2.4 A Transformada Wavelet
2.4.5 A Transformada Wavelet Discreta e a An´alise em Multi-resolu¸c˜ao
A an´alise em multi-resolu¸c˜ao de um sinal possibilita a sua decomposi¸c˜ao em aproxima¸c˜oes sucessivas de resolu¸c˜ao cada vez menor, numa seq¨uˆencia de est´agios de processamento con- secutivos. A id´eia b´asica desse tipo de an´alise utiliza bases ortonormais de wavelets como uma ferramenta para descrever matematicamente o “incremento na informa¸c˜ao” necess´ario para se ir de uma aproxima¸c˜ao grosseira para uma aproxima¸c˜ao de maior resolu¸c˜ao.
Essa forma de representa¸c˜ao utiliza o conceito de espa¸co vetorial introduzido na se¸c˜ao 2.1.3. Uma an´alise em multi-resolu¸c˜ao consiste numa seq¨uˆencia de espa¸cos fechados de aproxima¸c˜oes sucessivas Vj . Cada subespa¸co Vj est´a contido no pr´oximo subespa¸co Vj+1,
que cont´em mais informa¸c˜oes que o anterior. Assim, se uma fun¸c˜ao est´a contida em um subespa¸co, conseq¨uentemente est´a em todos os subespa¸cos mais finos.
As se¸c˜oes 2.1.1 e 2.1.2 apresentam os conceitos de bases ortonormais e de representa¸c˜ao por frames. De acordo com estes conceitos, as wavelets ortonormais possuem limites de frames A = B = 1, pois toda base ortonormal ´e um frame estreito e a fam´ılia de wavelets, obtida por meio da Equa¸c˜ao 2.42, ´e uma base ortonormal.
As wavelets discretas de grades di´adicas s˜ao aquelas em que os parˆametros s0e t0valem
2 e 1, respectivamente. Esse arranjo, conhecido como grade di´adica, ´e considerado como a forma mais simples e eficiente de discretiza¸c˜ao dos parˆametros s0 e t0 para prop´ositos
pr´aticos al´em de garantir a constru¸c˜ao de bases ortonormais. Utilizando tal arranjo, a fun¸c˜ao wavelet pode ser escrita como [6]:
ψm,n(u) = 1 √ 2mψ u − n2m 2m (2.44)
Utilizando a wavelet de grade di´adica da Equa¸c˜ao 2.44, a transformada wavelet discreta pode ser definida como [6]:
Tm,n =
+∞
−∞
f (u)ψm,n(u)du (2.45)
Se ψm,n(u) ´e uma base ortonormal, a fun¸c˜ao original pode ser reconstru´ıda por meio
dos coeficientes wavelets, Tm,n, utilizando a transformada wavelet discreta inversa como
mostra a seguinte equa¸c˜ao [6]:
f (u) = +∞ m=−∞ +∞ n=−∞ Tm,nψm,n(u)du (2.46)
As wavelets discretas ortonormais de grades di´adicas s˜ao associadas a fun¸c˜oes de es- cala e a fun¸c˜oes de dilata¸c˜ao. A fun¸c˜ao de escala, tamb´em conhecida como wavelet pai, influencia na suavidade da representa¸c˜ao de uma fun¸c˜ao e tem a mesma forma da fun¸c˜ao wavelet m˜ae [6]: φm,n(u) = 1 √ 2mφ(u2 −m− n) (2.47)
As wavelets pai possuem a seguinte propriedade: +∞
−∞
φ0,0(u)du = 1, (2.48)
onde φ0,0(u) = φ(u). Al´em disso, essa fun¸c˜ao ´e ortogonal a transla¸c˜oes de si mesma,
mas n˜ao a dilata¸c˜oes de sim mesma. A convolu¸c˜ao entre a wavelet pai e a fun¸c˜ao a ser aproximada f (u) produz coeficientes de aproxima¸c˜ao dados por [6]:
Sm, n(u) = +∞
−∞
f (u)φm,n(u)du (2.49)
Uma aproxima¸c˜ao cont´ınua da fun¸c˜ao f (u) na escala de ´ındice m pode ser calculada, somando-se uma seq¨uˆencia de wavelets pai nessa escala fatorada pelos coeficientes de aproxima¸c˜ao, ou seja [6]: fm(u) = +∞ m=−∞ Sm,nφm,n(u), (2.50)
onde fm(u) ´e uma aproxima¸c˜ao da fun¸c˜ao f (u) cuja suavidade depende do valor da escala
de ´ındice m. A fun¸c˜ao f (u) pode ser representada utilizando s´eries de expans˜ao que utilizam ambos coeficientes: os de aproxima¸c˜ao (Sm,n) e os de detalhes (Tm,n):
f (u) = +∞ n=−∞ Sm0,nφm0,n(u) + +∞ m=−∞ +∞ n=−∞ Tm,nψm,n(u) (2.51)
Esta equa¸c˜ao mostra que a fun¸c˜ao cont´ınua original ´e expressa como uma combina¸c˜ao de uma aproxima¸c˜ao de si mesma, calculada em uma escala arbitr´aria de ´ındice m0,
adicionada a uma sucess˜ao de detalhes: os da escala m0 at´e os da escala −∞.
A Equa¸c˜ao 2.49 calcula os coeficientes de aproxima¸c˜ao de uma fun¸c˜ao f (u) na escala m, de forma similar pode-se calcular os coeficientes de detalhes de f (u) na escala m por meio da seguinte equa¸c˜ao:
dm(u) = +∞
n=−∞
Utilizando os coeficientes de aproxima¸c˜ao e de detalhes, pode-se escrever a Equa¸c˜ao 2.51 da seguinte forma: f (u) = fm0(u) + m0 m=−∞ dm(u) (2.53)
Por meio dessa equa¸c˜ao, pode-se mostrar que uma aproxima¸c˜ao de maior resolu¸c˜ao de uma fun¸c˜ao, por exemplo na escala m − 1, pode ser obtida com a adi¸c˜ao dos coeficientes de detalhes aos de aproxima¸c˜ao, ambos na escala m, que tem menor resolu¸c˜ao que m − 1. Essa representa¸c˜ao ´e conhecida como representa¸c˜ao em multi-resolu¸c˜ao em que os detalhes s˜ao o “incremento na informa¸c˜ao” necess´ario para se ir de uma aproxima¸c˜ao grosseira para uma aproxima¸c˜ao de maior resolu¸c˜ao de uma fun¸c˜ao.
A Figura 2.10 mostra a decomposi¸c˜ao e reconstru¸c˜ao em multi-resolu¸c˜ao de um sinal cn por meio da transformada wavelet discreta.
(a) Decomposi¸c˜ao (b) Reconstru¸c˜ao
Figura 2.10: Representa¸c˜ao em multi-resolu¸c˜ao decomposi¸c˜ao e reconstru¸c˜ao do sinal cn.
A Figura 2.10 mostra a decomposi¸c˜ao do sinal em coeficientes de aproxima¸c˜ao e de detalhes e a sua reconstru¸c˜ao a partir desses coeficientes. Tanto a decomposi¸c˜ao quanto a reconstru¸c˜ao s˜ao executadas de forma hier´arquica, em que se tˆem escalas de diferentes n´ıveis resolu¸c˜ao: quanto menor a escala, maior a resolu¸c˜ao.
2.5
Compara¸c˜ao Entre a Transformada
Wavelet e a de Fou-
rier
A principal diferen¸ca entre transformada wavelet e a de Fourier ´e que as fun¸c˜oes wavelets s˜ao bem localizadas no espa¸co e na freq¨uˆencia, ao contr´ario das fun¸c˜oes seno e cosseno da transformada de Fourier. Essa caracter´ıstica de localidade confere caracter´ısticas ´uteis `as tarefas de compress˜ao, detec¸c˜ao de padr˜ao e remo¸c˜ao de ru´ıdo em sinais.
Comparada com a WFT, a transformada wavelet apresenta vantagem, pela varia¸c˜ao das janelas que atuam na localiza¸c˜ao de descontinuidades do sinal. As wavelets m˜ae apresentam escala e localiza¸c˜ao no tempo vari´aveis, de forma que ´e poss´ıvel detectar as descontinuidades. Os valores maiores de escala permitem a an´alise de baixa freq¨uˆencia do
sinal, ao passo que os menores permitem a an´alise de alta freq¨uˆencia.
A transformada wavelet possui um grande conjunto de fun¸c˜oes wavelets m˜ae, ao contr´ario da transformada de Fourier, que utiliza as fun¸c˜oes seno e cosseno. Sendo assim, pela diversidade e numerosidade das fam´ılias de fun¸c˜oes wavelet, a an´alise wavelet provˆe acesso imediato `a informa¸c˜ao, que n˜ao pode ser real¸cada por outros m´etodos constitu´ıdos na rela¸c˜ao de Tempo x Freq¨uˆencia, como a an´alise de Fourier.