A Transformada Modal de Clarke

Há um significante acoplamento eletromagnético entre os condutores de LTs polifásicas, e por meio da transformação modal, tensões e correntes trifásicas são decompostas em um novo conjunto de tensões e correntes modais (ELHAFFAR, 2008). A utilização dessa ferramenta de transformação matricial é justificada pela necessidade de serem obtidos os modos de propagação das OVs, para então conseguir o modo que retorne as características concernentes à análise das diversas contingências aplicadas ao SEP.

5.3.2.1 Componentes de Clarke ou componentes modais

Foi em 1917 a primeira vez que as componentes alfa, beta e zero ou modos aéreos alfa e beta e modo terra, respectivamente, foram empregados no cálculo de tensões e correntes de uma rede afetada por uma falta fase-terra para simplificação dos cálculos realizados por W.W. Lewis e publicado na General Electric Revue, no artigo intitulado “Short Circuit Currents

Grounded Neutral Systems” . A designação atual dessas componentes advém do artigo

“Problems solved by modified Symmetrical components” publicado por Edith Clarke no mesmo evento que Lewis, em 1938, quando foram difundidas e conhecidas como as componentes de Clarke ou transformada modal de Clarke (ROBBA, 1973).

Essas componentes são de extrema importância para esse trabalho, pois elas realizam o desacoplamento das tensões de fase do sistema em estudo, eliminando a impedância mútua entre fases e fazendo com que ele possa ser tratado similar a três sistemas monofásicos distintos e independentes, desacoplados, não permitindo que uma falta em uma dada fase interfira nos sinais de tensão das outras fases (ELHAFFAR, 2008). A Figura 5.4 ilustra esse desacoplamento tanto esquemática como matricialmente, o qual evita o ocorrido com as formas de onda da Figura 5.5, onde uma falta monofásica-terra na fase interfere nas formas de onda das demais fases, expondo o acoplamento existente nos sistemas polifásicos.

Figura 5.5 – Acoplamento eletromagnético entre fases em sistemas trifásicos

Em termos de ondas viajantes, em um sistema trifásico existem diferentes velocidades de propagação. Nos modos aéreos as ondas propagam-se a velocidades próximas à da luz. Já para o modo terra, a velocidade de propagação é aproximadamente 70 % da velocidade da luz. Esses valores de velocidade são dependentes dos parâmetros da LT e, por conseguinte, da geometria da torre.

É importante mencionar que para faltas com conexão à terra (nesse trabalho as fase- terra e fase-fase-terra) apresentam-se sempre os modos aéreos e o modo terra, ao passo que para faltas sem essa conexão (fase-fase, trifásica) somente existirão os modos de propagação aéreos.

A utilização da transformação modal é essencial para auxiliar a Transformada Wavelet na tarefa de localizar faltas, ao minimizar o número de variáveis a serem processadas, como será mostrado oportunamente.

5.3.2.2 Definição das componentes desacopladas

Através da transformação modal de um sistema trifásico, este pode ser representado por um modo terra e dois modos aéreos, cada um deles com velocidade de propagação e impedância característica distintas.

A partir do teorema fundamental das componentes simétricas para as correntes elétricas tem-se: (5.1) 90 95 100 105 110 115 120 125 130 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 Tempo[ms] Te ns ão [k V ]

Tensões no teminal local da LT

Va Vb Vc

Desenvolvendo (5.1) e substituindo o operador , com , resultam:

(5.2)

(5.3)

(5.4) Fatorando-se as partes real e imaginária, reescrevem-se (5.5), (5.6) e (5.7).

(5.5)

(5.6)

(5.7) Expressando-se matricialmente as equações acima, obtém-se (5.8).

(5.8)

Verifica-se a existência de outras três seqüências, com impedâncias características e velocidades de propagação distintas, nas quais uma dada seqüência é decomponível, e denotam-se por:

(5.9) (5.10) (5.11) As seqüências 0, α e β (zero, alfa e beta) são as componentes de Clarke, e a unicidade das mesmas é demonstrada a partir da não-singularidade da matriz TC, sendo o determinante desta igual a .

Do exposto, as componentes de Clarke de uma seqüência de tensão ou corrente elétrica de um sistema completamente transposto são obtidas de (5.12).

(5.12)

Conforme a definição, a componente alfa é uma corrente que flui pela fase e retorna em partes iguais pelas fases e . Já a componente beta flui pela fase e retorna pela , podendo isso ser verificado nas equações a seguir.

Para as componentes de Clarke, assim como para as componentes simétricas, a potência não é um invariante, isto é, (o produto entre a matriz de transformação e sua transposta é diferente da matriz identidade). Assim, alguns autores utilizam-se da definição, como a seguir, para assegurar que a transformação seja um invariante de potência.

(5.13) (5.14) (5.15) Portanto, a matriz de transformação passa à forma (5.16).

(5.16)

Partindo-se das definições anteriores, as componentes simétricas, em termos da transformação modal de Clarke, são dadas por:

No desenvolvimento do trabalho será utilizada, assim como os demais autores no tocante à localização de faltas também utilizam, a matriz de transformação .

Considerando as componentes simétricas e modais, as impedâncias características e as velocidades de propagação das ondas viajantes, conforme já definidas no capítulo IV para LTs monofásicas, passam a ser dadas por (5.17) e (5.18), respectivamente.

(5.17)

(5.18)

Onde:

é a impedância característica de seqüência s – positiva ou negativa – da LT;

é a indutância de seqüência s da LT; é a capacitância de seqüência s da LT;

é a velocidade de propagação das ondas de modo m na LT.

A velocidade de propagação modal é então utilizada no algoritmo do localizador como sendo a velocidade usada na teoria da cinemática clássica para estimação do local da falta. 5.3.2.3 Componente modal utilizada

O algoritmo de localização de faltas faz uso do modo aéreo alfa (ou modo 1 – M1) dos sinais de tensão trifásicos das barras local e remota da LT, isso porque esse modo apresenta-se em todos os tipos de falta que possam vir a acometer um SEP (SILVA, 2005). O modo terra (M0) apresenta-se somente quando de defeitos à terra, o que é ilustrado nos gráficos da Figura 5.6, e o aéreo beta (M2) não consegue retratar faltas monofásicas que acometam a fase , vide gráfico à esquerda na Figura 5.6. Logo, pelos motivos evidenciados, somente o modo alfa será usado no localizador de faltas, porém os demais não são menos importantes, pois podem ser utilizados em outras aplicações, como em classificadores de faltas e em outras metodologias de localização (ELHAFFAR, 2008). Essas características modais para os tipos de falta são mostradas nos gráficos da Figura 5.6, enquanto (5.19) determina a velocidade de propagação do modo aéreo alfa em km/s a partir dos parâmetros indutância e capacitância de sequência positiva da LT em questão.

Figura 5.6 – Componentes modais para falta fase A-terra (à esquerda) e para falta trifásica (à direita)

(5.19)

Na Figura 5.7 fez-se uso da síntese do primeiro nível de detalhes wavelets de M0 para demonstrar, graficamente, que curtos-circuitos sem conexão à terra são despercebidos pela componente modal zero.

Figura 5.7 – Contribuição do modo zero para uma falta trifásica