Análise do Sinal Monogênico em funções harmônicas
3.2 A transformada de Riesz do dado Gravimétrico
Suponhamos que o dado que se deseja calcular a transformada de Riesz de primeira ordem seja a componente vertical 𝑔𝑧 da aceleração gravitacional. A componente 𝑔𝑧 é uma das componentes do campo vetorial conservativo de forças 𝐅. Segundo a equação 3.1, 𝑔𝑧 pode ser expressa como 𝑔𝑧 =
𝜕𝑈
𝜕𝑧. Tomando a transformada de Riesz da função 𝑔𝑧 no domínio do número de onda, é possível obter as expressões das componentes 𝑅𝑢 e 𝑅𝑣 (equações 2.10 e 2.11) dadas por:
𝑅
𝑢(𝑔
𝑧) = 𝑅
𝑢(
𝜕𝑈 𝜕𝑧) =
𝑖𝑢 √𝑢2+𝑣2ℱ (
𝜕𝑈 𝜕𝑧) = 𝑖𝑢ℱ(𝑈) = ℱ(𝑔
𝑥)
, (3.5) e𝑅
𝑣(𝑔
𝑧) = 𝑅
𝑣(
𝜕𝑈 𝜕𝑧) =
𝑖𝑣 √𝑢2+𝑣2ℱ (
𝜕𝑈 𝜕𝑧) = 𝑖𝑣ℱ (𝑈) = ℱ(𝑔
𝑦)
. (3.6) Concluímos, a partir das equações 3.5 e 3.6 que, no domínio do espaço, as componentes da transformada de Riesz de primeira ordem da componente vertical 𝑔𝑧 da aceleração gravitacional são as componentes horizontais 𝑔𝑥 e 𝑔𝑦. Podemos então afirmar que as componentes horizontal e vertical de uma força conservativa, constituem um par conjugado com sua transformada de Riesz, isto é,𝑅
1(𝑔
𝑧) = −𝑔
𝑥+ 𝑖𝑔
𝑦. (3.7)O mesmo acontece se tomarmos a derivada de 𝑔𝑧 como função de entrada 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑔𝑧
𝜕𝑧. Neste caso, a transformada de Riesz de primeira ordem é o par conjugado das suas derivadas horizontais com respeito à 𝑔𝑧,
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𝑅
1(
𝜕𝑔𝑧 𝜕𝑧) = −
𝜕𝑔𝑧 𝜕𝑥+ 𝑖
𝜕𝑔𝑧 𝜕𝑦. (3.8)Na verdade, o resultado da equação 3.8 foi abordado por Nabighian (1984) através da transformada generalizada de Hilbert, que em termos gerais, é a própria transformada de Riesz de primeira ordem. O autor utiliza este resultado para propor um método para calcular a derivada vertical de uma função potencial quando as derivadas horizontais são conhecidas.
3.3 - A transformada de Riesz do dado magnetométrico
Vamos supor que a função de entrada seja a anomalia de campo total ∆𝑇 definida como,
∆𝑇 = ‖𝑇̅‖ − ‖𝐹̅‖
,em que 𝑇̅ = 𝐹̅ + 𝐵̅ é o vetor indução magnética, 𝐹̅ o vetor do campo indutor e 𝐵̅ o vetor do campo induzido que é produzido por uma distribuição de magnetização em subsuperfície. Se considerarmos que 𝐹̅ ≫ 𝐵̅ em toda a área de um levantamento, então a anomalia de campo total pode ser aproximada por:
∆𝑇 ≅ 𝐹̂
𝑇𝐵̅
, (3.9)em que 𝐹̂𝑇 é o vetor unitário transposto do campo indutor 𝐹̅. A equação 3.9 é o módulo da projeção do vetor campo induzido 𝐵̅ no vetor indutor 𝐹̅.
Adicionalmente, em regiões em que 𝐹̅ possa ser considerado constante, a aproximação de ∆𝑇 dada pela equação 3.9 é uma função harmônica que obedece a equação de Laplace (BLAKELY, 1995). O fato de poder aproximar a anomalia de campo total como uma função harmônica nos permite a utilização das equações 3.1-3.4.
32 A partir de um levantamento convencional de magnetometria é possível calcular o valor de ∆𝑇. Tomando a função de entrada como sendo a derivada vertical da anomalia de campo total e, considerando que ∆𝑇 é uma função harmônica,
𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝜕 𝜕𝑧∆𝑇,
as componentes da transformada de Riesz de 𝜕
𝜕𝑧∆𝑇 no domínio de Fourier são dadas por,
𝑅
𝑢(
𝜕∆𝑇 𝜕𝑧) =
𝑖𝑢 √𝑢2+𝑣2ℱ (
𝜕∆𝑇 𝜕𝑧) = 𝑖𝑢ℱ(∆𝑇) = ℱ (
𝜕∆𝑇 𝜕𝑥)
, (3.10) e𝑅
𝑣(
𝜕∆𝑇 𝜕𝑧) =
𝑖𝑣 √𝑢2+𝑣2ℱ (
𝜕∆𝑇 𝜕𝑧) = 𝑖𝑣ℱ(∆𝑇) = ℱ (
𝜕∆𝑇 𝜕𝑦)
. (3.11) Pelas equações 3.10 e 3.11 podemos concluir que a transformada de Riesz de primeira ordem de 𝜕∆𝑇𝜕𝑧 é o par conjugado das suas derivadas horizontais com respeito à 𝜕∆𝑇 𝜕𝑧,
𝑅
1(
𝜕∆𝑇 𝜕𝑧) = −
𝜕∆𝑇 𝜕𝑥+ 𝑖
𝜕∆𝑇 𝜕𝑦.Como no caso gravimétrico, mostrado na seção anterior, é possível obter a derivada vertical da anomalia de campo total a partir das derivadas horizontais e da transformada de Riesz de primeira ordem ou vice-versa.
3.4 – Amplitude e fase do sinal monogênico versus amplitude do sinal analítico e “tilt angle”
Utilizando as equações 3.5 e 3.6 é possível mostrar a relação entre o sinal monogênico, o sinal analítico 3D e o “tilt angle”. Especialmente, a amplitude do sinal monogênico (equação 2.2) da componente vertical 𝑓𝑧 de um campo de força conservativa pode ser escrita como
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𝐴(𝑥, 𝑦) = √𝑓
𝑥2+ 𝑓
𝑦2+ 𝑓
𝑧2= √(
𝜕𝑈 𝜕𝑥)
2+ (
𝜕𝑈 𝜕𝑦)
2+ (
𝜕𝑈 𝜕𝑧)
2 . (3.12)A equação 3.12 é a expressão da amplitude do sinal analítico 3D do potencial escalar 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≡ 𝑈 da força conservativa 𝐅. No entanto, esta equação não é a expressão do sinal analítico 3D (NABIGHIAN et all., 2005) inicialmente proposta por Roest, Verhoef e Pilkington (1992). Cooper (2014) definiu esta amplitude (equação 3.12) como sendo a amplitude do sinal analítico de ordem zero, ou seja, sem recorrer às derivadas do dado.
As equações 3.5 e 3.6 mostram que a fase do sinal monogênico (equação 2.4) da componente vertical 𝑓𝑧 de um campo de força conservativo pode ser escrita como
𝜑(𝑥, 𝑦) =
tan
−1(
√𝑓𝑥 2+𝑓𝑦2 𝑓𝑧
) .
(3.13)
Note que a equação 3.13 lembra a definição do “tilt angle” (MILLER e SINGH, 1994). Assim como o “tilt angle”, a fase do sinal monogênico varia entre −𝜋
2 e + 𝜋
2 radianos. Diferentemente do “tilt angle”, os máximos locais da fase do sinal monogênico delimitam os contatos geológicos.
A Figura 3.1a mostra a anomalia de campo total produzida por um contato vertical na coordenada 𝑥 = 0 m. A localização do contato geológico é interpretada no valor zero do “tilt angle” na Figura 3.1b e pelo valor máximo da fase do sinal monogênico no espaço-escala de Poisson (Figura 3.1c).
34 Figura 3. 1: Filtragem da anomalia de campo total (a) produzida por um contato geológico vertical localizado na coordenada 𝑥 = 0 m com (b) “tilt angle” e (c) com a fase do sinal monogênico no espaço-escala de Poisson com parâmetros ℎ𝑐 = 10 e ℎ𝑓 = 5.
A amplitude e a fase do sinal monogênico no espaço-escala de Poisson são menos ruidosos do que a amplitude do sinal analítico e o “tilt angle”. Isto se deve em parte à própria definição da transformada de Riesz. Se olharmos atentamente para as equações 2.18 e 2.19, os termos 𝑖𝑢 e 𝑖𝑣 amplificam as componentes do sinal com alto número de ondas (ruído). Por outro lado, o termo 1
√𝑢2+𝑣2 atenua as componentes do sinal com alto número de ondas, compensando o efeito indesejado produzido pelos termos anteriores. Adicionalmente, a própria representação do dado no espaço-escala de Poisson (equação 2.16) contribui na atenuação do ruído contido no dado. Esta representação é um filtro passa- banda que pode atenuar também os grandes comprimentos de onda. Dependendo dos
35 valores escolhidos para os parâmetros ℎ𝑐 e ℎ𝑓, é possível atenuar ou filtrar substancialmente comprimentos de onda relacionados ao ruído ou comprimentos de onda relacionados às fontes geológicas. A escolha destes parâmetros dependerá do interesse do intérprete, da natureza e dimensões das fontes e do conteúdo espectral do ruído contido no dado como descrevemos na seção 2.6.
3.5 - Análise dimensional
A orientação e a fase do sinal monogênico no espaço-escala de Poisson são expressas em radianos enquanto que a amplitude possui a mesma unidade da função de entrada.
Por exemplo, para o caso da magnetometria, a amplitude terá unidade dada em nT (para ∆𝑇 em nT),
𝐴 = √𝑓
𝑝𝑏(∆𝑇)
2+ 𝑟
𝑥𝑝𝑏(∆𝑇)
2+ 𝑟
𝑦𝑝𝑏(∆𝑇)
2= √[𝑛𝑇]
2+ [𝑛𝑇]
2+ [𝑛𝑇]
2= [𝑛𝑇],
e no caso da gravimetria em mGal (para 𝑔𝑧 em mGal),
𝐴 = √𝑓
𝑝𝑏(𝑔
𝑧)
2+ 𝑟
𝑥𝑝𝑏(𝑔
𝑧)
2+ 𝑟
𝑦𝑝𝑏(𝑔
𝑧)
2= √[𝑚𝐺𝑎𝑙]
2+ [𝑚𝐺𝑎𝑙]
2+ [𝑚𝐺𝑎𝑙]
2= [𝑚𝐺𝑎𝑙].
Como dito anteriormente, a representação no espaço-escala de Poisson de uma função potencial é o mesmo que um filtro de continuação para cima. Por este motivo, a unidade do parâmetro de escala de Poisson ℎ será a mesma unidade de espaçamento da malha de entrada (e.g., m, km). Este filtro deve ser entendido como a diferença entre duas continuações a alturas diferentes (ℎ𝑐 e ℎ𝑓) e sempre positivas (ℎ𝑐> ℎ𝑓 > 0).
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