A tarefa 3 e as análises a priori e a posteriori

O enunciado da tarefa 3 é:

3. Considere a seguinte ‗definição‘ intuitiva de Convergência: Dizemos que uma sequência numérica converge para um número L se os termos da sequência ficam cada vez mais próximos do número real L.

Agora considere as sequências dadas no exercício 1. Depois de realizar as atividades no Geogebra, você diria que elas convergem? Se positivo, qual seria o possível número 𝐿?

Complete a tabela, a partir da sua observação. Sequência Converge? Valor de L?

𝑎𝑛 = 𝑛 𝑏𝑛 = (−1)𝑛+1_∙1 𝑛 𝑐𝑛 = 𝑛 − 1 𝑛 𝑑𝑛 = 1 𝑛 𝑒𝑛 = 𝑛2 𝑓𝑛 = 𝑛

A tarefa 3 faz com que o estudante construa uma faceta do conceito de convergência de forma intuitiva, em que associa convergência com proximidade. Pretende, ainda, que o aluno associe o comportamento numérico de uma sequência à

130 nomenclatura formal dada a esse comportamento, ou seja, pretende-se transitar entre dois sistemas semióticos. Espera-se que, progressivamente, o aluno construa um campo de situações associado ao conceito que se quer atingir (convergência), mesmo que não tenha sido trabalhado formalmente. Espera-se que o aluno complete a tabela fornecida nesse exercício da seguinte maneira:

Sequência Converge? Valor de L?

𝑎_𝑛 = 𝑛 Não 𝑏𝑛 = (−1)𝑛+1 ∙ 1 𝑛 Sim 0 𝑐𝑛 = 𝑛 − 1 𝑛 Sim 1 𝑑_𝑛 = 1 𝑛 Sim 0 𝑒𝑛 = 𝑛2 Não 𝑓𝑛 = 𝑛 Não

Esta é uma atividade que busca associar o registro de um conceito, ainda que meramente intuitivo, em língua materna ao seu registro numérico, usando o registro gráfico como apoio à interpretação e análise do que é solicitado.

4.3.2 Análise a posteriori

Nesta questão, houve um fato interessante. Todas as equipes perguntaram o significado da palavra ―converge‖ e discutiram o significado entre si. Uma delas chegou a pesquisar no dicionário da Internet e explicou: ―é quando se aproxima, se mantém constante‖. Porém, não entenderam o significado de ―se os termos da sequência ficam cada vez mais próximos do número real L‖, o que indica, mais uma vez, a falta de compreensão do significado das coordenadas dos pares ordenados usados na tarefa 1.

Apenas uma das seis equipes, sendo 5 duplas e um trio, conseguiu preencher a tabela sem precisar de ajuda na compreensão da definição intuitiva. As demais equipes preencheram corretamente os dados solicitados, porém, apenas após terem sidos estimulados a perceber se os valores numéricos dos termos da sequência se tornavam cada vez mais próximos de algum número. Neste momento, todas as equipes

131 conseguiram associar esse valor de convergência ao número limite, isto é, fazer correspondências entre a existência de um limite e ter uma sequência convergente.

Um episódio que mostra que o termo ―infinito‖ ainda traz controvérsias aconteceu quando uma das alunas (Débora) perguntou: ―estas sequências (apontando para as não convergentes corretamente assinaladas) estão se aproximando do infinito, então elas convergem? (...) Posso escrever que o número L é o infinito?‖. Houve um pequeno diálogo entre a professora (P) e a aluna (D):

P: Por que a dúvida?

D: é porque todos os outros casos deram um número. P: O infinito é um número?

D: Não, é uma ideia.

P: E então? Você pode ou não escrever que a sequência converge para o infinito? D: Não, ele não é real.

Note que no final do diálogo transcrito acima, a aluna não afirma que o infinito não é um número real. Ela apenas afirma que ele não é real. Aqui, ainda cabe questionar se a palavra real, usada por ela, refere-se ao conjunto dos números reais ou algo que não faz parte da realidade.

Uma possibilidade para o melhor entendimento e incentivo ao discurso matemático era estimular, naquele momento, as equipes a conversarem sobre uma definição para tal e escreverem um critério de convergência usando o registro algébrico. Isto poderia facilitar a compreensão da definição formal, ao mesmo tempo em que o professor pode perceber as dificuldades de conceitos e símbolos que os alunos ainda têm.

A articulação dos registros visual e discursivo passa pela codificação das conexões locais, isto é, pela identificação das variáveis visuais do gráfico que correspondem às variáveis semânticas. Da mesma forma, a articulação dos registros discursivo e algébrico requer a correspondência de unidades semânticas e unidades simbólicas (DUVAL, 2006). Para tanto, é indispensável que o aluno seja estimulado a pensar globalmente acerca da atividade que lhe é proposta e procurar analisar as consequências que uma mudança ocorrida num determinado registro acarreta ao outro registro.

Do ponto de vista das Representações Semióticas, considere as unidades significantes para os registros em Língua Natural, Gráfico e Algébrico como apresentadas no Quadro 11, referente ao conceito de limite.

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Tipo de Registro Unidades Significantes Combinações admissíveis das unidades

significantes Língua Natural (unidades semânticas) Número Tende a Abscissa Ordenada Se aproxima de Infinito Sequência X Convergente

quando a abscissa tende ao infinito, a ordenada 𝑘𝑛 se aproxima do número L.

Gráfico (unidades visuais) Assíntota horizontal Comportamento da ordenada (tendência do valor da ordenada) Comportamento da abscissa (tendência do valor da abscissa)

(considerou-se, como exemplo, a sequência 𝑘_𝑛 =𝐿𝑛 −1 𝑛 ) Algébrico (unidades simbólicas) Lim 𝑎_𝑛 Número L 𝑛 (variável) → ∞ lim 𝑛→∞𝒌𝒏= 𝐿

Quadro 11: Unidades Significantes para os registros associados ao conceito de limite.

A afirmação ―quando a abscissa tende ao infinito, a ordenada 𝑘𝑛 se aproxima do

número L‖, não é semanticamente congruente ao registro algébrico lim_𝑛→∞𝒌_𝒏= 𝐿 (lida como 𝑘_𝑛 se aproxima de L quando n tende ao infinito57), pois há uma inversão na ordem das unidades significantes correspondentes, o que aumenta o custo da operação cognitiva realizada pelo aluno. A mesma não congruência acontece se a expressão citada for lida como ―o limite de 𝑘_𝑛 é 𝐿 quando 𝑛 tende ao infinito‖. Contudo, pode-se perceber que a primeira forma de leitura da expressão algébrica

57

133 apresenta uma combinação das unidades semânticas que se aproxima mais da representação gráfica, enquanto a segunda, tem maior aproximação em relação a representação algébrica.

A segunda forma de leitura pode trazer consigo outros obstáculos, pois, além da inversão, contém uma igualdade implícita (é 𝐿). Tal igualdade é, na notação de limite, indistinta da igualdade aritmética trabalhada na escola desde os anos iniciais, mas ela é uma nova igualdade que tem o significado de aproximação, de tendência, conceitos que usam outros verbos para se consolidarem. Ou seja, o mesmo significante, o signo ―=‖, deve receber outra significação no estudo do cálculo. É esse o ponto no qual se passa de um conceito de infinito potencial a um conceito de infinito atual ou atingido, dominado pelos matemáticos mediante manipulação de signos como: épsilons e deltas.

No entanto, a afirmação ―quando a abscissa tende ao infinito, a ordenada 𝑘_𝑛 se aproxima do número L‖, é semanticamente congruente à afirmação ―𝑛 → ∞ ⇒ 𝑘_𝑛 → 𝐿‖, por atender aos critérios de congruência.

Em particular, na ‗definição intuitiva‘ dada, ―uma sequência numérica converge para um número L se os termos da sequência ficam cada vez mais próximos do número real L‖, não há congruência semântica entre os registros de representação algébrica e em língua natural, haja vista que os critérios de correspondência semântica das unidades significantes e univocidade semântica terminal não são satisfeitos, já que à expressão ―termos da sequência‖, que pode ser considerada uma unidade significante para representação em língua natural, para a definição intuitiva em análise, correspondem as unidades significantes 𝑛, 𝑘_𝑛, 𝑛, 𝑘_𝑛 do registro na representação simbólica (numérica).

No Quadro 12 apresenta-se a configuração da situação adidática para esta questão 3:

Situação adidática O que caracteriza a situação adidática - Questão 3 A

Ação Leitura e interpretação do enunciado; discussão dos possíveis valores de L e se o ―infinito‖ é ou não um número real.

Formulação Discussão dos alunos em relação ao comportamento e nomenclatura: converge ou diverge; definição de um critério para o número L.

Validação Teste da aproximação da sequência ao número L, usando os registros numérico e gráfico, por meio da verificação experimental.

Institucionalização A caracterização da sequência como convergente/divergente Quadro 12: Caracterização da situação adidática da questão 3A

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4.4 A tarefa 4 e as análises a priori e a posteriori