Isabel Vale
Escola Superior de Educaçao, Instituto Politécnico de Viana do Castelo
Teresa Pimentel
Escola Superior de Educaçao, Instituto Politécnico de Viana do Castelo
Os professores, durante o processo de ensino e aprendizagem da matemática escolar, devem valorizar, e encorajar os seus alunos a utilizar, uma diversidade de ferramentas de modo a promover a compreensão e a discussão dos conceitos matemáticos. Entre essas ferramentas situam-se as representações (NCTM, 1991; NCTM, 2000). De facto, entende-se que fazer matemática pressupõe o uso de várias representações de uma ideia e da resolução de um problema de modo a poder comunicar o pensamento. Toda a atividade matemática necessita de recorrer a representações, sendo estas entidades usadas para explicar algo e constituindo um importante meio para o desenvolvimento de uma aprendizagem matemática com compreensão, uma vez que facilitam o acesso, por parte de todos os alunos, a ideias abstratas, à linguagem e ao raciocínio. Assim, para facilitar a aprendizagem, os professores devem saber como interpretar e representar os conceitos matemáticos que pretendem que os seus alunos aprendam. De certo modo, pode-se dizer que as representações são a linguagem da matemática (Friedlander & Tabach, 2001) ou então que muita da aprendizagem matemática é, de fato, uma aprendizagem sobre representações (Diezmann & McCosker, 2011). A sua utilidade na aprendizagem da matemática torna-se notória se se olhar uma representação não somente como uma imagem (e.g. gráfico, tabela, diagrama) mas como um processo de iluminação de uma ideia. Em particular, a interpretação e tradução de representações são ações que promovem o pensamento dos alunos ajudando-os a construir imagens mentais dos conceitos matemáticos.
Muitos autores recomendam que se utilizem múltiplas representações desde muito cedo na aprendizagem dos conceitos, pois o uso limitado dessas representações pode conduzir a obstáculos no processo de uma aprendizagem significativa. Por exemplo, como refere Kieran (1992) isto acontece no ensino da álgebra quando se utiliza apenas expressões simbólicas.
Mais especificamente podemos referir situações em que as múltiplas representações podem promover a aprendizagem: (a) é altamente provável que diferentes representações
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expressem diferentes aspetos de forma mais clara e, por isso, a informação obtida a partir de representações que combinam será maior do que a que pode ser adquirida partir de uma representação única; (b) várias representações limitam-se umas às outras, de modo que o espaço para operar em cada uma torna-se menor; e (c) para relacionar múltiplas representações, o aluno tem de se envolver em atividades que promovam a compreensão. De acordo com alguns autores (Behr, Harel, Post & Lesh 1992; Lesh, Post & Beher, 1987; Tripathi, 2008) podemos identificar cinco tipos de representações que ocorrem durante a aprendizagem matemática e a resolução de problemas e que são do tipo: contextual (situações da vida real); concreto (manipulável); semiconcreto (pictórico); verbal (linguagem); e simbólico (notação). Esta classificação ajuda a diferenciar as muitas formas de um conceito matemático, mas também indica como desenvolver as capacidades necessárias na compreensão de um conceito. Cada uma das representações é uma manifestação de um aspeto do conceito e envolve diferentes níveis cognitivos. Assim, a representação é rica se contém bastantes aspetos ligados ao conceito. Uma representação matemática apenas ilustra muitas das vezes um dos aspetos do conceito. Só temos uma imagem holística do conceito quando olharmos para essa ideia a partir de diferentes perspetivas. À medida que o número de pontos de vista aumenta desenvolvemos uma visão do conceito mais rica e profunda. Representar um conceito é criar uma imagem dele. A visualização é um dos processos pelo qual as representações mentais podem aparecer.
Os conceitos matemáticos surgem da interação entre o sistema de signo/símbolo e os contextos de referência/objetos. Esta simbologia está ligada ao que Dreyfus (1991) distingue na atividade matemática como sendo as representações simbólicas. Além destas, aquele autor ainda considera as representações mentais. Estas ocorrem quando falamos ou pensamos sobre qualquer objeto ou processo matemático e que cada um de nós relaciona com algo que tem em mente. É outra forma de utilizar os objetos matemáticos. Enquanto que a representação simbólica é escrita, ou falada, com a finalidade de facilitar a comunicação sobre o conceito, uma representação mental refere- se a esquemas internos que uma pessoa usa para interatuar com o mundo exterior e que pode diferir de pessoa para pessoa.
Sendo o professor o principal agente de mudança na sala de aula, debrucemo-nos na figura do professor. Este detém um conhecimento profissional que vai evoluindo e que está orientado para uma atividade prática – ensinar matemática. Deste modo, embora envolva vários tipos de conhecimento sobre a matemática e o seu ensino e também educacionais, interessa-nos sobretudo o que se refere à prática letiva, aquele em que se faz sentir de modo mais forte a especificidade da disciplina de matemática e que designamos por conhecimento didático (Ponte, 2008).
É consensual que os professores precisam de ter um conhecimento de conteúdo profundo uma vez que vai afetar o que ensinam e como ensinam (Ponte & Chapman, 2008). Esta
ideia é também assinalada por Ma (1999) quando argumenta que para compreender e explicar os conceitos matemáticos e para estabelecer conexões para além desse conceito tem de deter um profundo conhecimento da matemática fundamental. A compreensão da relação entre ideias simples e fundamentais em matemática reflete-se num ensino unificado dos conhecimentos em vez de um ensino fragmentado de tópicos isolados. Também a consideração de múltiplas perspetivas e diferentes abordagens a ideias matemáticas conduz a uma compreensão flexível da disciplina.
No entanto, o importante não é a quantidade de matemática que se trabalha em qualquer programa de formação (inicial, contínua, etc.) mas sim as oportunidades que são dadas a esses professores de descompactar o conhecimento matemático de modo a torná-lo compreensível para os alunos. Esta ideia de descompactar o conhecimento matemático é apresentada por Hill, Ball e Schilling (2008) como forma de promover o conhecimento didático.
É aqui que se espelha a importância das representações na prática letiva. Os professores utilizam várias representações na sua prática e estas influenciam o modo como os alunos compreendem os conceitos. Para ir de encontro a uma utilização eficaz de múltiplas representações o professor deve ter um conjunto específico de tarefas e de questões para as desenvolver e aplicar.
Neste sentido, este grupo surge como um espaço onde pretendemos desenvolver uma maior compreensão sobre a investigação que incide sobre as representações matemáticas e as suas ligações com o conhecimento profissional do professor, através das discussões suscitadas pelos estudos apresentados pelos participantes.
As comunicações recebidas, em pequeno número, debruçam-se todas sobre o conhecimento matemático dos professores, com um enfoque substancial no conhecimento matemático para ensinar na linha de Ball, Thames e Phelps (2008). Distribuem-se pelos temas matemáticos da Geometria, da Estatística e dos Números Racionais. Três desenvolvem-se no âmbito da formação inicial de professores e uma abrange a formação contínua. As outras duas estudam professores em serviço. Esta disparidade dificultou a organização do grupo de discussão por temas.
Optou-se por escolher para o primeiro momento estudos no âmbito da formação inicial de professores com o tema da Geometria. O trabalho de Giraldo, Neto, Corrêa e Ribeiro incide sobre a articulação entre representações geradas por tecnologias digitais e outras formas de representações para conceitos matemáticos e o modo como o conhecimento combinado de conteúdo e tecnológico de alunos de um curso de formação inicial de professores pode auxiliar na tomada de decisões. A comunicação de Brunheira e Ponte incide numa experiência de formação com futuros professores com foco na classificação de quadriláteros, estudando a compreensão dos alunos das propriedades das figuras bem como os fatores que influenciam essa compreensão. No segundo momento conta-se o trabalho de Ribeiro e Montes em que se estudam tarefas envolvendo números racionais e
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a análise por futuros professores das múltiplas representações usadas pelos alunos nas respostas que dão. Por seu lado, a comunicação de Nakayama abrange alunos de cursos de Pedagogia e professores da rede pública tendo por base a identificação e análise dos mitos que sustentam as suas representações. Por fim, o trabalho de Ribeiro, Powell e Caldeira refere-se aos contributos duma formação contínua em geometria baseada na modelação para o conhecimento matemático para ensinar.
No terceiro momento, o trabalho de Duque, Martins, Coelho e Vale relata um estudo incidente em representações estatísticas de crianças do pré-escolar, com resultados sobre o conhecimento estatístico para ensinar de professores em serviço. Por último, o trabalho de Gonçalves e Gomes analisa as produções escritas de professores do primeiro ciclo, em serviço, numa prova nacional de avaliação de conhecimento, no que se refere ao tema da Geometria.
A atividade deste grupo de discussão será desenvolvida em dois momentos procurando analisar, discutir e refletir em conjunto as principais ideias presentes nas comunicações apresentadas. Almejando uma melhor compreensão da temática das representações, e com o objetivo de complementar ideias levantadas pelas comunicações apresentadas, serão lançadas à discussão questões tais como: (Q1) No conjunto das diferentes representações, qual é a importância dada pelos professores às representações visuais? (Q2) Haverá tópicos matemáticos que exigem menor recurso a múltiplas representações? (Q3) Que papel desempenham as representações digitais no desenvolvimento dos conceitos matemáticos? (Q4) Que práticas ligadas ao uso de representações são promotoras de melhores aprendizagens dos alunos? (Q5) Qual o contributo da investigação em representações para o conhecimento profissional do professor?
Referências
Ball, D., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, 5, 389-407.
Behr, M., Harel, G., Post, T., & Lesh, R. (1992). Rational number, ratio and proportion. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 296- 333). New York: Macmillan Publishing Company.
D. Diezmann, M. Carmel, & N. McCosker (2011). Reading students’ representations. Teaching
Children Mathematics, 18(3), 162-169.
Dreyfus, T. (1991). On the status of visual reasoning in mathematics and mathematics education.
Proceedings 15th PME Conference, Vol I, pp. 33-48. Assis: PME.
Friedlander, A., & Tabach, M. (2001). Promoting multiple representations in algebra. In A. A. Cuoco (Ed.), 2001 Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics: The Role
of Representation in school Mathematics (pp. 173-185). Reston, Virginia: NCTM.
Hill, H., Ball, D., & Schilling, S. (2008). Unpacking pedagogical content knowledge: Conceptualizing and measuring teachers’ topic-specific knowledge of students. Journal for