura 6: Trem se deslocando com velocidade em relação ao solo. (a) para o observador no solo os dois raios atingem as extremidades do trem no mesmo instante. (b) as ondas luminosas provenientes das duas extremidades do trem chegam simultaneamente ao observador que se encontra no solo. Fonte: (JANIS, 1983).

Supondo que os dois raios são simultâneos no sistema de referência no solo e considerando o postulado da invariância da velocidade da luz, as ondas luminosas provenientes dos raios e viajando no vácuo atingiram o observador em solo ao mesmo tempo Figura 6b. Contudo, entre o instante em que os raios atingem as extremidades do trem e a recepção da onda luminosa pelo observador no solo, o trem se desloca. Desta forma, em um instante posterior, a onda luminosa proveniente do raio que atinge a frente do trem chegará ao observador que se encontra no trem primeiro do que a onda luminosa proveniente da traseira do trem. Pode-se concluir com este experimento mental que eventos simultâneos em um determinado referencial não serão simultâneos em outro. Para uma leitura mais detalhada sobre o assunto, sugere-se o artigo escrito por Janis (1983).

Apresenta-se em seguida a demonstração matemática que relaciona a análise para o caso não relativístico e o caso relativístico para o fenômeno da simultaneidade5. Analisando a Figura 7, obtidas a partir da animação sobre simultaneidade6, acrescidas das anotações pertinentes, considere que a nave se desloca para a direita com velocidade de módulo _{em relação ao referencial S (em repouso em relação a plataforma). A} nave se encontra em repouso em relação a um referencial S’ que se move com a mesma velocidade em relação à plataforma.

5 _{Usada por Paulo Farinas e Nelson Studart na disciplina introdutória de Física Básica para alunos de Física e}

Engenharia Física na UFSCar.

(a) (b) (c)

Figura 7: Imagens da animação sobre simultaneidade de eventos relativísticos. (a) posição em que o gravador de dados se encontra equidistante dos maçaricos A e B. (b) instante em que o pulso luminoso proveniente do maçarico B atinge o gravador de dados. (c) instante em que o pulso luminoso proveniente do maçarico A atinge o gravador de dados. Fonte: Notas de aula de Paulo Farinas e Nelson Studart na disciplina introdutória de Física Básica para alunos de Física e Engenharia Física.

Para o caso não relativístico e considerando um observador em repouso em relação ao referencial S, é de fácil verificação, a partir das figuras que,

e (12) Que por sua vez resultam em,

e

Para o caso não relativístico, considerando um observador em repouso em relação ao referencial S’, obtém-se,

e (14) Para os casos não relativísticos considerados, as transformações galileanas são válidas, onde:

(15) A simultaneidade dos pulsos no referencial S implica necessariamente na mesma simultaneidade no referencial S’, pois:

(16) Substituindo as transformações galileanas (14) em (13), obtém-se:

(17) Desta forma, pode-se dizer que a adição de velocidades é compatível com as transformações galileanas. A frente de onda que sai do ponto B viaja mais rápido em relação à nave e alcança o gravador de dados antes, enquanto a frente de onda que sai do ponto A viaja mais lentamente em relação à nave e demora mais para alcançar o gravador de dados.

Para a demonstração do caso relativístico será utilizado o postulado da invariabilidade da velocidade da luz proposto por Einstein, onde:

(18) ou seja, a velocidade da luz é a mesma em qualquer referencial inercial, independentemente do movimento relativo da fonte. As equações apresentadas em (15) ainda são válidas, porém adotando o postulado acima, obtém-se a igualdade:

(19) Desta forma, adotando-se o referencial S’, pode-se dizer que o intervalo de tempo gasto para a frente de onda viajar do ponto A até o gravador de dados é o mesmo que outra frente de onda demora para viajar do ponto B até o gravador. Isto ocorre devido à simetria do problema (ambas as frentes de onda percorrem uma distância ⁄ e nesta situação a velocidade de propagação da frente de onda independe do movimento da nave. Para o observador em repouso em relação ao referencial inercial S’, as frentes de onda provenientes de A e B chegam ao gravador de dados em tempos diferentes, ou seja, . Assim, pela igualdade apresentada

em (19), constata-se que , resultando que as frentes de onda emitidas nos pontos A e B não ocorrem de maneira simultânea.