Abordagem Contínua e Discreta

Diversos estudo foram já realizados acerca das vantagens de conseguir uma distribuição contínua de partículas ao longo da espessura. Essa distribuição torna-se vantajosa visto que vai na tentativa de minimizar as diferenças de materiais repentinas que provocariam transições abruptas no estado de tensão, bem como tensões residuais superiores e levariam a um pior desempenho do compósito. Porém, existem por vezes limitações do ponto de vista do processo de fabrico, sendo por questões eco- nómicas devido à elevada tecnologia necessária para conseguir distribuições de partículas contínuas ou simplesmente pela impossibilidade de o fazer que levam à necessidade de caracterizar o laminado de forma discreta, como apresenta a figura b) de 3.4.

Figura 3.4: Modelação do FGM (adaptado de Wessel (2004)) a) abordagem contínua; b) abordagem discreta

Este estudo visa comparar a influência das metodologias sobre a deformada transversal máxima e a frequência fundamental do compósito. Pretende-se concluir acerca das consequências da discretização do F GM por um conjunto de camadas homogéneas e qual o impacto sobre os resultados ao escolher um número específico de laminas e relacionar essa discretização com o parâmetro p da distribuição de partículas quando considerada uma distribuição segundo a regra da potência.

O caso de estudo incide sobre um compósito F GM composto por alumínio (Al) e monotungsténio- Carbide (W C) para o caso da análise da deformada transversal. No caso da análise sobre a frequência fundamental o laminado é constituido por alumínio (Al) e óxido de alumínio (Al2O3) . As proprie-

dades de cada material apresentam-se na tabela 3.7.

Tabela 3.7 Propriedades mecânicas dos materiais utilizados

Material Módulo de Young

E (Gpa) Coeficiente de poisson µ Densidade ρ (Kg/m3) Aluminio (Al) 70 0,3 2707 Monotungsténio Carbide (W C) 696 0,3 15600

3.2 - Abordagem Contínua e Discreta 49

Os casos considerados variam na distribuição de densidade de partículas, sendo consideradas mo- delações de distribuições de partículas segundo os expoentes (p), da lei de potência, igual a 0, 0.5, 1 e 2 e pretende-se avaliar a influência da caracterização do laminado segundo 1, 2, 5, 10 e 20 camadas. Pretende-se ainda compreender a influência desta variação sobre laminados com ordens de espessura diferentes, sendo que o estudo foi considerado também segundo relações entre aresta e espessura da placa (a/h) iguais a 5, 10 e 20.

Primeiramente avaliam-se as propriedades mecânicas efectivas do compósito tendo em conta uma distribuição contínua de partículas e considerando uma homogeneização baseada na regra de Mori- Tanaka. Dependendo do número de camadas a ter em conta, as propriedades de cada lâmina serão propriedades médias à cota de espessura (z) média a que esta se encontra.

Figura 3.5: Representação da distribuição continua e discreta de partículas considerando 10 camadas discretas

A Figura 3.5 ilustra as distribuições de cerâmico discretizadas por 10 camadas e a distribuição contínua associada ao expoente da lei de potência considerado.

A modelação do laminado é realizada segundo os vários métodos de elementos finitos implemen- tados anteriormente. O modelo é discretizado segundo uma malha de 20x20 elementos. É considerado um factor de correcção ao corte de 5/6 para todos os casos apresentados nas tabelas 3.8 e 3.9. Tendo em consideração as conclusões dos estudos anteriores, os resultados apresentados seguidamente não incorporam resultados obtidos através de elementos descritos por funções lineares.

A tradução dos resultados para uma perspectiva gráfica correspondem aos valores obtidos pelo elemento Q9-Lagrange.

Tabela 3.8 Abordagem discreta vs contínua: Deformada máxima

Método a/h Contínuo N=1 N=2 N=5 N=10 N=20 p=0

Lagrange Q9 5 -4,81E-07 -4,81E-07 -4,81E-07 -4,81E-07 -4,81E-07 -4,81E-07 10 -6,70E-06 -6,70E-06 -6,70E-06 -6,70E-06 -6,70E-06 -6,70E-06 20 -1,03E-04 -1,03E-04 -1,03E-04 -1,03E-04 -1,03E-04 -1,03E-04 Kriging-Q9 Biquadrático 5 -4,81E-07 -4,81E-07 -4,81E-07 -4,81E-07 -4,81E-07 -4,81E-07 10 -6,71E-06 -6,71E-06 -6,71E-06 -6,71E-06 -6,71E-06 -6,71E-06 20 -1,03E-04 -1,03E-04 -1,03E-04 -1,03E-04 -1,03E-04 -1,03E-04 Kriging Q16-Biquadrático 5 -4,82E-07 -4,82E-07 -4,82E-07 -4,82E-07 -4,82E-07 -4,82E-07 10 -6,71E-06 -6,71E-06 -6,71E-06 -6,71E-06 -6,71E-06 -6,71E-06 20 -1,03E-04 -1,03E-04 -1,03E-04 -1,03E-04 -1,03E-04 -1,03E-04 Kriging Q16-Bicúbico 5 -4,81E-07 -4,81E-07 -4,81E-07 -4,81E-07 -4,81E-07 -4,81E-07 10 -6,71E-06 -6,71E-06 -6,71E-06 -6,71E-06 -6,71E-06 -6,71E-06 20 -1,03E-04 -1,03E-04 -1,03E-04 -1,03E-04 -1,03E-04 -1,03E-04

p=0,5

Lagrange Q9 5 -1,28E-06 -1,28E-06 -1,30E-06 -1,28E-06 -1,28E-06 -1,28E-06 10 -1,82E-05 -1,79E-05 -1,85E-05 -1,82E-05 -1,82E-05 -1,82E-05 20 -2,82E-04 -2,77E-04 -2,87E-04 -2,82E-04 -2,82E-04 -2,82E-04 Kriging-Q9 Biquadrático 5 -1,28E-06 -1,28E-06 -1,31E-06 -1,28E-06 -1,28E-06 -1,28E-06 10 -1,82E-05 -1,80E-05 -1,85E-05 -1,82E-05 -1,82E-05 -1,82E-05 20 -2,82E-04 -2,77E-04 -2,87E-04 -2,83E-04 -2,82E-04 -2,82E-04 Kriging Q16-Biquadrático 5 -1,28E-06 -1,29E-06 -1,31E-06 -1,28E-06 -1,28E-06 -1,28E-06 10 -1,82E-05 -1,80E-05 -1,85E-05 -1,82E-05 -1,26E-06 -1,82E-05 20 -2,82E-04 -2,77E-04 -2,87E-04 -2,83E-04 -1,59E-05 -2,82E-04 Kriging Q16-Bicúbico 5 -1,28E-06 -1,28E-06 -1,31E-06 -1,28E-06 -1,28E-06 -1,28E-06 10 -1,82E-05 -1,80E-05 -1,85E-05 -1,82E-05 -1,82E-05 -1,82E-05 20 -2,82E-04 -2,77E-04 -2,87E-04 -2,83E-04 -2,82E-04 -2,82E-04

p=1

Lagrange Q9 5 -1,70E-06 -2,01E-06 -1,94E-06 -1,76E-06 -1,72E-06 -1,71E-06 10 -2,41E-05 -2,82E-05 -2,77E-05 -2,51E-05 -2,44E-05 -2,42E-05 20 -3,74E-04 -4,34E-04 -4,29E-04 -3,88E-04 -3,78E-04 -3,75E-04 Kriging-Q9 Biquadrático 5 -1,70E-06 -2,01E-06 -1,94E-06 -1,76E-06 -1,72E-06 -1,71E-06 10 -2,41E-05 -2,82E-05 -2,77E-05 -2,51E-05 -2,44E-05 -2,42E-05 20 -3,74E-04 -4,35E-04 -4,29E-04 -3,89E-04 -3,78E-04 -3,75E-04 Kriging Q16-Biquadrático 5 -1,70E-06 -2,02E-06 -1,94E-06 -1,77E-06 -1,72E-08 -1,71E-06 10 -2,42E-05 -2,82E-05 -2,77E-05 -2,51E-05 -2,44E-05 -2,42E-05 20 -3,74E-04 -4,35E-04 -4,29E-04 -3,89E-04 -3,78E-04 -3,75E-04 Kriging Q16-Bicúbico 5 -1,70E-06 -2,01E-06 -1,94E-06 -1,76E-06 -1,72E-06 -1,71E-06 10 -2,41E-05 -2,82E-05 -2,77E-05 -2,51E-05 -2,44E-05 -2,42E-05 20 -3,74E-04 -4,35E-04 -4,29E-04 -3,89E-04 -3,78E-04 -3,75E-04

p=2

Lagrange Q9 5 -2,14E-06 -3,16E-06 -2,81E-06 -2,32E-06 -2,20E-06 -2,22E-06 10 -3,00E-05 -4,42E-05 -3,98E-05 -3,27E-05 -3,08E-05 -3,02E-05 20 -4,63E-04 -6,81E-04 -6,16E-04 -5,06E-04 -4,76E-04 -4,67E-04 Kriging-Q9 Biquadrático 5 -2,14E-06 -3,17E-06 -2,81E-06 -2,32E-06 -2,20E-06 -2,16E-06 10 -3,00E-05 -4,42E-05 -3,98E-05 -3,27E-05 -3,09E-05 -3,03E-05 20 -4,64E-04 -6,82E-04 -6,17E-04 -5,06E-04 -4,76E-04 -4,67E-04 Kriging Q16-Biquadrático 5 -2,14E-06 -3,17E-06 -2,81E-06 -2,32E-06 -2,20E-06 -2,16E-06 10 -3,00E-05 -9,97E-08 -3,98E-05 -3,27E-05 -3,09E-05 -3,03E-05 20 -4,63E-04 -6,82E-04 -6,17E-04 -5,06E-04 -4,76E-04 -4,67E-04 Kriging Q16-Bicúbico 5 -2,14E-06 -3,17E-06 -2,81E-06 -2,32E-06 -2,20E-06 -2,16E-06 10 -3,00E-05 -4,42E-05 -3,98E-05 -3,27E-05 -3,08E-05 -3,02E-05 20 -4,64E-04 -6,82E-04 -6,17E-04 -5,06E-04 -4,76E-04 -4,67E-04

3.2 - Abordagem Contínua e Discreta 51

Conclusões para a Deformada Transversal Máxima

Tendo em conta a tabela de resultados 3.8 e observando graficamente através do gráfico 3.6 a ilus- tração dos mesmos, poder-se-à afirmar que quanto maior o número de camadas discretas, maior será a aproximação da resposta do laminado ao resultado obtido pela abordagem contínua. O resultados apresentados na tabela 3.8 apresentam-se normalizados pela espessura segundo w = wmax/h.

Figura 3.6: Efeito da distribuição de partículas sobre a deformada transversal máxima para uma rela- ção a/h=20

O gráfico 3.6, que ilustra os resultados obtidos para os diferentes expoentes e considerando uma relação de aresta e espessura da placa (a/h) igual a 20, indica que quanto maior o valor do expoente de distribuição p maior será a necessidade de discretizar segundo um maior número de camadas. Esta conclusão é coerente com o caso específico de p = 0 cujo valor de deformada transversal máxima se mantém constante independentemente do número de camadas utilizadas. Trata-se de um caso específico, pois para p = 0 a distribuição deixa de existir e obtém-se um material isotrópico ao longo da espessura.

Ao observar os resultados como um todo, não é evidente, segundo o gráfico 3.7, a influência da relação entre a aresta e a espessura da placa (a/h) sobre o comportamento da deformada transversal máxima.

Figura 3.7: Representação linear da deformada transversal máxima

O gráfico da Figura 3.8, o qual ilustra em escala logarítmica os resultados obtidos, mostra um comportamento semelhante para os diversos casos de relação de aresta e espessura da placa (a/h). Poder-se-à concluir que o desvio associado à abordagem discreta é proporcional à escala de deforma- ção.

3.2 - Abordagem Contínua e Discreta 53

Tabela 3.9 Abordagem discreta vs contínua: Frequência fundamental [¯ω]

Método a/h Contínuo N=1 N=2 N=5 N=10 N=20 p=0 Lagrange Q9 5 2,112 2,112 2,112 2,112 2,112 2,112 10 0,577 0,577 0,577 0,577 0,577 0,577 20 0,148 0,148 0,148 0,148 0,148 0,148 Kriging-Q9 Biquadrático 5 2,111 2,111 2,111 2,111 2,111 2,111 10 0,577 0,577 0,577 0,577 0,577 0,577 20 0,148 0,148 0,148 0,148 0,148 0,148 Kriging Q16-Biquadrático 5 2,111 2,111 2,111 2,111 2,111 2,111 10 0,577 0,577 0,577 0,577 0,571 0,577 20 0,148 0,148 0,148 0,148 0,148 0,148 Kriging Q16-Bicúbico 5 2,111 2,111 2,111 2,111 2,111 2,111 10 0,577 0,577 0,577 0,577 0,577 0,577 20 0,148 0,148 0,148 0,148 0,148 0,148 p=0,5 Lagrange Q9 5 1,567 1,611 1,587 1,573 1,570 1,568 10 0,429 0,440 0,433 0,431 0,430 0,429 20 0,110 0,113 0,111 0,110 0,110 0,110 Kriging-Q9 Biquadrático 5 1,567 1,610 1,586 1,573 1,569 1,567 10 0,429 0,439 0,433 0,430 0,429 0,429 20 0,110 0,113 0,111 0,110 0,110 0,110 Kriging Q16-Biquadrático 5 1,566 1,610 1,585 1,572 1,569 1,567 10 0,429 0,439 0,433 0,430 0,429 0,429 20 0,110 0,113 0,111 0,110 0,110 0,110 Kriging Q16-Bicúbico 5 1,567 1,611 1,586 1,573 1,569 1,568 10 0,429 0,440 0,433 0,430 0,430 0,200 20 0,110 0,113 0,111 0,111 0,110 0,110 p=1 Lagrange Q9 5 1,435 1,402 1,401 1,426 1,432 1,434 10 0,395 0,382 0,383 0,392 0,394 0,395 20 0,102 0,098 0,098 0,101 0,101 0,101 Kriging-Q9 Biquadrático 5 1,434 1,401 1,400 1,426 1,432 1,434 10 0,395 0,382 0,382 0,392 0,394 0,395 20 0,101 0,098 0,098 0,101 0,101 0,101 Kriging Q16-Biquadrático 5 1,434 1,401 1,400 1,425 1,432 1,433 10 0,395 0,382 0,382 0,392 0,394 0,395 20 0,101 0,098 0,098 0,101 0,101 0,101 Kriging Q16-Bicúbico 5 1,434 1,401 1,400 1,454 1,432 1,434 10 0,395 0,382 0,382 0,392 0,394 0,395 20 0,101 0,098 0,093 0,093 0,101 0,101 p=2 Lagrange Q9 5 1,349 1,217 1,253 1,324 1,342 1,347 10 0,374 0,332 0,342 0,365 0,371 0,373 20 0,096 0,085 0,088 0,094 0,096 0,096 Kriging-Q9 Biquadrático 5 1,348 1,217 1,252 1,323 1,341 1,346 10 0,374 0,332 0,342 0,365 0,371 0,373 20 0,096 0,085 0,088 0,094 0,096 0,096 Kriging Q16-Biquadrático 5 1,348 1,217 1,252 1,323 1,341 1,346 10 0,374 0,332 0,342 0,365 0,371 0,373 20 0,096 0,085 0,287 0,094 0,096 0,096 Kriging Q16-Bicúbico 5 1,349 1,197 1,252 1,323 1,341 1,347 10 0,374 0,332 0,342 0,365 0,371 0,373 20 0,096 0,085 0,088 0,088 0,096 0,096

Conclusões para a Frequência Fundamental

A segunda análise referente ao estudo em causa foca-se na variação da frequência fundamental. Trata-se de um estudo similar ao realizado para comparação da deformada máxima aplicado a um F GM de alumínio (Al) e oxído de alumínio (Al2O3). Os resultados são apresentados na tabela 3.9

segundo a normalização ¯ω = 10ωh√ρcEc. Ao contrário do caso anterior, os resultados obtidos em

termos de estudo dinâmico não dependem apenas da matriz de rigidez. Neste caso, está implícita a utilização da matriz de massa. Por isso, as conclusões não são tão evidentes.

Figura 3.9: Representação linear da frequência fundamental

No entanto, para o caso em estudo, podemos concluir, analogamente ao caso da deformada trans- versal, que para expoentes da lei de potência maiores é necessário uma discretização composta por maior número de camadas.