1.6. Equações cinemáticas
1.6.2. Aceleração da gravidade
Na proximidade da superfície da Terra, a aceleração de todos os objetos em queda livre tem o mesmo valor constante, chamado aceleração da gravidade e representado pela letra g. Em diferentes locais o valor de g sofre ligeiras alterações locais, mas é sempre aproximadamente 9.8 m/s2. A resistência
do ar produz outra aceleração que contraria o movimento, mas quando essa resistência for desprezável, admite-se que o valor da aceleração é constante e igual a g.
A aceleração tangencial produzida pela gravidade poderá ser positiva, negativa ou nula, já que pode fazer aumentar ou diminuir a velocidade do objeto, e poderá ter um valor diferente de g se a trajetória não for vertical. Mas se o eixo dos y for definido na vertical e apontando para cima, a aceleração ay da projeção do movimento no eixo dos y tem sempre o valor
constante ay = −9.8 m/s2 (ou +9.8 se o sentido positivo do eixo y for
definido para baixo).
Exemplo 1.3
Atira-se uma pedra para cima, desde uma ponte que está 5 m acima de um rio; a componente vertical da velocidade com que é lançada a pedra é igual a 9 m/s. A pedra acaba por afundar-se no rio. Calcule a velocidade com que a pedra bate na superfície do rio e a altura máxima por ela atingida, medida desde a superfície do rio (admita que a resistência do ar pode ser desprezada).
Resolução. Escolhendo o eixo y na vertical, apontando para cima e com
origem na superfície do rio, a posição inicial é y0= 5 e o valor da componente
Como o movimento é uniformemente acelerado este exemplo pode ser resolvido usando as equações1.14,1.15e1.16. No entanto, mostra-se aqui a resolução usando outro método mais geral, chamado método de separação
de variáveis, que é útil em outros casos mais complicados.
O valor constante da aceleração ay pode ser substituído nas equações
cinemáticas1.19 (usando y em vez de x); as duas equações cinemáticas onde se substitui ay ficam −9.8 = d vy/d te −9.8 = vyd vy/d y, que são
equações diferenciais ordinárias porque cada uma tem apenas duas variáveis; vy e t na primeira equação e vye y na segunda.
Como o problema pede para calcular vy a partir da altura inicial y0dada,
usa-se a equação que relaciona y com vy:
−9.8 = vy
d vy
d y
A seguir, considera-se a derivada nessa equação como se fosse um quociente entre d vye d y e agrupa-se num lado da equação todo o que depende de y e
no outro lado todo o que depende de vy
−9.8 d y = vyd vy
Diz-se que foram separadas as variáveis nos dois lados da equação. Uma vez separadas as variáveis, integram-se os dois lados da equação e podem dar-se já valores aos limites dos dois integrais. No integral do lado esquerdo, a altura varia desde y0= 5 até y = 0 (limites de integração para d y). No
integral do lado direito, a velocidade varia desde 9 até um valor final vf que
se pretende calcular e que, portanto, é colocado no limite do integral como variável desconhecida a ser calculada:
− 0 w 5 9.8 d y = vf w 9 vyd vy
Calculam-se os dois integrais manualmente ou usando o Maxima (integrate (9.8,y,5,0) eintegrate(vy,vy,9,vf)). O resultado obtido é:
9.8 × 5 = v 2 f 2 − 81 2 =⇒ vf = − √ 98+ 81
(a segunda solução da equação, +√98+ 81, corresponde à velocidade com que a pedra deveria ter partido da superfície da água, para passar pela ponte com componente da velocidade de 9 m/s para cima).
1.6 Equações cinemáticas 21
Assim sendo, a componente vertical da velocidade com que a pedra entra no rio é vf = −13.38 m/s; como a pedra foi lançada verticalmente, a trajetória é
vertical e esta é também a velocidade v. Para determinar a altura máxima, tem-se em conta que no ponto onde a pedra termina a sua subida e começa a descer, a componente vertical da sua velocidade deve ser nula. Repete-se o mesmo cálculo dos integrais acima, mas deixando a altura máxima ym
como variável a ser calculada, enquanto que a velocidade final é substituída por 0: − ym w 5 9.8 d y = 0 w 9 vyd vy
o resultado obtido para a altura máxima (em metros) é:
9.8(5 − ym)= −
81
2 =⇒ ym= 9.13
Em algumas equações diferenciais é impossível separar as variáveis; para esses casos existem outras técnicas de resolução. A abordagem usada nos capítulos seguintes deste livro é utilizar métodos numéricos de resolução quando o método de separação de variáveis não pode ser usado.
Exemplo 1.4
Num tiro com arco (ver figura), a aceleração da flecha diminui linear- mente em função da sua posição no arco, s, desde um valor máximo inicial de 4500 m/s2, na posição A, até zero, na posição B que se
encontra 600 mm de A. Calcule a velocidade com que sai disparada a flecha em B.
Resolução: No intervalo 0 ≤ s ≤ 0.6 m, a aceleração tangencial (unidades SI) é: at = 4500 − 4500 0.6 s= 4500 1 − s 0.6
que pode ser substituída na equação que relaciona at, v e s para se obter
uma equação diferencial de variáveis separáveis:
at= v d v d s =⇒ 4500 1 − s 0.6 = v d v d s Separando as variáveis s e v e integrando obtém-se:
4500 0.6 w 0 1 − s 0.6 d s= v w 0 v d v
A resolução dos dois integrais conduz a: v2 2 = 4500 0.6 − 0.62 2 × 0.6
e o valor da velocidade final é
v=√4500 × 0.6 = 52.0 m s
Perguntas
1. A aceleração tangencial de um objeto é at= 4 t (unidades SI). Se num
instante inicial a velocidade for igual a 4 m/s, qual será a velocidade 3 segundos mais tarde?
A. 22 m/s B. 18 m/s
C. 40 m/s D. 36 m/s
E. 4 m/s
2. Em qual dos seguintes casos é possível afirmar, sem lugar a dúvida, que
a rapidez do objeto está a diminuir? A. v = 3 m/s, at= 5 m/s2
B. v = −3 m/s, at= 5 m/s2
1.6 Equações cinemáticas 23
D. vy = −3 m/s, ay = 5 m/s2
E. vy = −3 m/s, ay = −5 m/s2
3. A projeção x da velocidade de uma partícula que se desloca no eixo dos
xé dada pela expressão: vx = 2 x2
Qual é a expressão correta para a projeção x da aceleração? A. 8 x3 B. 4 x C. 2 x2 t D. 2 x E. 2 x3
4. O gráfico mostra a velocidade de um corpo, em função do tempo. Deter-
mine a distância percorrida desde t = 0 até t = 5 s.
0 t (s) v (m/s) 3 5 9 2 4 A. 1 m B. 12 m C. 7 m D. 5 m E. 19 m
5. Num gráfico que mostra a velocidade em função da posição na trajetória,
o declive em cada ponto representa: A. A aceleração tangencial. B. A velocidade.
C. A aceleração tangencial dividida pela velocidade. D. A velocidade vezes a aceleração tangencial. E. A velocidade dividida pela aceleração tangencial.
Problemas
1. A posição de um objeto na sua trajetória é dada pela expressão s =
2t3− 6t2+ 10 (unidades SI). Determine o tempo, posição e aceleração tangencial nos instantes em que a velocidade do objeto é nula (v = 0).
2. A aceleração de um objeto que se desloca no eixo dos x é ax= −4 m/s2.
Se em t = 0, vx= +24 m/s e x = 0, determine a velocidade e a posição
em t = 8 s e a distância total percorrida entre t = 0 e t = 8 s.
3. Em t0 = 0, um objeto encontra-se em repouso na posição s0 = 5 cm
num percurso. A partir desse instante o objeto começa a deslocar-se no sentido positivo de s, parando novamente num instante t1. A expressão
da aceleração tangencial, entre t0 e t1, é: at = 9 − 3t2, onde o tempo
mede-se em segundos e a aceleração em cm/s2. Calcule: (a) O instante t 1
em que o objeto volta a parar. (b) A posição no percurso nesse instante.
4. A aceleração tangencial de uma partícula é dada pela expressão at =
−k/s2, onde k é uma constante positiva. A partícula parte do repouso
em s = 800 mm, e em s = 500 mm a sua velocidade é −6 m/s. Calcule: (a) O valor de k. (b) A velocidade da partícula em s = 250 mm.
5. A aceleração de um objeto que oscila no eixo dos x é ax = −k x, onde k
é uma constante positiva. Calcule: (a) O valor de k para que a velocidade seja vx = 15 m/s quando x = 0 e a posição seja x = 3 m quando vx = 0.
(b) A velocidade do objeto quando x = 2 m.
6. A aceleração tangencial de um objeto é at = −4 s (1 + k s2)(unidades
SI), onde s é a posição ao longo da trajetória e k uma constante. Sabendo que num instante o objeto passa pela origem s = 0 com velocidade v = 17 m/s, determine a velocidade em s = 4 m, para os seguintes valores da constante k: (a) k = 0, (b) k = 0.015, (c) k = −0.015.
7. O quadrado da velocidade v de um objeto diminui linearmente em função
da posição na sua trajetória, s, tal como se mostra no gráfico. Calcule a distância percorrida durante os dois últimos segundos antes do objeto chegar ao ponto B. 0 s (m) v2 (m/s)2 100 400 2500 900 A B
1.6 Equações cinemáticas 25 8. A aceleração tangencial de um objeto é at= −0.4 v, onde até medida
em mm/s2e v em mm/s. Sabendo que em t = 0 a velocidade é 30 mm/s,
calcule: (a) A distância que o objeto percorre antes de parar. (b) O tempo necessário para o objeto parar. (c) O tempo necessário para que a velocidade diminua ate 1 por cento do seu valor inicial.
9. A aceleração tangencial de um objeto em queda livre no ar, incluindo a
resistência do ar, é dada pela expressão at = g − C v2/m, onde C e m
são constantes. Se o objeto parte do repouso em t = 0: (a) Demonstre que a velocidade num instante posterior t é
v =r m g C tanh r C g m t !
(b) Determine a expressão da velocidade do objeto após ter caído uma distância s. (c) Porquê será que a velocidade vt = pm g/C chama-se
velocidade terminal?
10. Uma pedra é lançada verticalmente para cima desde uma ponte que está
40 m por cima da superfície de um rio. Sabendo que a pedra cai na água 4 segundos após ter sido lançada, calcule: (a) A velocidade com que a pedra foi lançada. (b) A velocidade com que a pedra entra na água.
11. A posição de uma partícula que se desloca no eixo dos x é aproximada
pela relação x = 2.5 t3 − 62 t2 + 10.3 t (unidades SI). (a) Encontre
as expressões para a velocidade e a aceleração em função do tempo. (b) Determine os valores do tempo, a posição e a aceleração nos instantes em que a partícula está em repouso (vx = 0). (c) Trace os gráficos da
posição, da velocidade e da aceleração, em 0 ≤ t ≤ 20.
Respostas
Perguntas: 1. A. 2. B. 3. A. 4. C. 5. C. Problemas
1. t= 0, s = 10 m, at= −12 m/s2e t = 2 s, s = 2 m, at= 12 m/s2.
2. Velocidade −8 m/s, posição x = 64 m e distância percorrida 80 m. 3. (a) 3 s (b) 25.25 cm.
4. (a) 24 m3/s2(b) 11.49 m/s.
6. (a) ±15 m/s, porque o objeto oscila (b) ±14.74 m/s, porque o objeto
oscila. (c) 15.25 m/s, unicamente positiva porque o objeto desloca-se sempre no sentido positivo. (para saber se o objeto oscila ou anda sempre no mesmo sentido, pode obter-se a expressão de v para qualquer valor final s e representar o gráfico de v vs s).
7. 65.33 m 8. (a) 75 mm (b) infinito (c) 11.51 s. 9. (b) v =r m g C p 1 − e−2 C s/m
(c) Porque após um tempo elevado, v aproxima-se para: lim t→∞v = r m g C 10. (a) 9.6 m/s. (b) −29.6 m/s. 11. (b) Em t = 0.0835 s, x = 0.429 m, ax= −123 m/s2 Em t = 16.4 s, x = −5480 m, ax=123 m/s2
2. Cinemática vetorial
Quando um objeto se desloca no espaço sem seguir uma trajetória deter- minada, a sua posição já não pode ser definida com uma única variável como nos exemplos estudados no capítulo anterior. No século XVII, o matemático Gottfried Leibniz escreveu que seria desejável criar uma área da matemática que descrevesse a posição diretamente, assim como na álgebra usam-se variáveis para representar valores numéricos. Na mesma época, Isaac Newton enunciou a lei do paralelogramo para somar forças. No entanto, o conceito de vetor usado hoje em dia, que permite concretizar o sonho de Leibnitz, só foi inventado muitos anos depois, no século XIX.
2.1. Vetores
Uma grandeza que tem sempre o mesmo valor, quando é medida por dife- rentes observadores em diferentes referenciais, chama-se escalar. Algumas das grandezas usadas no capítulo anterior são escalares; por exemplo, o deslocamento ∆ s e o intervalo de tempo ∆ t.
Alguns exemplos de grandezas físicas que não são escalares são as compo- nentes da posição, velocidade e aceleração ao longo de um eixo. Alterando a direção, o sentido ou a origem desse eixo, os valores dessas grandezas também se alteram. a a b P1 P2 P5 P6 P3 P4
Figura 2.1.:Vetores livres.
É útil escrever as equações da física de forma a que sejam iguais em qualquer refe- rencial e os vetores permitem atingir esse objetivo. Um exemplo típico de vetor é o vetor deslocamento, que é um segmento de reta orientado entre dois pontos P1e P2no
espaço, em que o primeiro ponto é conside- rado a origem do segmento e o outro ponto o fim.
Por exemplo, na figura2.1, está represen- tado o vector com origem num ponto P1e
fim num ponto P2; a seta indica qual é o
ponto final e por cima da letra usada para representar o vetor coloca-se também uma seta, ®a, para que fique claro que se trata de um vetor e não de uma variável algébrica comum.