pesos
Esta transformada é muito parecida com a transformada de Radon e aparece em futuras discussões, razão pela qual dedicamos apenas algu- mas linhas para sua definição e principal resultado. Uma maior discussão sobre este operador pode ser encontrada em [12].
Qualquer função positiva da forma q = q(x, θ) é, nesta tese, dita uma função peso. Nesta tese, acontecerá de tais funções serem estritamente positivas, limitadas e contínuas em L2, embora isto não seja uma regra válida para um caso mais geral. Vamos reunir todas as funções desta forma em um espaço denotado por Q e denominá-lo de espaço dos pesos. Eventualmente, uma função da formaq = q(x, η), onde η é uma direção ar- bitrária emC2, é dita também peso e a inserimos em um espaço denotado por ¯Q. Obviamente, Q ⊂ ¯Q
2.4. A TRANSFORMADA DIVERGENTE E O ESPAÇO DOS PESOS 23
Definição 2.4.1 O operadorD: U → ¯Q definido por
Df(x, η) = Z ∞
0 f(x + τ Re[η])dτ
(2.51) é dito a transformada divergente geral de f. O operador D: U → Q definido porDf(x, θ) = Df(x, ξθ⊥) Df(x, θ) = Z ∞ 0 f(x + τξ ⊥ θ)dτ (2.52)
onde ξθ⊥ = (− sin θ, cos θ), é dito a transformada divergente de f. O operador D é inversível pois vale a seguinte relação trivial
Df(x, η) + Df(x, −η) = Rf(x · η, arg η) (2.53) Geometricamente, a transformada integra a função f na semi-reta rη = {y + sη ∈ R2; s ≥ 0}. Portanto, a soma das transformadas nas retas r
η e
r−η, como em (2.53), resulta na transformada de Radon, avaliada no raio
t = x · η e no ângulo θ = arg η. Equivalentemente Df(x, θ) + Df(x, θ + π) = Rf(x · ξ, θ) para θ ∈ [0, 2π]. O seguinte Lema é útil quando conhecemos a função L(x, θ) = Rf(x · ξ, θ) mas não necessariamente Rf, pois fornece uma forma de calcular Rf.
Lema 2.4 Se Rb(x · ξ, θ) = L(x, θ) para todo x, então a transformada de
Radon satisfaz Rb(t, θ) = k(t)RLθ(t, θ) com Lθ = L(·, θ) e k(t) = 12(1 − t2)−1/2. Prova: Calculando a transformada de Radon de Lθ dentro do disco unitá- rio temos RLθ(t, θ) = Z √ 1−t2 −√1−t2Rb (tξ + sξ ⊥) · ξ, θds (2.54) = Z √ 1−t2 −√1−t2Rb(t, θ)ds (2.55) = Rb(t, θ)2√1 − t2. (2.56)
Método 2.2.1 Construção de ridge functions
Para cada ângulo θi fixo, a transformada de Radon leva f ∈ U uma função di .= dθi = dθi(t) contida em L2([−1, 1], w), com o peso w(t) = (1 − t2)
1
2. Por-
tanto, as considerações feitas em [21] e a combinação linear (2.29) levam a tomar a expansão dehi = hi(t) ∈ L2([−1, 1], w) em polinômios de Chebyshev do 2◦ tipo
hi(t) = ∞
X
k=1
c(k)i Uk−1(t), Uk(t) = sin(k arccos t)sin(arccos t) , i = 1, . . . , n (2.31)
onde os coeficientes c(k) satisfazem ao sistema de equações A(k)c(k) = b(k), com b(k)i = 1πhdi, Uk−1iL2. A matrizA(k) = (a(k)ij ) ∈ Rn×n é definida por
a(k)ij = sin k(θk sin(θi− θj)
i− θj), k ≥ 1 (2.32)
No caso em que os ângulos são uniformes, isto é θi − θj = (j − i)∆θ en- tão prova-se em [21] que A(k) é singular, para k < n, e sua solução deve ser calculada no sentido de quadrados mínimos de norma mínima. Uma expressão fechada para a pseudoinversa é obtida nestes casos, sendo ela (A(k))†= k2
n2A(k). Quando k ≥ n, a matriz não é mais singular e sua inversa
é da forma [A(k)]−1 = k nm I − n(m + 1)l A(l) , m ∈ {2, 4, 6, . . .} k n(m + l) I − n − l nm A(n−l) , m ∈ {1, 3, 5, . . . .} (2.33)
com k = mn + l, I ∈ Rn×n a matriz identidade e A(0) = I. No caso de ângulos não uniformes, a solução deve ser calculada numericamente.
Capítulo 3
A Transformada Generalizada de
Radon
A
transformada Generalizada de Radon aparece em várias aplicações na tomografia. Aqui, estamos interessados em um tipo particular, denominado xfct, que é acrônimo para x-rays fluorescence tomography, e será tratado em detalhes na Seção 3.3. Vamos denotar este operador generalizado por Rω: U → V, definindo-o da seguinte formaRωf(t, θ) = Z Ω(t,θ)f(x)ω(x, θ)dx (3.1) = Z R2f(x)ω(x, θ)δ(x · ξ − t)dx (3.2) = Z √ 1−t2 −√1−t2f(tξ + sξ ⊥)ω(tξ + sξ⊥, θ)ds (3.3)
onde ω ∈ Q é uma função peso positiva e (t, θ) ∈ [−1, 1] × [0, 2π] (diferente da Transformada de Radon do Capítulo anterior, onde θ ∈ [0, π]). Alguns pesos típicos em tomografia estão representados na Tabela 3.1
Faremos uma breve revisão sobre spect, e suas variações pet e ert, na Seção 3.2. Observe que em todos os casos mencionados na Tabela acima, a função peso depende de um parâmetro µ, razão pela qual vamos usar as notaçõesω = ω(µ) = ωµquando necessário. Também, sempre que conveni- ente usaremos a notação ωxfct,ωspect eωert para denotar os pesos relaciona- dos. Matematicamente, tal como a transformada clássica, a transformada Generalizada de Radon integra a função sobre retas Ω(t, θ) com um peso
Nome Notação Rω Função pesoω(x, θ) Dependências ct R 1 − ert Rert e−µ(x·ξ⊥) µ ∈ R+ pet Rpet e−Rµ(x·ξ,θ) µ ∈ U spect Rspect e−Dµ(x,θ) µ ∈ U xfct Rxfct e−Dλ(x,θ+π)RΓdγe−Dµ(x,θ+γ) λ, µ ∈ U, Γ ⊂ [0, π] Tabela 3.1: Pesos tradicionais em tomografia.
conhecido ω. Nesse sentido, o Lema 2.1 se aplica igualmente, a não ser pela inclusão de ω, ao operador Rω.
O nosso objetivo é encontrar algoritmos que façam a inversão de Rω usando formas analíticas fechadas. Veremos que isso é possível no Capí- tulo 4 usando técnicas variadas. Observe que, para qualquer ânguloθ fixo a função fωθ ∈ U, onde ωθ = ω(·, θ), satisfaz d(t, θ) = Rωf(t, θ) = R(fωθ)(t, θ). Logo, podemos usar o Teorema da projeção 2.1.1.i para fωθ e obter um Teorema de projeção generalizado
ˆ
d(ν, θ) = dfωθ(ν cos θ, ν sin θ) = ( ˆf ? cωθ)(ν cos θ, ν sin θ) (3.4)
Se existisse uma forma de resolver o problema de convolução acima, ob- teríamos uma inversão para f. Infelizmente isto não é possível pela de- pendência de ω em θ, e outras abordagens terão que ser feitas.
É trivial notar queRωf é um operador linear não só em f, mas também no peso ω, isto é
Rαω1+ω2f = αRω1f + Rω2f. (3.5)
para todo f ∈ U e α ∈ R. O operador Bω: V → U é denominado de retro- projeção generalizada, sendo definido por
Bωd(x) =
Z
ω(x, θ)p(x · ξθ, θ)dθ (3.6)
Tal como no caso da transformada de Radon, o operador Bω é o adjunto de Rω. De fato, com a mudança de variáveisx = tξ + sξ⊥ temos
hBωp, fiL2 = Z R2Bωp(x)f(x)dx (3.7) = Z R2dx Z 2π 0 dθω(x, θ)p(x · ξ, θ)f(x) (3.8)
27 = Z Rdt Z Rds Z 2π 0 dθω(tξ + sξ ⊥, θ)p(t, θ)f(tξ + sξ⊥) (3.9) = hp, RωfiL2 (3.10)
para todo p ∈ V. O seguinte Lema aparece como uma generalização do Lema 2.2 (veja pág. 12), dando indícios de que Bω também não é de fato uma aproximação razoável para a inversa de Rω. A demonstração se encontra no Apêndice A.2.
Lema 3.1 Para dois pesos positivos ω1 e ω2, a ação de Bω1 sobre Rω2 é
dada por
Bω1Rω2f(x) =
Z
R2f(u)px(u)h(u − x) du, h(x) = 1/kxk2
(3.11) onde
px(u) = 12[ω1(x, `(u − x))ω2(u, `(u − x))
+ ω1(x, `(u − x) + π)ω2(u, `(u − x) + π)] (3.12)
e` definido por `(v) = − arctanv1
v2, parav ∈ U.
Note que se ω1 = 1, então resulta de (3.12),
px(u) = 12[ω2(u, `(u − x)) + ω2(u, `(u − x) + π)] (3.13)
e se ω2 = 1 então px(u) = 1. Ainda, note que podemos reescrever o Lema acima na forma de convolução
Bω1Rω2f(x) = (fpx? h)(x) (3.14)
Ou ainda, como px = 1 − (1 − px) segue
Bω1Rω2f(x) = (f ? h)(x) − (f[1 − px] ? h)(x) (3.15)
= BRf(x) − (f[1 − px] ? h)(x) (3.16)
onde a última igualdade acima segue pelo Lema (2.2), pois f ? h = BRf. Finalizamos as propriedades relevantes da transformada generalizada com o seguinte Lema, particularmente útil no Capítulo 5, e demonstrado no Apêndice A.3.
Lema 3.2 Para todox ∈ Z, com Z o disco unitário, é válida a desigualdade
|BRωf(x)| ≤ 2kfk∞c(ω), onde c(ω) = Z 2π 0 c(θ)dθ, c(θ) = Z Z|ω(x, θ)|dx. (3.17)
3.1
A Equação do transporte e a Transformada
de Radon
Nas análises que seguem neste e no Capítulo 4, faremos com freqüên- cia menção a equações diferenciais parciais. Mostraremos para o caso clássico de Radon, isto é ω = 1, que o problema que procuramos resolver de fato equivale a tais equações. Com efeito, o processo de reconstrução de imagens é descrito pelo movimento dos fótons. Isto é matematicamente representado pela equação do transporte, que modela o movimento de partículas em meios materiais. Esta equação é dada por
(η1∂x1 + η2∂x2) u(x) = η · ∇u(x) = f(x) (3.18)
onde u = u(x) representa a intensidade da energia de transporte na po- sição x, determinada pela direção unitária η ∈ R2 constante. A função −f = −f(x) denota o coeficiente de absorção do objeto no ponto x, tam- bém dito coeficiente de atenuação segundo a Lei de Beer-Lambert [42]. O problema inverso que se quer resolver aqui é de encontrar a fonte f a partir do campo de radiaçãou, conhecido nos contornos do cilindro Z que suporta a funçãof. Equivalentemente [67], pode-se escrever u = ln ψ e ob- ter outra equação do transporte, a saber η · ∇ψ(x) = f(x)ψ(x). Esta última equação está em concordância com as equações das próximas seções. No entanto, adotaremos (3.18) levando em conta apenas que o tipo de medida obtida no contorno ∂Z é diferente.
Podemos escrever, alternativamente a equação (3.18), da forma
F (x, p, u) = η · p − f = 0 (3.19) onde p = ∇u. Esta equação diferencial parcial de primeira ordem, pode ser resolvida pelo método das características [13, 14], que se propõe a encontrar curvas (ditas características) onde a solução u é determinada pela solução de uma equação diferencial ordinária. O sistema de equações ordinárias equivalente é dado por
dx ds = ∂F ∂p, dp ds = − ∂F ∂x − ∂F ∂up, du ds = ∂F ∂p · p (3.20) onde s é o parâmetro de integração da curva. Nestes casos é fácil perceber que as curvas características são retas com direção η, isto é x(s) = y + sη,
3.2. TOMOGRAFIA POR EMISSÃO 29