Duas das principais caracter´ısticas da relac¸˜ao chuva-vaz˜ao s˜ao: a relac¸˜ao ´e n˜ao linear e a vaz˜ao do per´ıodo atual depende da vaz˜ao do per´ıodo anterior e da chuva passada e corrente. Pode-se assumir que n˜ao existe retroalimentac¸˜ao (feedback) entre vaz˜ao e chuva; logo, uma func¸˜ao de trans- ferˆencia ´e uma alternativa natural para ajustar e prever estes fen ˆomenos. Al´em disso, a vaz˜ao ´e uma vari´avel n˜ao negativa e suas s´eries temporais podem n˜ao ser estacion´arias. Conseq ¨uente- mente, modelos dinˆamicos n˜ao normais e n˜ao lineares parecem bastante apropriados para trabal- har com este tipo de dados.
Se Yt ´e a vaz˜ao e Xt´e a chuva acumulada no tempo t, a relac¸˜ao chuva-vaz˜ao pode ser represen- tada por
Yt ∼ p(Yt|µt, φt), t = 1, 2, . . . (4.1a)
g(µt) = f1(αt, Et) (4.1b)
Et = f2(Et−1, . . . , E0, Xt), (4.1c)
onde p(Yt|µt, φt) ´e uma func¸˜ao de densidade para vari´aveis aleat ´orias n˜ao negativas,µt ´e o valor esperado de Yt,φtdenota os outros parˆametros de p(Yt|µt, φt),αt ´e um n´ıvel b´asico e Et ´e o efeito total da chuva no instante t, g(·), f1(·) e f2(·) s˜ao func¸ ˜oes conhecidas que descrevem a dinˆamica dos processos hidrol ´ogicos. Modelos com os parˆametros variando no tempo ou com variac¸ ˜oes estoc´asticas afetando Ets˜ao casos particulares de (4.1).
4.3.1 Um Modelo Dinˆamico de Fun¸c˜ao de Transferˆencia
De acordo com as hip ´oteses estabelecidas em Migon & Monteiro (1997), a relac¸˜ao entre a vaz˜ao e a chuva pode ser bem representada atrav´es de uma func¸˜ao de transferˆencia, como descrevemos a seguir. O modelo em (4.1) admite que o valor esperado de vaz˜ao m´edia gerada, µt, ou uma func¸˜ao dela, digamos g(µt), pode ser representado como um n´ıvel b´asico, αt, mais o efeito da chuva passada e corrente, Et, isto ´e,µt= αt+ Et. Al´em disso, espera-se que o efeito da precipitac¸˜ao decaia entre os instantes t − 1 e t `a taxaρt ∈ (0, 1). Como Et−1representa o efeito da precipitac¸˜ao anterior ao instante t, uma frac¸˜ao da chuva corrente, digamosγtXt, pode ser acrescentada para estimar o efeito total da chuva no instante t. Adicionalmente, seϑt ´e o efeito m´aximo esperado da precipitac¸˜ao, ent˜aoϑt > µte o restante de vaz˜ao poss´ıvel ´eϑt− (αt+ ρtEt−1); em conseq ¨uˆencia, Et,
em (4.1c), pode ser representado por alguma das seguinte alternativas:
Et = ρtEt−1+ γtXt (4.2a)
Et = ρtEt−1+ [1 − exp(−κtXt)][ϑt− (αt+ ρtEt−1)]. (4.2b) As equac¸ ˜oes (4.2a) e (4.2b) suportam a hip ´otese de que o efeito da precipitac¸˜ao decai exponen- cialmente com o tempo. Na equac¸˜ao (4.2a), quanto maior ´e a quantidade de chuva, maior ´e seu efeito sobre a vaz˜ao; esta hip ´otese ´e conhecida como retornos proporcionais `as entradas. Por outro lado, na equac¸˜ao (4.2b), quanto maior ´e a quantidade de chuva, menor ´e seu efeito e tamb´em tem um limite superior; esta hip ´otese ´e conhecida como retornos decrescentes. A figura4.2 ilustra as hip ´oteses aqui mencionadas.
tempo Et 5 10 15 20 25 0.00 0.10 0.20 0.30 ●●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●● ρρ ==0.7 γγ ==0.3
(a) Decaimento Exponencial
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 2 4 6 8 10 14 1 2 3 4 5 Xt Et ρρEt−−1 γγ ==0.3 (b) Retornos Proporcionais ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 2 4 6 8 10 14 2 3 4 5 6 7 8 9 Xt Et φφ −− αα (c) Retornos Decrescentes
Figura 4.2: Hip ´oteses sobre as Fun¸c ˜oes de Transferˆencia
Interpreta¸c˜ao dos Parˆametros
Nesta subsec¸˜ao associamos os parˆametrosα, ρ e γ em (4.1) e (4.2a) a algumas das caracter´ısticas f´ısicas do processo chuva-vaz˜ao. O parˆametro α representa o n´ıvel b´asico ou fluxo base, que depende do n´ıvel do lenc¸ol fre´atico de cada bacia. Em geral, este fluxo base pode ser conside- rado constante. J´a o parˆametroρ pode ser considerado um fator de recarga ou tamb´em taxa de memorizac¸˜ao do efeito da chuva. Este fator depende das caracter´ısticas geol ´ogicas da bacia e, por- tanto, n˜ao deve variar muito ao longo do tempo. Variac¸ ˜oes neste parˆametro podem ser causadas por mudanc¸as radicais no solo, como a reduc¸˜ao significativa da vegetac¸˜ao.
Finalmente, o parˆametroγ ´e o efeito instantˆaneo da chuva e est´a associado principalmente `a velocidade de escoamento superficial. Este parˆametro tem uma dinˆamica particular. Est´a forte-
mente associado `a taxa de infiltrac¸˜ao do solo e/ou interceptac¸˜ao da chuva pela vegetac¸˜ao, a qual pode ser influenciada pelo regime de chuvas. Assim, ap ´os um per´ıodo chuvoso, o solo estar´a satu- rado e o escoamento superficial ser´a maior. Entretanto, ap ´os um per´ıodo seco a tendˆencia do solo ser´a de absorver as ´aguas da chuva. Este parˆametro tamb´em pode ser afetado pela presenc¸a ou n˜ao de vegetac¸˜ao na regi˜ao. Quando a vegetac¸˜ao cresce passa a haver maior densidade de folhas e, portanto, maior interceptac¸˜ao da precipitac¸˜ao e menor efeito instantˆaneo na vaz˜ao.
4.3.2 Modelando a Chuva
Note que a entrada Xt no modelo (4.1) corresponde `a precipitac¸˜ao na bacia toda, ou seja, uma ´unica medida de chuva ´e necess´aria a cada instante do tempo. Entretanto, em muitas situac¸ ˜oes reais, a precipitac¸˜ao ´e medida em mais de uma estac¸˜ao localizada dentro de uma bacia. Portanto, a chuva total, Xt, deve ser obtida a partir da soluc¸˜ao do problema de mudanc¸a de suporte. Usa- se mudanc¸a de suporte quando se tem interesse na inferˆencia sobre vari´aveis em unidades de ´area (block data) diferentes daquelas onde foi observada (Gelfand et al., 2001). A chuva de uma regi˜ao (Areal rainfall) pode ser vista como uma m´edia entre os dados de chuva pontuais observados porque ´e um processo espacial cont´ınuo.
Seja {Xt(s), s ∈ B ⊂ R2, t = 1, 2, . . .} um campo espacial aleat´orio no instante t e na localizac¸˜ao s. Aqui, Xt(s) ≥ 0 ´e uma vari´avel aleat ´oria que representa a quantidade de chuva no instante t na localizac¸˜ao s. Ent˜ao, a chuva numa bacia ou regi˜ao B, Xt, ser´a descrita por
Xt = |B|−1 Z
B
Xt(s)ds, (4.3)
onde |B| ´e a ´area da bacia. Em particular, Xt(s) pode seguir uma distribuic¸˜ao normal truncada e, como sugerido em Sans ´o & Guenni (2000), pode ser representada pelo modelo espac¸o-temporal seguinte: Xt(si) = wt(si)β se wt(si)> 0, si∈B 0 se wt(si) ≤ 0 (4.4a) wt(s) = θtf (s)+ Zt(s)+ t(s) (4.4b) Zt(s) ∼ GP(0, σ2%(ks1, s2k, λ)), (4.4c)
onde s ´e o vetor de localizac¸ ˜oes, wt(s) ´e uma vari´avel normal latente descrita pela soma de trˆes componentes: (a)θtf (s), uma tendˆencia polinomial, (b) Zt(s), um processo com correlac¸˜ao espacial e (c) t(s), um efeito aleat ´orio com variˆancia denotada por efeito pepita (nugget effect) (Cressie,
1993). O parˆametroσ2 ´e a variˆancia do processo Z(s) e%(ks1−s2k, λ) representa uma func¸˜ao de correlac¸˜ao dependente do parˆametroλ. Uma forma alternativa de modelar a chuva ´e o uso de uma mistura de distribuic¸ ˜oes, como em Velarde et al. (2004) e Fernandes (2005), para levar em conta o excesso de zeros dos per´ıodos secos.
Nossa proposta consiste em realizar o ajuste das equac¸ ˜oes (4.1) e (4.4) simultaneamente. Esta proposta pode ser vista como um sistema simples mas completo e eficiente para ajustar e prever duas das mais importantes vari´aveis hidrol ´ogicas. A especificac¸˜ao do modelo apresentado envolve v´arias subclasses de modelos. ´E bastante flex´ıvel e todos os parˆametros tˆem interpretac¸˜ao f´ısica clara. Al´em disso, toda a incerteza envolvida nos processos f´ısicos ´e explicitamente levada em conta.
4.4 Procedimento de Inferˆencia
Suponha que dispomos de dados de vaz˜ao observados durante T per´ıodos de tempo e de dados de chuva observados em S localizac¸ ˜oes (no espac¸o) na bacia B durante o mesmo per´ıodo de tempo, isto ´e, Y = (Y1, . . . , YT)0 e X(s) = (X1(s), . . . , XT(s))0, onde s ´e o vetor de localizac¸ ˜oes (s1, . . . , sS). Temos tamb´em Xt(s) = (Xt(s1), . . . , Xt(sS))0 e X(si) = (X1(si), . . . , XT(si))0, si ∈ B, i = 1, . . . , S. Al´em disso, suponha que X denota a s´erie temporal da chuva da bacia (de ´area), isto ´e, X= (X1, . . . , XT)0. A distribuic¸˜ao conjunta de Y, X e X(s) ´e dada por
p(Y, X, X(s)|Θ) = p(Y|X, X(s), ΘY)p(X, X(s)|ΘX), (4.5)
onde Θ = (ΘY, ΘX), ΘY denota os parˆametros em (4.1) e ΘX denota os parˆametros em (4.4). Tamb´em p(Y, X, X(s)|Θ) = T Y t=1 p(Yt|Xt, Xt(s), ΘY)p(Xt, Xt(s)|ΘX) = T Y t=1 p(Yt|Xt, Xt(s), ΘY)p(Xt|Xt(s), ΘX) S Y i=1 p(Xt(si)|ΘX). (4.6) Gelfand et al. (2001) propuseram aproximar p(Xt, Xt(s)|ΘX) usando integrac¸˜ao Monte Carlo. Para isso, eles propuseram amostrar um conjunto de observac¸ ˜oes em SBlocalizac¸ ˜oes, independente e uniformente distribu´ıdas sob B, e calcular (amostrar)
ˆ Xt= 1 SB SB X i=1 ˆ Xt(si) i= 1, . . . , SB, (4.7)
onde ˆXt(si) ´e o valor predito de chuva para a i−´esima localizac¸˜ao de uma grade regular de in- terpolac¸˜ao de SB localizac¸ ˜oes, constru´ıda dentro dos limites da bacia B. Por sua vez (5.11) ´e a aproximac¸˜ao de Monte Carlo de (4.3).
A distribuic¸˜ao preditiva, necess´aria para interpolar a chuva, Xt(si), num novo conjunto de localizac¸ ˜oes, por exemplo, Xt(s0)= (Xt(s10), . . . , Xt(s0N))0, ´e dada por:
p(X(s0)|X(s))= Z
p(X(s0)|X(s), ΘX)p(ΘX|X(s))p(ΘX), (4.8)
ondeΘXcont´em todos os parˆametros em (4.4).
De acordo com o paradigma bayesiano, a especificac¸˜ao do modelo fica completa somente de- pois da atribuic¸˜ao da distribuic¸˜ao a priori das quantidades desconhecidas. Ap ´os isso, amostras das distribuic¸ ˜oes a posteriori podem ser obtidas via m´etodos MCMC (Gamerman & Lopes, 2006). Dadas as express ˜oes acima, o procedimento de inferˆencia via MCMC pode ser realizado nas etapas seguintes:
(1). Ajustar um modelo espac¸o-temporal para a chuva, X(s), observada em S localizac¸ ˜oes da bacia B.
(2). Obter as amostras da chuva na bacia, X, a partir da amostra preditiva de X(s), gerada no passo(1), para cada ponto da grade de interpolac¸˜ao.
(3). Ajustar um modelo chuva-vaz˜ao para Y, usando como X a cadeia gerada no passo(2). Em particular, para os modelos dinˆamicos de vaz˜ao considerando a distribuic¸˜ao gama, propo- mos o uso do esquema de amostragem chamado CUBS, abreviac¸˜ao do inglˆes Conjugate Updating Backward Sampling (apresentado no cap´ıtulo3), que combina o Conjugate Updating de West et al. (1985) para modelos dinˆamicos na fam´ılia exponencial, com o Backward Sampling de Fr ¨uhwirth- Schnater (1994). Observamos que para modelos de func¸˜ao de transferˆencia n˜ao-normais, CUBS re- duz significativamente o tempo computacional necess´ario para atingir a convergˆencia das cadeias, al´em de ser de f´acil implementac¸˜ao.
Sob esta abordagem, a inferˆencia sobre eventos relacionados, por exemplo, a probabilidade de per´ıodos secos ou a probabilidade de que a vaz˜ao exceda algum valor pre-fixado, pode ser realizada de maneira relativamente simples.