2.2 Caracter´ısticas de Texturas
2.2.2 Abordagem Baseada em Processamento de Sinais
Os m´etodos de an´alise de texturas baseados em processamento de sinais possuem a carac-ter´ıstica de extra´ırem descritores a partir da representa¸c˜ao obtida ap´os a execu¸c˜ao de trans-forma¸c˜oes na imagem de entrada. A transformada de Fourier, por exemplo, que efetua uma transforma¸c˜ao linear nos dados de entrada, possui informa¸c˜oes sobre o espectro resultante, essas utilizadas como caracter´ısticas de texturas.
Decomposi¸c˜ ao de Valor Singular
A t´ecnica de decomposi¸c˜ao de valor singular (SVD, singular value decomposition) apresenta-se como uma importante ferramenta em ´areas como restaura¸c˜ao de imagens e compress˜ao de dados, nesta ´ultima, devido a sua caracter´ıstica de resultar em excelente com-pacta¸c˜ao da energia, propriedade tamb´em explorada na an´alise de texturas.
O m´etodo de SVD consiste em decompor uma matriz, cujos elementos podem ser com-postos pela intensidade dos pixels pertencentes a uma dada textura, em uma multiplica¸c˜ao de matrizes. Os valores singulares, obtidos com essa decomposi¸c˜ao, e sua distribui¸c˜ao provˆem informa¸c˜oes ´uteis sobre a textura. Por exemplo, em texturas que apresentam maior aleatori-edade, a energia apresenta-se distribu´ıda entre os valores singulares, enquanto naquelas que se apresentam de forma mais uniforme, a energia fica concentrada apenas em alguns valores singulares.
A partir de resultados obtidos pela ´algebra linear, uma matriz A, M×Ne com M > N, pode ser decomposta como mostrado na equa¸c˜ao 2.54. Nessa decomposi¸c˜ao, denominada decomposi¸c˜ao de valor singular, as matrizes U e V apresentam, respectivamente, M×N e N×N elementos e a diagonal principal da matriz Λ, N×N, cont´em os valores singulares, esses utilizados na determina¸c˜ao das caracter´ısticas de texturas.
A=UΛVT (2.54)
Como caracter´ısticas a serem extra´ıdas a partir dos valores singulares, podem ser utilizadas as medidas de m´edia e desvio padr˜ao mostradas nas equa¸c˜oes 2.55 e 2.56, respectivamente.
Nessas equa¸c˜oes, λk(x, y) denota o elemento contido na posi¸c˜ao (k, k) da matriz Λ, obtida a partir da decomposi¸c˜ao singular efetuada sobre uma janela centrada na posi¸c˜ao (x, y) da textura. Ap´os a obten¸c˜ao das decomposi¸c˜oes singulares para cada uma das janelas, um vetor de caracter´ısticas composto pelas medidas resultantes pode ser criado para descrever a textura.
Por exemplo, se cada janela amostrada contiver 10×8 pixels, oito valores singulares ser˜ao
obtidos, desta maneira, a primeira metade do vetor de caracter´ısticas pode ser composta pela m´edia e a segunda pelo desvio padr˜ao dos valores singulares.
Espectro de Fourier
O espectro resultante da transformada bidimensional de Fourier, quando efetuado o des-locamento do plano de freq¨uˆencias da origem, apresenta grande concentra¸c˜ao de energia no centro para imagens que possuem componentes de baixa freq¨uˆencia, enquanto que essa ener-gia fica mais espalhada, localizando-se inclusive em regi˜oes distantes da origem, em imagens de alta freq¨uˆencia (Gonzalez e Woods 2000). A equa¸c˜ao 2.57 representa a transformada de Fourier para uma imagem n×n, onde i=√
−1.
F(u, v) = 1 n2
Xn−1
k=0
Xn−1
l=0
f(k, l)exp(−2πi(ku+lv)/n) (2.57) Aplicando esses conceitos em texturas, tem-se que o espectro de Fourier para texturas
´asperas apresenta concentra¸c˜ao de energia no centro do plano, devido `a homogeneidade ne-las presente. No entanto, para texturas finas, a energia do espectro encontra-se espalhada pelo plano de freq¨uˆencias. Desse modo, o espectro de Fourier pode ser utilizado como uma caracter´ıstica que avalia a aspereza de texturas.
Expressando-se o espectro em coordenadas polares, levando a uma fun¸c˜ao S(r, θ), sendo queS´e uma fun¸c˜ao de espectro,re θs˜ao vari´aveis nesse sistema de coordenadas. Para cada dire¸c˜ao θ, S(r, θ) pode ser considerado uma fun¸c˜ao Sθ(r). De maneira similar, para cada r, Sr(θ) ´e uma fun¸c˜ao unidimensional. A an´alise de Sθ(r) para um valor fixo de θ fornece o comportamento do espectro (como a presen¸ca de picos) ao longo de uma dire¸c˜ao radial a partir da origem, enquanto a an´alise deSr(θ) para um valor fixo der leva ao comportamento ao longo de uma circunferˆencia centrada na origem.
Uma descri¸c˜ao global ´e obtida atrav´es das fun¸c˜oes mostradas nas equa¸c˜oes 2.58 e 2.59, ondeR denota o raio de uma circunferˆencia centrada na origem, para um espectro den×n.
O valor de R´e tipicamente escolhido como n/2.
S(r) = Xπ
θ=0
Sθ(r) (2.58)
S(θ) = XR
r=1
Sr(θ) (2.59)
Os resultados das equa¸c˜oes 2.58 e 2.59 constituem um par de valores [S(r),S(θ)] para
cada par de coordenadas (r, θ). Variando-se essas coordenadas, pode-se gerar fun¸c˜oes unidi-mensionais S(r) e S(θ) que constituem descri¸c˜oes de energia espectral da textura para uma imagem ou regi˜ao em quest˜ao.
Descritores tipicamente usados para esse prop´osito s˜ao a posi¸c˜ao do valor mais alto, a m´edia e a variˆancia da amplitude e as varia¸c˜oes de eixo, e a distˆancia entre a m´edia e o maior valor da fun¸c˜ao. A figura 2.12 ilustra o uso da equa¸c˜ao 2.59 para a descri¸c˜ao global de textura, dado que cada imagem apresenta primitivas com tamanho e orienta¸c˜oes distintas, percebe-se diferen¸cas claras entre as fun¸c˜oes S(θ)resultantes.
(a)
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
(b)
(c)
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
(d)
Figura 2.12: Fun¸c˜oesS(θ) determinadas a partir do espectro de Fourier das texturas mostradas em (a) e (c). O eixo das abscissas representa o parˆametro θ.
Transformada Wavelet
T´ecnicas que aplicam multi-resolu¸c˜ao em imagens, tais comowavelets, objetivam alterar a representa¸c˜ao de modo que tanto informa¸c˜oes sobre freq¨uˆencia quanto informa¸c˜oes espaciais estejam presentes. O uso da transformada wavelet foi proposta inicialmente para an´alise de texturas no trabalho de Mallat (1989).
Essa transformada decomp˜oe um sinal por meio de uma s´erie de fun¸c˜oes elementares, cha-madaswavelets eescala, criadas por escalamentos e transla¸c˜oes de uma fun¸c˜ao de base,
deno-minada wavelet m˜ae, mostrada na equa¸c˜ao 2.60, onde sguia o escalamento e ua transla¸c˜ao. A decomposi¸c˜ao de uma fun¸c˜ao pode ser obtida por meio de convolu¸c˜oes entre as fun¸c˜oes elementares wavelets e escala com o sinal de entrada, como mostra equa¸c˜ao 2.61, onde f(x) cont´em a fun¸c˜ao do sinal a ser decomposto.
Wf(s, u) = Z∞
−∞
f(x)Ψ?s,u(x)dx (2.61)
Quando a transformada ´e aplicada em imagens bidimensionais, as fun¸c˜oes wavelets s˜ao aplicadas como filtros alta, enquanto as fun¸c˜oes de escala atuam como filtros passa-baixa. Este processo ´e executado recursivamente sempre para a sub-imagem que apresenta menor freq¨uˆencia. Ao final da aplica¸c˜ao, a imagem original apresenta-se decomposta em uma s´erie de imagens com escalas e freq¨uˆencias distintas. A figura 2.13 ilustra a decomposi¸c˜ao efetuada pela transformada wavelet.
Figura 2.13: Decomposi¸c˜ao resultante da aplica¸c˜ao da transformada wavelet. (a) decomposi¸c˜ao em um n´ıvel; (b) decomposi¸c˜ao em dois n´ıveis.
Desde que as imagens de baixa freq¨uˆencia derivadas da decomposi¸c˜ao perdem informa¸c˜oes importantes sobre a textura (Ruiz et al. 2004), apenas as sub-imagens resultantes de aplica¸c˜oes dos filtros passa-alta s˜ao utilizadas para extra¸c˜ao de caracter´ısticas de texturas. Dentre essas caracter´ısticas, encontra-se a energia de uma sub-imagem (Chang e Kuo 1993, de Wouwer et al. 1999), mostrada na equa¸c˜ao 2.62, onde x(l, m) representa os coeficientes resultan-tes da transformada, ECi denota a energia da i-´esima sub-imagem, conforme mostrado na figura 2.13(b), ens×ns apresenta as dimens˜oes da sub-imagem em quest˜ao.
ECi = 1
Outras caracter´ısticas de texturas a serem extra´ıdas a partir da decomposi¸c˜ao obtida pela transformada wavelet s˜ao estat´ısticas de segunda ordem calculadas por meio de matrizes de co-ocorrˆencia sobre as sub-imagens que apresentam alta freq¨uˆencia e as medidas obtidas a partir de histogramas, neste caso resultando em estat´ısticas de primeira ordem (de Wouwer et al. 1999).