-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 (a) f = 755 Hz V 2 ( V ) V 1 (V) -3 -2 -1 0 1 2 3 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 (b) f = 775 Hz V 2 ( V ) V 1 (V) -3 -2 -1 0 1 2 3 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 (c) f = 795 Hz V 2 ( V ) V 1 (V) -3 -2 -1 0 1 2 3 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 (d) f = 850 Hz V 2 ( V ) V 1 (V) -3 -2 -1 0 1 2 3 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 (e) f = 970 Hz V 2 ( V ) V 1 (V) -3 -2 -1 0 1 2 3 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 (f) f = 1000 Hz V 2 ( V ) V 1 (V)
Figura 4.3 – Proje¸c˜oes dos atratores no plano (V1, V2) obtidos a partir de s´eries temporais experimentais. Em todos os casos temos A = 4 V. Os valores de f utilizados para gerar cada atrator s˜ao (a) 755, (b) 775, (c) 795, (d) 850, (e) 970 e (f) 1000 Hz. Os valores de todos os outros parˆametros do sistema est˜ao citados no texto.
termo de for¸camento externo, VE = A sin (2πf t) que ´e peri´odico e respons´avel por aumentar
a dimensionalidade do sistema (o sistema ´e n˜ao-autˆonomo). Esse for¸camento externo faz com que o sistema tenha trˆes expoentes de Lyapunov, sendo o associado ao termo peri´odico de for¸camento externo sempre igual a zero, assim quando temos λmax < 0 na Fig. 4.5 o
sistema exibe comportamento peri´odico e n˜ao ponto fixo. O sistema exibe comportamento peri´odico para 600 < f < 675 Hz. Para 675 < f < 960 Hz temos uma banda ca´otica com algumas janelas peri´odicas em seu interior como, por exemplo, para 759 < f < 768 Hz e 840 < f < 842 Hz. Temos outra banda peri´odica para 960 < f < 1000 Hz.
4.2
Acoplamento entre dois sistemas n˜ao-autˆonomos
quase-idˆenticos
Caracterizamos o comportamento dinˆamico de um sistema n˜ao-autˆonomo, tanto experi- mentalmente (atrav´es de circuitos eletrˆonicos) quanto numericamente (atrav´es de suas equa-
4.2. Acoplamento entre dois sistemas n˜ao-autˆonomos quase-idˆenticos 71 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 f = 720 Hz V 2 ( V ) V 1 (V) (a) -3 -2 -1 0 1 2 3 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 (b) V 2 ( V ) V 1 (V) f = 830 Hz -3 -2 -1 0 1 2 3 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 (c) V 2 ( V ) V 1 (V) f = 840 Hz -3 -2 -1 0 1 2 3 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 (d) V 2 ( V ) f = 870 Hz V 1 (V) -3 -2 -1 0 1 2 3 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 (e) V 2 ( V ) f = 960 Hz V 1 (V) -3 -2 -1 0 1 2 3 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 (f) V 2 ( V ) f = 980 Hz V 1 (V)
Figura 4.4 – Proje¸c˜oes dos atratores no plano (V1, V2) obtidos a partir de s´eries temporais num´ericas. Em todos os casos temos A = 3 V. Os valores de f utilizados para gerar cada atrator s˜ao (a) 720, (b) 830, (c) 840, (d) 870, (e) 960 e (f) 980 Hz que qualitatativamente reproduzem os resultados experimentais, apresentados na Fig. 4.3. Os valores de todos os outros parˆametros do sistema est˜ao citados no texto.
600 650 700 750 800 850 900 950 1000 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 periódico m a x f (Hz) caos
Figura 4.5– M´aximo expoente de Lyapunov calculado numericamente variando o parˆametro f de 600 Hz a 900 Hz e mantendo A = 3 V.
¸c˜oes diferenciais ordin´arias), explorando estados peri´odicos e ca´oticos. Nesta se¸c˜ao discu- tiremos como realizamos o acoplamento entre dois desses sistemas n˜ao-autˆonomos, quase- idˆenticos. O acoplamento ´e unidirecional, na configura¸c˜ao piloto-resposta, feito tanto expe- rimentalmente entre um par de circuitos eletrˆonicos quase-idˆenticos, quanto numericamente,
4.2. Acoplamento entre dois sistemas n˜ao-autˆonomos quase-idˆenticos 72
atrav´es das equa¸c˜oes diferenciais que regem os sistemas.
Ajustamos os parˆametros dos osciladores quase-idˆenticos para que cada um evolua inde- pendente do outro em regime ca´otico. O acoplamento via realimenta¸c˜ao negativa ´e realizado utilizando um circuito extra de realimenta¸c˜ao, atrav´es do qual a voltagem V1r do circuito
resposta ´e reinjetada junto com um termo corretivo em rela¸c˜ao a voltagem V1d do circuito
piloto. Na Fig. 4.6 n´os mostramos o circuito resposta, destacando o circuito de realimenta- ¸c˜ao, um subtrator (amplificador operacional OP3) onde o sinal de realimenta¸c˜ao ´e produzido e cujas voltagens de entrada s˜ao V1d e V1r e a voltagem de sa´ıda ´e proporcional a V1d− V1r.
Este sinal de realimenta¸c˜ao ´e adicionado `a dinˆamica do subsistema resposta, produzindo o acoplamento entre o piloto e o resposta.
Os valores dos componentes do circuito resposta s˜ao escolhidos para serem t˜ao pr´oximos quanto poss´ıvel ao seus respectivos no circuito piloto, dentro de uma margem de tolerˆancia de 0,5%. Assim, os componentes R1, R, R2, RE, R3 e C1, tem os mesmos valores nominais
nos circuitos piloto e resposta, enquanto C2 = 14,87 nF, C3 = 14,87 nF, RL = 511 Ω tem
valores mensuravelmente diferentes nos circuitos piloto e resposta. Os componentes do cir- cuito subtrator s˜ao: R4 = 14,85 kΩ, R5 = 14,85 kΩ, R6 = 14,85 kΩ e R7 = 14,85 kΩ. Os
respectivos componentes no circuito resposta para D1, D2, OP1 and OP2 s˜ao tamb´em dos
mesmos modelos dos utilizados no circuito piloto, e o amplificador operacional OP3 ´e do modelo LF411CN. Esse desajuste de parˆametro tamb´em ´e implementado em nossas simula- ¸c˜oes, visando nos permitir observar eventos de dessincroniza¸c˜ao. RRE ´e o resistor vari´avel
colocado na sa´ıda do subtrator OP3 e ´e respons´avel pelo acoplamento entre piloto e resposta. Por simplicidade, utilizamos apenas um gerador de sinal para fornecer o sinal senoidal VE
para ambos os sistemas piloto e resposta. Como VE ´e um sinal externo aos sistemas, ou
seja, n˜ao sofre influˆencia devida a dinˆamica do sistema, se utilizarmos dois geradores de fun¸c˜ao, um para o piloto e outro para o resposta, os sinais VEde VEr poder˜ao ter tanto fases
diferentes, como frequˆencias e amplitudes ligeiramente diferentes, o que dificultaria bastante a sincroniza¸c˜ao entre os sistemas ou mesmo a impossibilitaria, dependendo da diferen¸ca de parˆametros entre os geradores, VE.
As equa¸c˜oes dinˆamicas s˜ao as mesmas para ambos os circuitos, exceto pelo termo de acoplamento, que est´a presente apenas no circuito resposta:
4.2. Acoplamento entre dois sistemas n˜ao-autˆonomos quase-idˆenticos 73
VE
R1
R2
RE
R
C2
C3
R3
RL
C1
D1
D2
OP1
OP2
V1d
OP3
RRE
R4
R7
R6
R5
V2r
V1r
Figura 4.6 – Diagrama esquem´atico do sistema resposta. O retˆangulo tracejado destaca o circuito de realimenta¸c˜ao que acopla o sistema resposta ao piloto.
˙ V1d = −γdV1d− αdI(V2d) − βdVE, (4.4) ˙ V2d = θdV1d, (4.5) ˙ V1r = −γrV1r+ αrI(V2r) − βrVE+ ϵ R2C1 (V1d− V1r), (4.6) ˙ V2r = θrV1r, (4.7)
onde ϵ = R2/RRE ´e o parˆametro adimensional que mede o n´ıvel de acoplamento entre os
sistemas piloto e resposta.
Com o acoplamento entre dois sistemas n˜ao-autˆonomos quase-idˆenticos descrito, nas pr´o- ximas duas se¸c˜oes mostramos nossos dois resultados importantes obtidos com esse sistema: (i) que o sinal de erro entre os circuitos acoplados em regime intermedi´ario segue uma dis- tribui¸c˜ao do tipo lei de potˆencia cujo coeficiente varia com o n´ıvel de acoplamento; e (ii) que aumentamos a instabilidade do estado sincronizado ao modificarmos a forma do atrator ca´otico, indo do um estado com menor visita¸c˜ao a regi˜ao com um objeto inst´avel no espa¸co de fases a outro estado mais inst´avel, com uma maior visita¸c˜ao do objeto inst´avel.