A representação e o seu papel na aprendizagem das funções

2.3.1. O conceito de representação

Em Matemática, uma representação pode ser vista como uma configuração (de carateres, imagens, objetos concretos…) que representa algo (Goldin, 2008). Representações de vários tipos do mesmo conceito favorecem a compreensão do conceito bem como da representação, e por isso assumem maior significado se forem vistas como parte de um sistema mais amplo, com significados e convenções estabelecidos e com uma estrutura que permita relacionar de forma significativa diferentes representações pertencentes ao mesmo sistema (Goldin & Shteingold, 2001).

Segundo (Goldin, 2008), é possível fazer-se uma distinção entre sistemas de representação externa e sistemas de representação interna. Os sistemas de representação externa referem-se a configurações observáveis, incluindo, as linguagens naturais normativas, os sistemas matemáticos gráficos, referentes a diagramas e de notação formal, os ambientes de aprendizagem estruturados, que podem incluir materiais manipuláveis concretos ou tecnologias, e as estruturas socioculturais, como as hierarquias políticas ou os sistemas educativos. Os sistemas de representação interna referem-se a configurações mentais dos indivíduos, incluindo a linguagem natural, a capacidade de construir imagens visuais e espaciais, as representações tácteis e cinestésicas, as heurísticas para a resolução de problemas, as conceções e o afeto.

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Na perspetiva de Duval (2006), a comunicação em Matemática estabelece-se com base em representações. Ao contrário de outras áreas do conhecimento, os objetos matemáticos são abstratos e por isso não são imediatamente percetíveis ou observáveis com o auxílio de instrumentos, tornando-se necessário recorrer a representações semióticas que possibilitem a sua aprendizagem. Na opinião deste autor, o problema da compreensão matemática está relacionado com um conflito cognitivo que surge do facto dos objetos matemáticos apenas serem acessíveis através de representações. Nesse sentido, é fundamental para o progresso da aprendizagem, que o aluno seja capaz de distinguir o objeto representado, da sua representação. No que respeita à transformação de representações, o mesmo autor defende que, para se compreenderem as dificuldades de aprendizagem torna-se necessário distinguir dois tipos de transformações: (i) o tratamento; e (ii) a conversão. Os tratamentos são transformações de representações dentro do mesmo registo, por exemplo, simplificação de expressões analíticas. As conversões são transformações entre diferentes registos, por exemplo, a passagem da expressão analítica de uma função para a sua representação gráfica. O autor acrescenta ainda que a complexidade cognitiva subjacente ao processo de pensamento Matemático reside no facto de existirem duas formas de transformação tão distintas.

Segundo o NCTM (2007), “o termo representação refere-se (...) à aquisição de um conceito ou de uma relação matemática expressa numa determinada forma e à forma, em si mesma” (p. 75). O documento refere ainda que “quando os alunos conseguem aceder às representações matemáticas e às ideias que elas expressam, ficam com um conjunto de ferramentas que aumentam significativamente a sua capacidade de pensar matematicamente” (p.75).

2.3.2. Representações no ensino da Matemática

As representações têm vindo a assumir destaque nas orientações curriculares para o ensino da Matemática. No NCTM, a norma específica dedicada à representação matemática considera como objetivos de aprendizagem, desde o pré- escolar até ao 12.º ano: (i) criar e usar representações para organizar, registar e comunicar ideias matemáticas; (ii) selecionar, aplicar e traduzir representações

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matemáticas para resolver problemas; e (iii) usar as representações para modelar e interpretar fenómenos físicos, sociais e matemáticos (2007, p. 75). Segundo este documento, é preciso que os alunos sejam estimulados para a representação das suas ideias, mesmo que inicialmente o façam recorrendo a formas não convencionais, mas é importante que eles aprendam formas de representação convencionais de forma a facilitar a sua aprendizagem e a comunicação das suas ideias.

O programa de Matemática do Ensino Básico valoriza igualmente a representação. Neste documento é apresentado como objetivo geral do ensino da Matemática, os alunos serem capazes de lidar com ideias matemáticas em diversas representações, devendo ser capazes de: (i) ler e interpretar representações simbólicas, pictóricas, tabelas e gráficos, e apresentar adequadamente informação em qualquer destas formas de representação; (ii) traduzir informação apresentada numa forma de representação para outra, em particular traduzir para termos matemáticos informação apresentada em linguagem natural; (iii) elaborar e usar representações para registar, organizar e comunicar ideias matemáticas; e (iv) usar representações para modelar, interpretar e analisar situações matemáticas e não matemáticas, incluindo fenómenos naturais ou sociais (2007, pp. 4-5). O documento refere-se ainda à importância das representações matemáticas na aprendizagem e à importância do trabalho com múltiplas representações.

Diversos autores defendem a utilização de múltiplas representações para o desenvolvimento de uma melhor compreensão dos conceitos matemáticos. Por exemplo, Friedland e Tabach (2001) acreditam que o trabalho com várias representações permite eliminar as limitações de cada uma delas, tornando “o processo de aprendizagem da Álgebra mais significativo e efetivo” (p. 173). Estes autores distinguem quatro modos diferentes de representação, que consideram ser essenciais no ensino da Matemática e mais especificamente no ensino da Álgebra: (i) a representação verbal; (ii) a representação numérica; (iii) a representação gráfica; e (iv) a representação algébrica. Apresentam ainda as seguintes vantagens e desvantagens associadas a cada uma delas: (i) a representação verbal está normalmente associada à apresentação do problema e à interpretação final dos resultados obtidos. Dá ênfase à conexão da Matemática com outras áreas do conhecimento e entre a Matemática e o quotidiano. Tem a desvantagem de não ser uma representação universal, o que pode criar obstáculos a nível da comunicação matemática; (ii) a representação numérica é uma representação natural, utilizada no

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início do estudo da Álgebra e que geralmente precede qualquer outro tipo de representação. É importante na compreensão inicial de um problema, mas pode por vezes constituir uma limitação por não ser generalizável; (iii) a representação gráfica proporciona uma imagem clara da função. É uma forma de representação intuitiva e apelativa devido ao seu carácter visual. Em contrapartida, é muito influenciada por fatores externos, como por exemplo escalas; e (iv) a representação algébrica é concisa, geral e efetiva na apresentação de padrões e modelos matemáticos e muitas vezes é o único método de justificar e estabelecer generalizações. No entanto, esta representação que utiliza exclusivamente símbolos algébricos pode ocultar o significado matemático ou a natureza do objeto e dificultar a compreensão dos resultados.

Relativamente às tarefas, Friedlander e Tabach (2001) acreditam que a sua natureza pode influenciar muito a utilização das várias representações por parte dos alunos. Sugerem que para levá-los a utilizar as várias representações, as tarefas devem possuir algumas características, tais como: (i) situações problemáticas devem ser apresentadas através de diferentes representações de forma a encorajar a flexibilidade na escolha da representação; (ii) questões de natureza reflexiva podem ajudar os alunos a distanciarem-se do trabalho efetuado e a avaliarem as escolhas efetuadas; e (iii) questões de natureza investigativa podem ajudar os alunos a familiarizarem-se com uma determinada representação inicial, a estabelecer relações entre representações e finalmente a selecionar uma representação final e definitiva.

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