A abordagem modal/formal, como o próprio nome indica, pretende considerar as características fundamentais das duas abordagens anteriores, visando eliminar os problemas oriundos de cada uma delas, quando sugeridas isoladamente.
De acordo com Hanson (1997, p. 37-8),
Nesta visão a conclusão de um argumento é consequência lógica de suas premissas quando for impossível para o próprio argumento, ou para qualquer argumento com a mesma forma, possuir premissas verdadeiras e conclusão falsa. [itálicos nossos]
A noção de forma de um argumento utilizada aqui é a mesma exposta nos dois capítulos anteriores.
Construções desta perspectiva podem ser encontradas em Mendelson (1964), Shoenfield (1967), Quine (1967), Mates (1968) e Hanson (1997).
No que se segue, expomos, em linhas gerais, a proposta semântica modal/formal construída por Shoenfield (1967), em muitos aspectos semelhante à proposta de Tarski exposta na seção anterior.
Definição 3.4.1 (Estrutura para uma linguagem de primeira ordem)
Uma estrutura para uma linguagem de primeira ordem L1, denotada por “A”, consiste dos seguintes elementos:
a: Um conjunto não-vazio |A| chamado domínio de A. Os elementos de |A| são chamados os indivíduos de A.
b: Para cada símbolo de função n-ária f de L1, uma função n-ária fA de |A| em |A| (em que fA é um mapeamento do conjunto de n-uplas em |A| para |A|). Em particular, para cada constante individual f de L1, fA é um indivíduo de A.
c: Para cada letra de predicado P n-ário de L1 distinta de =, um predicado n-ário PA em A (em que PA é um subconjunto do conjunto de n-uplas em |A|).
Uma estrutura é uma “interpretação” ou uma atribuição de “significado” aos símbolos não-lógicos de uma linguagem, a partir dos quais são interpretadas todas as suas expressões. Juntamente com as próximas três definições, ela serve de base para as definições de verdade e consequência lógica.
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Definição 3.4.2 (Linguagem estendida de uma linguagem de primeira ordem)
Uma linguagem estendida de L1, denotada por “L(A)”, é uma linguagem obtida a partir de
L1 acrescida de um nome de indivíduo (expressão que não pertence a L1) para cada indivíduo de A, de modo que indivíduos diferentes tenham nomes diferentes.
Nós utilizaremos o símbolo “” como metavariável para os nomes de indivíduo de
L(A) e “gj” para representar o j-ésimo nome de L(A).
Definição 3.4.3 (Expressão livre de variável)
Uma expressão é livre de variáveis se não possuir variáveis.
Definição 3.4.4 (Interpretação de um termo livre de variável de L(A) em A)
a: Se t é um nome de indivíduo de L(A), então A(t) é o indivíduo de A nomeado por t. b: Se t não é um nome de indivíduo de L(A), então t é ft1...tn e A(t) é fA(A(t1)... A(tn)).
Definiremos um valor de verdade para cada sentença em L(A). A definição, sugerida por Shoenfield (1967, p. 19), é por indução no comprimento de (número de símbolos lógicos presentes em uma fórmula ).
Definição 3.4.5 (Valor de verdade de uma sentença)
O valor de verdade de uma sentença em L(A), denotado por “A()”, é assim definido: 1. Se é t0 = t1, então A(t0 = t1) = V sse A(t0) é o mesmo que A(t1), ou seja, A(t0) =A A(t1). 2. Se é Pt0...tn, e P não é “=”, então A(Pt0...tn) = V sse PA(A(t0), ..., A(tn)), ou seja, sse a
n-upla (A(t0), ..., A(tn)) PA.
3. Se é , então A() = V sse A() = F.
4. Se é (), então A(()) = V sse A() = V ou A() = V.
5. Se é x , então A(x ) = V sse A(x[]) = V, para algum em L(A).
Definimos a seguir a noção de valoração para a Lógica Sentencial Clássica, LSC (Definição 2.2.16), a ser utilizada no próximo capítulo para comparar a semântica probabilística com a semântica veritativo-funcional para LSC.
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Definição 3.4.6 (Valoração para LSC e valor de verdade de fórmulas)
a: Seja Format(LSC) o conjunto de fórmulas atômicas de LSC. Uma valoração para LSC é uma função V : Format(LSC) {V, F}.
b: Seja V uma valoração para LSC. O valor de verdade de uma fórmula Form(LSC) segundo uma valoração V para LSC, denotado por “V ()”, é assim definido:
i: Se é atômica, então V () é dado pela função V .
ii: Se é então V () = V sse V () = F.
iii: Se é () então V () = V sse V () = V ou V () = V.
Dadas estas definições gerais, definimos a seguir a consequência lógica segundo a perspectiva em questão.
Definição 3.4.7 (Consequência lógica padrão)
Uma sentença é consequência lógica padrão de um conjunto de sentenças, denotado por “ ⊨ ”, sse, A() = V em toda estrutura A tal que A() = V (ou seja, A() = V, para toda ). (Em particular, é consequência lógica padrão em LSC de um conjunto de sentenças sse, V () = V em toda valoração V tal que V () = V)
Utilizaremos a expressão “ ⊭ ” para denotar que não é consequência lógica padrão de . Denotaremos o conjunto de consequências lógicas padrão de por ⊨(), ou seja: ⊨() = { | ⊨ }. Utilizaremos a expressão “CLP” como abreviação para “consequência lógica padrão”.
Pode-se mostrar facilmente que CLP é uma consequência lógica Tarskiana, como era de se esperar.
A independência da definição de verdade dos símbolos não-lógicos de uma linguagem evita que CLP apresente o problema da complexidade da linguagem. Se o valor de verdade de uma sentença segundo uma estrutura A não varia nas expansões ou contrações de uma linguagem, CLP também mantém-se inalterada nas suas expansões ou contrações.
Algumas semelhanças também podem ser observadas entre CLP e CLT. Ambas independem do significado dos símbolos não-lógicos das sentenças e são definidas com base em toda circunstância (estrutura ou linguagem). As duas são definidas a partir de um
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conjunto de símbolos lógicos. Em algum sentido, CLP substitui os símbolos não-lógicos das sentenças por metavariáveis, como definido em CLT.
O debate sobre as semelhanças entre CLP e CLT é bastante extenso. Etchemendy (1999) e Bays (2001), por exemplo, defendem a tese que Tarski adotou uma concepção de domínio fixo da consequência lógica. Para Bays (2001, p. 1702) tal adoção não origina os problemas apontados por Etchemendy (1999). Já Sher (1996), Gómez-Torrente (1996) e Ray (1996) argumentam a favor de Tarski ter sugerido uma concepção de modelo com domínios variados.
No artigo de 1933, Tarski parece pressupor a existência de universos distintos. Como a verdade é definida sempre para uma linguagem, a natureza dos indivíduos das sequências é estabelecida com base no objeto de discurso da linguagem. O próprio Tarski (1956c) constrói uma definição de verdade para uma teoria de conjuntos na qual os elementos das sequências são apenas conjuntos. Ele, porém, não se refere a domínios distintos, a subconjuntos do universo.
Já no artigo de 1936, Tarski parece pressupor um universo absoluto ao definir a noção de consequência lógica. Nele, estariam todos os objetos existentes, uma vez que CLT independe de qualquer linguagem ou interpretação dos símbolos não-lógicos. Sob esta ótica, concluiríamos que a definição de CLT não considera domínios distintos.
Outra diferença entre CLT e CLP estaria no mundo subjacente à definição de verdade. Em Tarski, ele parece ser o mundo real, como procuramos mostrar na seção anterior. Em CLP, o mundo subjacente é definido, à primeira vista, em cada estrutura. No restante desta seção analisamos a adequação de CLP considerando a diversidade de domínios e esta aparente independência do mundo real.
Etchemendy (1999, p. 74) afirma que uma das inovações da abordagem modal/formal com relação à abordagem original de Tarski refere-se à consideração de domínios distintos, o que implica em um novo tratamento dado aos quantificadores. Mas isso não salva esta abordagem de possuir alguns problemas, como procuramos mostrar a seguir.
Para evitar os problemas expostos nas abordagens modal e formal, além de não considerar lógicos aqueles símbolos que parecem não ter este caráter, como os nomes de indivíduos ou de predicados, os quantificadores também são tomados, em algum sentido, como símbolos variáveis. Isso possibilita variar a natureza dos objetos envolvidos nas
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sentenças e a quantidade de objetos a serem analisados, considerando as diferentes interpretações dos símbolos não-lógicos, nos diferentes mundos possíveis.
Etchemendy (1999, p. 65-9) apresenta duas versões para tornar variável um quantificador. Ambas propõem a sua interpretação e levam aos mesmos resultados. A interpretação de um quantificador é a atribuição de um conjunto de indivíduos da estrutura aplicados a ele. O quantificador universal “todo x” (“todo objeto”, “todo elemento”) pode ser interpretado como todo homem, todo cachorro, todo atual presidente do Brasil e o quantificador existencial “algum x” (“algum objeto”, “algum elemento”) como algum homem, algum cachorro, algum atual presidente do Brasil.
A interpretação dos quantificadores pode apresentar alguns problemas, como os ilustrados pelos seguintes argumentos:
Exemplo 3.4.10
a: b: c:
x Af01 Érico Veríssimo é escritor
x x Ax Algum objeto é escritor
O argumento do Exemplo 3.4.10a, intuitivamente válido, poderia ser considerado inválido na perspectiva modal/formal caso os quantificadores universal e existencial fossem interpretados inversamente. Para evitar este problema, é necessária a restrição da interpretação dos quantificadores. Um quantificador universal não pode ser substituído por ou interpretado como quantificador existencial e vice-versa.
A restrição acima não resolve o problema do Exemplo 3.4.10b, considerado intuitivamente válido. Suponhamos que o Exemplo 3.4.10b seja “traduzido” para o português como em Exemplo 3.4.10c. Quando “f01” for interpretado como Érico Veríssimo e “x” como algum gato, considerando uma estrutura que espelhe o mundo real, a premissa de Exemplo 3.4.10b seria verdadeira e a sua conclusão seria falsa. Neste caso não teria havido equívoco na interpretação dos símbolos. As categorias semânticas teriam sido respeitadas. O problema consistiria na interpretação conjunta de “Af01” e “x”. Segundo Etchemendy (1999, p. 65), para manter argumentos deste tipo válidos, a perspectiva modal/formal delimita restrições cruzadas de termos (cross-term restrition).
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As restrições referem-se a proibições de interpretações conjuntas de termos. Um exemplo de tal restrição é aquela que obriga nomes de indivíduos e de predicados, quando relacionados como em Exemplo 3.4.10b, serem interpretados de tal modo que o indivíduo pertença à extensão do predicado.
Com a consideração de mundos possíveis distintos e a aplicação de domínios diferentes ao quantificador existencial, a abordagem modal/formal invalida, apropriadamente, os argumentos do Exemplo 3.3.8a‟ e do Exemplo 3.3.9.
O Exemplo 3.3.8a‟ é inválido devido ao conjunto das pessoas com menos de 35 anos e de presidente do Brasil não serem excludentes. Embora no mundo real todo presidente do Brasil tenha tido mais de 35 anos, é logicamente possível a existência de mundos em que pessoas com menos de 35 anos tenham sido presidentes. Na abordagem modal/formal isso poderia ser representado através de uma estrutura na qual algum indivíduo com menos de 35 anos pertencesse à extensão do predicado “presidente do Brasil”.
Considerando as leis da lógica clássica aristotélica, em que ⊨x(x = x), qualquer n- instanciação do Exemplo 3.3.9 possui premissas verdadeiras e conclusão falsa em uma estrutura cujo domínio seja unitário, o que o torna inválido.
Ao impedir certas interpretações com a restrição cruzada de termos, a perspectiva modal/formal desconsidera a característica da necessidade. Tal exclusão poderia pressupor algum tipo de conhecimento prévio acerca dos objetos envolvidos nas sentenças, o que o faria desconsiderar a anterioridade.
Além dos problemas expostos acima, Etchemendy (1999, p. 113) procura mostrar que a abordagem modal/formal apresenta outras dificuldades. O seguinte esquema de argumento ilustra uma delas:
Exemplo 3.4.11 x (x = x x x)
x1…xnni,j=1 (xi xj), para i j.
74 Grau da instanciação Conclusão 2 x1x2 (x1 = x2) 3 x1x2x3 (x1 = x2 x2 = x3 x1 = x3) 4 x1x2x3x4(x1 = x2 x2 = x3 x3 = x4 x1 = x3 x1 = x4 x2 = x4)
A conclusão do Exemplo 3.4.11 determina haver menos que n objetos no universo. Intuitivamente, qualquer n-instanciação deste argumento parece ser inválida, pois a conclusão não é garantida a partir da premissa. Para a perspectiva modal/formal ser adequada, deve haver uma estrutura tal que a premissa do Exemplo 3.4.11 é verdadeira e sua conclusão é falsa.
Para a conclusão de uma n-instanciação do Exemplo 3.4.11 ser falsa em uma estrutura, o seu domínio deve possuir pelo menos n indivíduos. Se concebermos intuitivamente que toda n-instanciação é inválida, para a proposta modal/formal ser adequada deve haver, para toda n-instanciação do Exemplo 3.4.11, uma estrutura em que a conclusão seja falsa e a premissa seja verdadeira. Se o universo for finito, contendo k objetos, toda n-especificação do Exemplo 3.4.11 tal que n k será válida e as demais serão inválidas. Logo, para a abordagem modal/formal ser adequada, deve pressupor que o universo seja infinito. Por outro lado, se concebermos intuitivamente que nem toda n- instanciação é válida, a adequação sempre dependeria da existência da quantidade de objetos no universo.
Uma das saídas para salvar a adequação da perspectiva modal/formal seria considerar a garantia da infinitude do universo uma característica lógica. Segundo Etchemendy (1999, p. 114), é isto o que se faz nessa perspectiva. Ela é construída com base na teoria de conjuntos do tipo ZF, nas quais o axioma da infinitude garante que o universo contém um número infinito de objetos.
Etchemendy (1999) argumenta que o axioma da infinitude expressa uma afirmação extra-lógica. Se fosse lógica, também o seria um axioma que afirmasse a existência de n objetos no universo. Mas isso tornaria válidos, indevidamente, uma série de n-instanciações do Exemplo 3.3.9 e Exemplo 3.4.11.
Afirmar o axioma da infinitude seria o mesmo que tentar adequar o mundo real escolhendo um indivíduo com menos de 35 anos presidente para garantir que argumentos
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como o do Exemplo 3.3.8a sejam inválidos, diz Etchemendy (1999, p. 115). Com essa afirmação, a abordagem modal/formal sofreria crítica semelhante à proposta Tarskiana original: pressuporia um mundo no qual a consequência lógica seria reduzida, o mundo subjacente ao das teorias de conjuntos em que figura o axioma da infinitude.
Uma solução para tais problemas poderia estar na readequação do conjunto de símbolos considerados genuinamente lógicos, desta vez eliminando dele o símbolo de predicado de igualdade “=”. Isso tornaria inválidos os argumentos do Exemplo 3.3.9 e do Exemplo 3.4.11, tanto na abordagem Tarskiana quanto na modal/formal. Nessa circunstância, a conclusão de uma n-instanciação do Exemplo 3.3.9 afirma que o par (A(i), A(j)) =A, para algum par (A(i), A(j)). Já a conclusão do Exemplo 3.4.11 é a negação da conclusão do Exemplo 3.3.9 e é formalmente equivalente a “x1 … xnni,,j=1 (xi=xj), para
i j”. Ela afirma que o predicado “=A” é diferente do vazio .
Para mostrar que o argumento do Exemplo 3.3.9 é inválido, basta apresentar uma estrutura em que o símbolo de predicado “=” é interpretado de tal modo que todo par de indivíduos do seu domínio pertence a =A. Etchemendy (1999, p. 117) cita os predicados
coexistir e ser idêntico ou não idêntico, entendidos do modo usual, como exemplo em que
isso ocorreria. Qualquer indivíduo de uma estrutura A coexiste com qualquer indivíduo de A. Uma estrutura A que interpreta “=” como coexistir, torna falsa a conclusão do Exemplo 3.3.9 e verdadeira a sua premissa, para toda n-instanciação, independentemente do tamanho do universo ou do domínio.
Para mostrar que o argumento do Exemplo 3.4.11 é inválido, é suficiente exibir uma estrutura em que nenhum par de indivíduos pertença a =A. Uma estrutura com apenas um indivíduo na qual “=” é interpretado como ser maior que, entendido do modo usual, torna falsa a conclusão do Exemplo 3.4.11 e verdadeira a sua premissa, em toda n-instanciação do Exemplo 3.4.11.
De acordo com Etchemendy (1999, p. 117), a adequação na avaliação da validade do Exemplo 3.3.9 e do Exemplo 3.4.11 na proposta modal/formal independe de fatores extra- lógicos como o tamanho do universo. Porém, ao excluir o predicado de igualdade “=” do conjunto de símbolos genuinamente lógicos, CLP e CLT enfrentam problemas como os ilustrados pelos argumentos abaixo:
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Exemplo 3.4.12
a: b:
A11f01 x y z (x é maior que y y é maior que z x é maior que z) a = f02 x (x é maior que x)
A11 f02 y x (x é maior que y)
Quando “=” não é símbolo lógico, o argumento do Exemplo 3.4.12 é, erroneamente, considerado inválido, diz Etchemendy (1999, p. 166). Uma estrutura em que “=” é interpretado como ser maior que torna as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.
De acordo com a conclusão do Exemplo 3.4.11b, ser maior que tem um elemento minimal. Já as suas premissas afirmam que este predicado é transitivo e irreflexivo. Como ser maior
que é um “símbolo” não-lógico, a validade deste argumento depende de que, para qualquer
predicado, se ele for transitivo e irreflexivo, então tem elemento minimal.
Pode-se interpretar um predicado atribuindo-lhe um conjunto de n-uplas ordenadas arbitrárias de indivíduos ou apenas como predicados genuínos. Segundo Etchemendy (1999, p. 118), no primeiro caso o Exemplo 3.4.12b é válido com relação a um domínio se, e somente se, esse domínio for finito, independentemente de haver restrições cruzadas de termos. Com isso, tem-se também que o Exemplo 3.4.12b é válido se, e somente se, o universo for finito. No segundo caso, o Exemplo 3.4.12b seria válido caso o universo fosse finito e poderia sê-lo caso o universo fosse infinito e homogêneo, por exemplo.
Em ambas as possibilidades de interpretação de um predicado, a abordagem modal/formal e a Tarskiana dependem do tamanho ou da constituição do universo para determinar a validade do Exemplo 3.4.12b. Mas, diz Etchemendy (1999, p. 120),
... qualquer um reconhece que a afirmação que não há um maior objeto não é uma consequência lógica do simples fato que a relação maior que é transitiva e irreflexiva. Nós o fazemos totalmente independente de nossas crenças ou hipóteses, quaisquer que sejam elas, sobre o tamanho real do universo. Sem dúvida nós simplesmente refletimos que não poderia ter tido nenhum maior objeto, havendo ou não de fato. Questões a respeito de o universo ser ou não finito são completamente irrelevantes para esta intuição fundamentalmente modal.
Etchemendy (1999, p. 121) procura mostrar que o problema das perspectivas formais da consequência lógica, especialmente a de Tarski e a modal/formal, não está na escolha
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apropriada de símbolos lógicos. Independente de como ele seja escolhido, há influências de fatores extra-lógicos como o tamanho do universo.
Quando aplicada aos sistemas formais lógicos de primeira ordem clássicos, a extensão de CLP é razoavelmente semelhante à extensão intuitiva de consequência lógica. Mas tal semelhança não se deve à sua correção ou a uma escolha particular de símbolos considerados genuinamente lógicos. A sua adequação pressupõe a infinitude do universo ou a sua não homogeneidade.
Como esta abordagem está construída com base em teorias de conjuntos do tipo ZF, em que há a garantia de que o universo é infinito e que seus elementos não são homogêneos, coincidentemente a extensão de CLP é equivalente à extensão do que se considera intuitivamente uma consequência lógica. Se o universo fosse distinto, talvez esta extensão não fosse a mesma.
Por depender de um mundo específico, CLP não possui a característica da necessidade. À primeira vista, ela parece satisfazê-la na medida em que considera mundos possíveis distintos. Segundo a crítica de Etchemendy (1999), o problema da abordagem modal/formal é que a possibilidade de um mundo é determinada segundo o mundo-base da teoria de conjuntos do tipo ZF. A consequência lógica é definida em função de um mundo particular. Mas, conclui Etchemendy (1999, p. 120), a relação de consequência lógica entre sentenças deve ser mantida independente da constituição do universo.
Ao tornar a consequência lógica dependente de um mundo específico, CLP deixa de possuir a característica da necessidade e da anterioridade. A abordagem modal/formal não considera todos os mundos e exige conhecimentos prévios sobre os objetos de discurso das sentenças envolvidas na análise.
Em suma, procuramos mostrar neste capítulo que, também sob o ponto de vista semântico, as abordagens aqui investigadas não satisfazem as três características da consequência lógica discutidas na Seção 1.2. Como visto, a validade de certos argumentos na abordagem modal depende do conteúdo das suas sentenças ou de conhecimentos prévios. Já a abordagem formal, em sua versão substitucional, permite que a validade de certos argumentos dependa da escolha dos termos lógicos de uma linguagem ou da complexidade da linguagem subjacente. Em sua versão interpretacional, a abordagem modal faz com que a validade de certos argumentos dependa, além da escolha dos símbolos lógicos de uma linguagem, também da análise do mundo real ou do tamanho do universo.
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Por fim, na versão modal/formal a validade de certos argumentos também depende de fatores como a garantia da infinitude do universo. De um modo ou de outro, tais dependências de fatores extra-lógicos faz com que cada uma destas abordagens, que são usuais e aceitas quase que universalmente no âmbito da Lógica, deixem de satisfazer alguma das características da consequência lógica.
Nestes três primeiros capítulos deste trabalho procuramos fazer uma análise geral de alguns estudos clássicos sobre a consequência lógica. Procuramos apresentar as características centrais das propostas estudadas, investigando se elas satisfazem as principais características da consequência lógica. Em termos semânticos, a concepção usual base para a definição de consequência lógica é a de verdade. No restante deste trabalho proporemos uma concepção de consequência lógica baseada na noção de quantidade de informação. Introduziremos uma definição de consequência lógica informacional assumindo como ponto de partida a Lógica Sentencial clássica, definida no segundo capítulo. Investigaremos qual a lógica subjacente, dentre os sistemas expostos anteriormente, à consequência lógica informacional e se ela satisfaz as características de necessidade, formalidade e anterioridade.
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