5.2 Acoplamento MEC-MEF
5.2.2 Acoplamento Iterativo
[ ] [ ̈ ̈ ] [ ] [ ] [ ] (5.21)
O sistema acima (5.21) pode ser reescrito de forma mais compacta, conforme abaixo:
(5.22)
É fácil observar uma semelhança do sistema matricial acoplado (5.22) com o sistema matricial obtido somente pelo método dos elementos finitos, analogia essa que se estende para resolução de ambos.
Esse trabalho descreve o algoritmo básico para resolução de sistemas acoplados do tipo padrão (MEC-MEF) no apêndice 6, para maiores detalhes sobre essa modalidade de acoplamento são indicados como referência: VON ESTORFF & PRABUCKI (1990); VON ESTORFF & FIRUZIAAN (2000) no domínio do tempo e BENAMOU (1997) no domínio da frequência.
5.2.2 Acoplamento Iterativo
O tratamento do acoplamento aqui abordado consiste em, uma vez o domínio do modelo estando dividido em sub-regiões modeladas pelo MEF e pelo MEC, analisar estas sub-regiões de forma independente, prescrevendo iterativamente condições de contorno nas interfaces de acoplamento até que a convergência seja alcançada (SOARES. et al. 2004a).
Para garantir e/ou acelerar o processo de convergência adota-se aqui um parâmetro de relaxamento . A metodologia de cálculo para valores ótimos de será posteriormente discutida. O cálculo de tal parâmetro é de suma importância e tem influência direta com a convergência dos métodos aqui apresentados, uma vez que esse é aplicado na transferência das condições de contorno entre as sub-regiões.
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Através da transferência das condições de contorno em cada passo de iteração torna-se possível que cada sub-região seja tratada de forma independente, resultando em um conjunto de equações desacopladas, originárias das discretizações realizadas em cada sub-região. Isso torna o método muito mais eficiente computacionalmente e sem perda de precisão.
Outra vantagem é a ampla individualidade de modelagem espacial de cada domínio, podendo-se realizar discretizações totalmente independentes (entenda como malha não necessariamente conexa). Para essa independência é necessário apenas a adição de alguns procedimentos de interpolação.
Duas metodologias de acoplamento iterativo serão aqui apresentadas, com intuito de unir o melhor dos dois métodos de discretização aqui utilizados (Método dos Elementos Finitos e o Método dos Elementos de Contorno) de forma genérica e com um alto ganho computacional.
5.2.2.1 1° Metodologia
Partindo das formulações relativas aos elementos finitos e aos elementos de contorno apresentadas nos capítulos 2 e 3, tem-se a base dos métodos acoplados os quais serão acoplados.
Na metodologia de solução do acoplamento iterativo, inicialmente resolve-se isoladamente a sub-região discretizada pelos elementos finitos, prescrevendo força nula na região de interface entre as sub-regiões. Calcula-se então os deslocamentos ao longo de todo subdomínio modelado pelo MEF, o que inclui a interface entre os domínios. Através do parâmetro
,
conforme indicado abaixo em (5.23), realiza-se uma atualização dos deslocamentos:
(5.23)
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Uma vez calculados os deslocamentos nas interfaces relativas aos elementos finitos, estes podem sem considerados como deslocamentos prescritos na interface relativa aos elementos de contorno, conforme indica a equação (5.2). Obtém-se assim as condições essenciais de contorno que são aplicadas às sub-regiões discretizadas pelo MEC.
Uma vez utilizada uma discretização espacial em cada sub-região resultado de uma malha desconexa na interface, as condições essenciais de contorno podem ser interpoladas espacialmente seguindo as funções de forma pré-existentes, conforme indica a equação (5.24). Um esquema simplificado é apresentado na figura abaixo (figura 7).
∫
(5.24)
Figura 7: Transferência das condições de contorno. Onde , e são nos do MEF (elemento triangular linear) enquanto e são nos do MEC (elemento constante).
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O deslocamento que será computado no nó de MEC pode ser obtido através de uma interpolação (de acordo com a função de forma do elemento de MEF) dos nós e de MEF.
Assim, pode-se resolver a sub-região discretizada por elementos de contorno. Uma vez resolvida esta sub-região, encontram-se as forças de superfícies relativas à interface de acoplamento .
Estas serão usadas para o cálculo de na interface de elementos finitos no caso da utilização de malhas conexas, segundo os preceitos da equação (5.1).
De forma geral, uma vez calculadas as forças de superfície relativas a interface de elementos de contorno, estas são transformadas em forças nodais equivalentes através da matriz (ver equação (5.16)):
(5.25)
Semelhante à questão dos deslocamentos, utilizando uma discretização espacial desconexa na interface, os valores das forças de superfície podem ser interpolados espacialmente seguindo as funções de forma pré-existentes conforme indicado na figura (7). Neste caso, a força nodal em obtida através da integração da força de superfície ao longo do contorno e .
Estando todas as incógnitas referentes ao acoplamento calculadas, faz-se a checagem de convergência associada ao processo iterativo. Esse trabalho adota para o cálculo de erro o produto interno da diferença entre o deslocamento no atual passo de iteração com o deslocamento no passo anterior de iteração.
‖ ‖
‖ ‖
(5.26) onde representa a tolerância considerada para a convergência.
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Casso haja convergência, atualizam-se as grandezas e parte-se para a análise da próxima frequência ou finaliza-se o processo. Casso não haja convergência, continua-se com o próximo passo iterativo.
5.2.2.2 2° Metodologia
A segunda metodologia de acoplamento iterativo aqui proposta é baseada nos mesmos conceitos apresentados na primeira metodologia, estando sua diferença em relação às transferências de condições de contorno entre as sub-regiões.
Após o e cálculo dos deslocamentos ao longo de todo subdomínio modelado pelo MEF, estes podem sem considerados deslocamentos prescritos na interface relativa aos elementos de contorno. Obtém-se assim as condições essenciais de contorno que são aplicadas as sub-regiões discretizadas pelo MEC.
Resolvendo-se as sub-regiões discretizadas pelo MEC encontram-se as forças de superfícies relativas à interface de acoplamento
.
Através do parâmetro,
conforme indicado em (5.27), realiza-se uma atualização destas forças de superfície:
(5.27)
Uma vez calculados
,
estas serão usadas para o cálculo das forças nodais
equivalentes na interface de elementos finitos, assim como na equação (5.25).
Novamente estando todas as incógnitas referentes ao acoplamento calculadas, faz-se a checagem de convergência associada ao processo iterativo, realizado de forma semelhante à primeira metodologia, como se mostra na equação (5.28):