Alguns contextos podem ser auto-referentes e por isso não apresentam sentenças básicas. Podemos apontar dois tipos de sentenças auto-referentes: sentenças no estilo do mentiroso, como, por exemplo, eu estou mentindo e sentenças no estilo contador de verdade, como, por exemplo, eu estou falando verdade. Nesses casos, dois Fluxos Semânticos serão fundamentais para modelar estas situações:
o Fluxo Semântico X = hf; Xi que vai modelar sentenças do mentiroso; o Fluxo Semântico X = ht; Xi que vai modelar contadores de verdade.
7.3.1 Contextos cíclicos
Considere o contexto abaixo: 1 : A proposição 2 é b1 , x1 2 : A proposição 3 é b2 , x2 ..
.
n: A proposição 1 é bn , xn (onde bj 2 ffalsa; verdadeirag e 1 j n): Então, uma interpretação desse contexto é dada pelo ‡uxo (depois de substituições) inter(x1) = hboolean1; hboolean2; : : : hbooleann; inter(x1iii.
Todo contexto interpretado por um ‡uxo da forma
inter(x1) = hboolean1; hboolean2; : : : hbooleann; inter(x1iii será chamado de Fluxo Cíclico. Proposição 7.7 Um Fluxo Cíclico é sempre redutível à expressão do mentiroso ou à expressão do contador de verdade.
Prova. Suponha que temos um Fluxo Cíclico
inter(x1) = hboolean1; hboolean2; : : : hbooleann; inter(x1)iii:
Cada par hbooleani 1; hbooleani; inter(x1)ii pode ser substituído ou pelo ‡uxo bissimilar ht; inter(x1)i ou pelo ‡uxo hf; inter(x1)i de i , n até i , 2: Essas substituições são apli- cações sucessivas das propriedades (i) ou (ii) dos Fluxos Semânticos. Então, qualquer ‡uxo da forma inter(x1) = hboolean1; hboolean2; :::hbooleann; inter(x1)iii
CAPÍTULO 7. A NOSSA ABORDAGEM pode ser recursivamente reduzido à forma inter(x1) = ht; hinter(x1)ii ou à forma inter(x1) = hf; hinter(x1)ii (exclusivamente).
Observação: no caso de contextos mistos (cíclicos com não-cíclicos) devemos resolver primeiro a parte cíclica e só depois fazer substituições na parte não-cíclica.
7.3.2 Sentenças no estilo do mentiroso
Utilizando Fluxos Semânticos, podemos interpretar o paradoxo do mentiroso em suas várias versões:
Considere a sentença: (paradoxo do mentiroso) kEsta sentença é falsak , x.
Sintaxe: x = (f also; x):
Semântica: X = hf; Xi, que é a versão mais simples do mentiroso. Considere as seguintes sentenças:
(1) kA sentença (2) é falsak , x. (2) kA sentença (1) é verdadeirak , y Sintaxe: 8 < : x = (f also; y); y = (verdadeiro; x):
Semântica: X = hf; ht; Xii e Y = ht; hf; Y ii. Ambas as expressões são redutíveis à sentença do mentiroso, X = hf; Xi, utilizando a propriedade (i) dos Fluxos Semânticos. Então, podemos a…rmar que este contexto é bissimilar ao paradoxo do mentiroso.
Consideremos agora a seguinte sentença contingente: Esta sentença é falsa ou Carlos tem bicicleta.
1. kEsta sentença é falsa ou Carlos tem bicicletak , x: 2. kEsta sentença é falsak , y (supondo auto-referência a x). 3. kCarlos tem bicicletak , z = (bool1; ):
8 < :
Y = hf; Xi; X = Y _ Z:
A interpretação de x depende do valor que se atribui a z. Se Z = ht; ti, então X = ht; ti: Se Z = hf; ti, então X = Y e x é interpretado como a sentença do mentiroso. Ou seja, X = hf; Xi:
Considere o seguinte contexto cíclico: 1. kA sentença abaixo é falsak , x. 2. kA sentença abaixo é falsak , y. 3. kA sentença abaixo é verdadeirak , z: 4. kA sentença 1. é falsak , w.
Depois das substituições, temos X = hf; hf; ht; hf; Xiiii hf; hf; hf; Xiii hf; ht; Xii hf; Xi. Então, o contexto é bissimilar ao mentiroso.
Sentenças contingentes de Kripke: kJoão diz apenas (sobre Pedro):k , j:
kTudo o que Pedro diz de mim é falsok , (f; p): kPedro diz apenas (sobre João):k , p:
kJoão é perduláriok , x = (bool1; ): kJoão é ambiciosok , y = (bool2; ):
kTudo o que João diz de mim é verdadeirok , (t; j).
O contexto terá interpretações diferentes dependendo das atribuições que …zermos às sentenças básicas x e y. Então, 8 < : J = hf; P i; P = X ^ Y ^ ht; Ji:
Análise: se X ^ Y = hf; ti; então P = hf; ti e J = ht; ti: Se X = Y = ht; ti, então P e J são bissimilares ao mentiroso.
CAPÍTULO 7. A NOSSA ABORDAGEM Observação: Podemos adaptar as sentenças de Kripke a outras lógicas para darmos conta de expressões como: A maioria das coisas ditas por Pedro é falsa; ou mesmo, a…rmar que existe uma probabilidade de que as coisas que Pedro disse sobre algo seja falso (ou verdadeiro). O que ressaltamos aqui é que, de acordo com a lógica adotada, deve ser possível modelar sentenças ligadas com o conhecimento de sentenças básicas às quais podemos atribuir valor.
7.3.3 Avaliando a sentença do mentiroso e o contador de verdade
Em algum nível deveremos dizer se o que a expressão do mentiroso, X = hf; Xi; nos diz é uma verdade ou uma falsidade. Para mantermos intuições de verdadeiro e falso deveremos analisar esta expressão aplicando a nossa função de avaliação aval(X , aval(f; X)). Como devemos obedecer a tabela verdade em todos os níveis de análise (nossa referência de verdade), podemos perceber que a avaliação da expressão do mentiroso é sempre contraditória nesse nível, pois aval(X) é verdadeiro se, somente se, X for f also; e aval(X) é f also se, somente se X for verdadeiro. Isso mostra que a expressão do mentiroso leva-nos sempre a f , t ou a t , f. Suspeitamos, então, que o que a expressão do mentiroso nos diz não pode ser sempre e (de…nitivamente) verdadeira. E, portanto, devemos assumir que ela seja falsa.
Do mesmo modo, aval(X , aval(t; X)) leva-nos sempre a verdade, pois aval(X) é verdadeiro se, somente se X for verdadeiro; e aval(X) é f also se, somente se X for f also. Portanto, podemos assumir que o contador de verdade representa uma tautologia, e podemos assumí-la como verdadeira.
Propriedades e Pontos Fixos
Vamos fazer uma análise do mentiroso e do contador de verdade, tendo em vista a função de avaliação aval. Chamemos de X a expressão geral do Mentiroso, isto é, em qualquer instância de análise. A avaliação do Mentiroso, aval(X , aval(f; X)); dentro do nosso modelo, pode reduzir-se a análise de:
aval(X) = aval(X; aval(f; X)): (8.2)
Então,
possui dois argumentos).
2) Todos os X’s do lado direito são avaliáveis, isto é, podem assumir valores.
Não é difícil de constatar que aval(X) = f em 8.2 independentemente dos valores que X pode assumir do lado direito.
Também podemos notar que aval(f; X) depende de X e, portanto não pode ser sempre verdadeiro. Será f also sempre que X for verdadeiro.
Neste caso, podemos escrever: aval(f; X) = aval(t; aval(f; X)) = f .
Chamemos agora de Y a expressão geral do contador de verdade e façamos uma análise de aval(Y , aval(t; Y )), que em nosso modelo reduzir-se-á a analisarmos a expressão:
aval(Y ) = aval(Y; aval(t; Y )): (8.3)
Podemos perceber que desta vez aval(Y ) será sempre verdadeira independentemente de valores que Y possa assumir do lado direito.
E aval(t; Y ) é verdadeiro sempre que Y for verdadeiro: Portanto, aval(t; Y ) = aval(t; aval(t; Y )) = t.
Por outro lado, podemos relacionar as expressões do Mentiroso com o Contador de Verdade da seguinte forma:
Como aval(f; t) = f , podemos ter aval(f; aval(t; X)) = aval(f; X) e como aval(f; f ) = t, também podemos ter aval(f; aval(f; X)) = aval(t; X):
Resumindo:
aval(f; X) = aval(t; aval(f; X)) = aval(f; aval(t; X)); aval(t; X) = aval(t; aval(t; X)) = aval(f; aval(f; X)):
Este resultado concorda com as propriedades operacionais (i) e (ii) dos Fluxos Semânticos e que aval(f; X) e aval(t; X) são pontos …xos das funções aval(f; X) = aval(t; aval(f; X)) e aval(t; X) = aval(t; aval(t; X)); respectivamente.
O mentiroso negado
CAPÍTULO 7. A NOSSA ABORDAGEM Seja x a sentença do mentiroso e y a sentença do Mentiroso Negado. Então, se inter(x) = X e inter(y) = Y; segue que:8
< :
X = hf; Xi; Y = hf; hf; Xii:
É importante ressaltarmos que X e Y não são Fluxos Semânticos bissimilares, pois Y = hf; hf; Xii é redutível a Y = ht; Xi. A expressão Y pode ser considerada como uma expressão que não apresenta contradição, pois aval(Y ) é verdadeiro se, somente se X for verdadeiro e, aval(Y ) é f also se, somente se X for f also. Podemos, então, inferir que a expressão do Mentiroso Negado diz a verdade.
Pelas razões apresentadas acima, podemos, sem contradição, avaliar a expressão do men- tiroso como f alsa. Mais ainda, ela é falsa em qualquer instância, independentemente do compri- mento da cadeia cíclica (é a representação do absurdo). Analogamente, a sentença do contador de verdade é verdadeira em qualquer instância, independentemente do comprimento da cadeia cíclica (é a representação da tautologia).
A sentença de Löb
A sentença de Löb é uma sentença contingente envolvendo implicação. Por exemplo: Se esta sentença for verdadeira, então Carlos tem bicicleta , x:
Esta sentença é verdadeira , y: Carlos tem bicicleta , z: Então, 8 < : Y = ht; Xi; X = Y ! Z: ou 8 < : Y = ht; Xi; X = hf; Y i _ Z:
Análise: se Z = ht; ti; X = ht; ti. Então aval(X) = aval(t; t) = t.
Se Z = hf; ti; então X = hf; Y i e X = hf; Xi (expressão do mentiroso). Portanto, aval(X) = f: