As abordagens por solução de problemas enfatizam o ensino de tópicos de matemática em que o professor orienta os alunos a construir o conhecimento matemático relacionado com o conceito explorado, Pólya [106] [107] [108] [109]. Visando desenvolver as estruturas conceituais e maior apreciação da matemática, o professor atua mediando as atividades de ensino, para que os estudantes desenvolvam as atividades propostas. Esta mediação orienta os alunos a executarem procedimentos investigativos baseados em construções de conjecturas, exploração, testes e verificação de resultados válidos.
Segundo Schoenfeld [122], o aprendizado matemático deve ser orientado a aprender “how to think”. Ele descreve ainda, o processo de resolução de problemas como uma ponte entre os conhecimentos prévios e o conhecimento que adquire durante o processo, definindo um bom processo de solução de problemas aquele em que o estudante:
“(...) may not fully understand the problem, and may simply explore it for a while until he feels comfortable with it. He will probably try to match it to familiar problems, in the hope it can be transformed into a (nearly) schema-driven solution. He will bring up a variety of plausible things: related facts, related problems, tentative approaches, etc. All of these will have to be juggled and balanced. He may make an attempt solving it in a particular way, and then back off. He may try two or three things for a couple of minutes and then decide which to pursue. In the midst of pursuing one direction he may back and say ‘that’s harder than it should be’ and try something else. Or, after the comment, he may continue in the same direction. With luck, after some aborted attempts, he
will solve the problem.”(Schoenfeld [122], pags. 32-33)
Os estudos do NCTM (The National Council of Teachers of Mathematics- USA) [94], definem o método por resolução de problemas como:
“Problem solving means engaging in a task for which the solution method is not known in advance. In order to find a solution, students must draw on their knowledge, and through this process, they will often develop new mathematical understandings.”(NCTM [94], pag. 51)
Ainda Schoenfeld [122]:
“Mathematics is a discipline of clear and logical analysis that of- fers us tools to describe, abstract, and deal with the world (and la- ter, world of ideas) in a coherent and intelligent fashion.”(Schoenfeld [122], pag. 32)
Schoenfeld em [123], cita o trabalho de Burkhardt sobre as dificuldades enfrentadas pelos professores quando aplicam estratégias baseadas em reso- lução de problemas. As dificuldades enumeradas são de três tipos:
Dificuldades Matemáticas - os professores devem perceber as diferentes abordagens apresentadas pelos estudantes, reconhecer se podem estar corretas, e caso não estejam, indicar o caminho correto.
Dificuldades Pedagógicas - o professor deve decidir quando faz intervenções, e que sugestões poderão ajudar os estudantes a encontrarem suas próprias soluções.
posição, raro para professores de matemática e inconfortável para muitos, de não saber; trabalhar bem sem saber todas as respostas exige experiência, confiança, e autoconsciência.
Pólya em [110] relaciona o desenvolvimento do pensamento matemático com o fazer matemática a partir de estratégias baseadas em resolução de problemas.
“To understand mathematics means to be able to do mathema- tics. And what does it mean doing Mathematics? In the first place it means to be able to solve mathematical problems. (...) And the part that mathematics plays is mostly about thinking. Mathematics is a good school of thinking. But what is thinking? The thinking that you can learn in mathematics is, for instance, to handle abstractions.”(Pólya [110])
A resolução de problemas proposta por Pólya admite a elaboração de estratégias para se chegar a uma solução. Fazer uma representação gráfica, tentar resolver outro mais simples relacionado com o problema inicial, dividir este em outros de solução mais simples, elaborar conjecturas, testar soluções, fazer pesquisa bibliográfica.(Pólya [106])
A aprendizagem por soluções de problemas pode contribuir para o do- mínio da linguagem matemática, permitindo a elaboração de procedimentos que promovam discussões, difusões de idéias e reflexões sobre os conteúdos e algoritmos eventualmente utilizados. Procedimentos próprios podem ser de- senvolvidos durante o processo de construção das soluções para os problemas propostos. Esta abordagem pode ser utilizada para estimular os estudantes a fazerem generalizações sobre regras e conceitos matemáticos.
“Teaching and learning would be improved, so the argument goes, if classrooms were organized to engage students in authentic tasks, guided by teachers with deep disciplinary understandings. Stu- dents would conjecture, experiment, and make arguments; they would frame and solve problems; they would read, write, and cre- ate things that mattered to them. Teachers would guide and ex- tend students’ intellectual and practical forays, helping them to extend their ways of thinking and what they know as they deve- lop disciplined ways of thinking and encounter others’ texts and ideas." (Ball [4], pg 3)
Entendemos que as atividades relacionadas com resoluções de proble- mas são apropriadas a ambientes para Aprendizado Colaborativo Apoiado por Computador, pois apresentam as seguintes características:
• Interações entre estudantes, e entre professor e estudantes, facilitando a criação de Redes de Apoio4;
• Abertura de canais para comunicação entre os estudantes durante as atividades;
• O professor fornece informações suficientes para dar suporte ao pro- blema apresentado, intervindo quando considera conveniente ou quando solicitado pelos alunos;
• Ocorrência de diferentes soluções para um mesmo problema proposto; • Promoção de discussões sobre regras e conceitos orientadas para que
os estudantes façam generalizações;
• Utilização de roteiros para atividades realizadas por grupos de estu- dantes.
A elaboração de estratégias de ensino para serem usadas em abordagens por soluções de problemas tem como referência o desenvolvimento do pensa- mento matemático do aluno. Segundo Piggott,
“We are taking mathematical thinking to mean particular mathe- matical strategies that are employed in solving problems of diffe- rent types.” (Piggott [101], pg 6)
Piggott [101] descreve estratégias desenvolvidas na resolução de proble- mas e que estariam relacionadas ao desenvolvimento do Pensamento Mate- mático:
• Conjecturar/Teorizar/Sistematizar • Generalizar
• Especializar/ Clarificar/ Procurar por exemplos específicos • Considerar os casos especiais
• Resolver problemas mais simples que estejam relacionados
• Refletir sobre experiências anteriores, relacionando-as ao problema atual • Realizar múltiplas representações
• Identificar e descrever padrões
Para Piggott, as abordagens por resoluções de problemas se dividem em quatro etapas: Compreensão; Análise e Síntese; Planejamento e Exe- cução; e Avaliação. A estrutura proposta por Piggott possui características semelhantes àquelas desenvolvidas para os projetos baseados no Aprendizado Colaborativo. A estrutura proposta por Piggott atende as necessidades iden- tificadas por Nason & Woodruff, como fundamentais para projetos que pre- tendem implementar o Aprendizado Colaborativo Apoiado por Computador em Matemática, e ressaltam que esta ausência seria uma das
“[...] major reasons why mathematics educators have had much less success in establishing online knowledge-building communities than their peers in other discipline areas [...]" (Nason & Woodruff [91], pg 126).
A mediação é um aspecto muito relevante em abordagens por resolução de problemas. O papel desempenhado e o modo de atuar do mediador ca- racterizam o tipo de suporte oferecido aos estudantes. Os níveis de suporte e os processos de avaliação são aspectos relevantes e que necessitam estudos que contribuam para abordagens que introduzam o trinômio pensar-resolver- refletir nos processos de ensino e aprendizagem em matemática. Durante as atividades os alunos podem ser encorajados a formular perguntas aos cole- gas, levantar dúvidas em relação aos conteúdos abordados no problema, e ainda incentivados a construir suas soluções através de argumentações com os membros do grupo.
Uma atividade baseada em resolução de problemas possibilita aos estu- dantes uma participação ativa, através da leitura, resolução escrita e comu- nicação dos seus resultados. A resolução de problemas permite, através de apresentações dos resultados, debates e questionamentos sobre a atividade matemática proposta.
Entendemos que os procedimentos relativos à solução de problemas em Matemática são próprios a ambientes interativos, principalmente aqueles ba- seados em Aprendizagem Colaborativa Apoiada por Computador - CSCL. De acordo com o nosso estudo a introdução das Tecnologias de Informação e Comunicação - TIC, em conjunto com metodologias de ensino, baseadas em abordagens por solução de problemas permite aos estudantes pensarem sobre o problema, organizar as idéias, e discutir possíveis soluções, e estabelecer um canal para a comunicação com os colegas. Com base nestes princípios, contribuímos com o projeto do software Tabulæ Colaborativo, apresentando Roteiros de Colaboração que procuram agregar tais características ao ambi- ente computacional.