3 Ordens Parciais, Reticulados e
3.3 Agregações, t-normas e t-conormas em Reticulados
No segundo capítulo desta tese discutiu-se sobre funções de agregação com domínio em [0, 1]n e contradomínio em [0, 1]. No entanto, esses domínios podem ser substituídos por re-
ticulados, como pode ser encontrado em (DE BAETS; MESIAR, 1999; PALMEIRA et al., 2014;
As funções de agregação, por exemplo, são definidas da seguinte maneira:
Definição 3.12 ((DE BAETS; MESIAR, 1999)). Seja hL, ≤i um reticulado limitado. Uma fun-
ção de agregação é qualquer função monotonica A : Ln → L com A(⊥, · · · , ⊥) = ⊥ e
A(>, · · · , >) = >.
Exemplo 3.27. Se hL, ≤i é um reticulado limitado, então são funções de agregação:
1. πi(x1, · · · , xn) = xi;
2. W(x1, · · · , xn) = x1∨ x2∨ · · · ∨ xn;
3. V(x1, · · · , xn) = x1∧ x2∧ · · · ∧ xn.
Os conceitos de t-norma e t-conorma também podem ser estendidos para qualquer reticu- lado limitado (DE BAETS; MESIAR, 1999).
Definição 3.13 ((DE BAETS; MESIAR, 1999)). Seja hL, ≤i um reticulado limitado. Uma função T : L × L → L tal que:
(i) T (x, >) = x, para qualquer x ∈ L;
(ii) T (x, y) = T (y, x), para x, y ∈ L;
(iii) T (x, T (y, z)) = T (T (z, y), z), sempre que x, y, z ∈ L;
(iv) T (x, y) ≤ T (x, z), quando y ≤ z.
é chamada det-norma.
Definição 3.14 ((DE BAETS; MESIAR, 1999)). Seja hL, ≤i um reticulado limitado. Uma função S : L × L → L tal que:
(i) S(x, ⊥) = x, para qualquer x ∈ L;
(ii) S(x, y) = S(y, x), para x, y ∈ L;
(iv) S(x, y) ≤ S(x, z), quando y ≤ z.
é chamada det-conorma.
Observação 3.3. Neste trabalho, serão utilizadas as seguintes notações:
• O símbolo ⊗ será utilizado para denotar uma t-norma e x ⊗ y será usado ao invés de ⊗(x, y);
• O símbolo ⊕ será utilizado para denotar uma t-conorma e x ⊕ y será usado ao invés de ⊕(x, y).
Um estudo bem detalhado sobre as t-normas e t-conormas de reticulados limitados pode
ser encontrado em (DE BAETS; MESIAR, 1999). Além disso, todas as propriedades que foram
listadas no Capítulo 2, para funções de agregação em [0, 1]n, podem ser estendidas para funções cujos domínios são reticulados, junto com toda uma análise. Aqui, é importante destacar que as t-normas e as t-conormas satisfazem a seguinte Proposição:
Proposição 3.8 ((DE BAETS; MESIAR, 1999)). Sejam ⊗, ⊕ : L × L → L uma t-norma e uma
t-conorma, respectivamente, definidas num reticulado limitadoL. Então, para todos a, b, c ∈ L são válidos:
(i) a ⊗ b ≤La ⊗ >L = a onde a = a ⊕ ⊥L ≤La ⊕ b;
(ii) a ⊗ b ≤La ∧ b e a ∨ b ≤L a ⊕ b;
(iii) a ⊗ (b ⊗ c) = (a ⊗ b) ⊗ c e a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c;
(iv) a ⊗ ⊥L= ⊥L = ⊥L⊗ a.
Além da Proposição 3.5, é importante notar que tanto t-normas quanto t-conormas podem ser estendidas a operadores n-ários, via associatividade, da seguinte maneira:
n
M
i=1
e n O i=1 xi = ((((x1⊗ x2) ⊗ x3) ⊗ · · ·) ⊗ xn−1) ⊗ xn.
3.4
Funções
LM OWA
Uma noção generalizada das funções OWA, foi introduzida por (LIZASOAIN; MORENO,
2013), substitu- indo-se o intervalo [0, 1] das OWA de Yager por um reticulado limitado. As-
sim como as OWAs de Yager, as funções definidas em (LIZASOAIN; MORENO, 2013) também
necessitam de vetores de peso.
Definição 3.15 ((LIZASOAIN; MORENO, 2013)). Seja hL,L, ⊗i um reticulado limitado equi-
pado com uma t-norma ⊗ : L2 → L e uma t-conorma estendida ⊕ : Ln → L. Então,
(w1, · · · , wn) ∈ Lné umvetor de pesos em hL,L, ⊗i, se n
M
i=1
wi = >L.
Se além disso, tem-se que
a ⊗ n M i=1 wi ! = n M i=1 (a ⊗ wi), para qualquer a ∈ Ln,
então chama-se(w1, · · · , wn) ∈ Lndevetor de pesos distributivo em hL,L, ⊗i.
Exemplo 3.28. Se L é um reticulado limitado, x⊕y = x∨y e x⊗y = x∧y, então (w1, · · · , wn)
é um:
(1) Um vetor de pesos se, e somente se,w1∨ · · · ∨ wn= >L;
(2) Um vetor de pesos distributivo se, e somente se, satisfaz (1) e
a ∧ (w1∨ · · · ∨ wn) = (a ∧ w1) ∨ · · · ∨ (a ∧ wn), para todo a ∈ L.
O cálculo do valor de saída de uma função OWA de Yager somente pode ser realizado a partir do ordenamento do vetor n-dimensional de entradas. Infelizmente, esse processo nem sempre será possível em um reticulados limitado, a menos que este seja uma cadeia. Por essa
razão, (LIZASOAIN; MORENO, 2013) definiram uma forma auxiliar de realizar essa ordenação, a partir do seguinte Lema:
Lema 3.1 ((LIZASOAIN; MORENO, 2013)). Seja L um reticulado limitado. Para qualquer
(a1, · · · , an) ∈ Ln, considere os seguintes valores:
• b1 = a1∨ . . . ∨ an • b2 = [(a1∧ a2) ∨ . . . ∨ (a1∧ an)] ∨ [(a2 ∧ a3) ∨ . . . ∨ (a2∧ an)] ∨ . . . ∨ [an−1∧ an] • b3 =W{a1∧ a2∧ a3, a1 ∧ a2∧ a4, a1∧ a2∧ an, . . . , an−2∧ an−1∧ an} • ... • bk = W (j1,...,jk)⊆{1,···,n} aj1 ∧ . . . ∧ ajk • ... • bn= a1∧ . . . ∧ an.
Então,a1∧· · ·∧an = bn≤ bn−1≤ · · · ≤ b1 = a1∨· · ·∨am. Sea1, · · · , ansão comparáveis en-
tre si, existe uma permutaçãoσ, do conjunto {1, · · · , n}, tal que (b1, · · · , bn) = (a(1), · · · , a(n)).
A demonstração desse resultado pode ser encontrada em (LIZASOAIN; MORENO, 2013).
Ademais, com o intuito de simplificar notações utiliza-se:
Definição 3.16. Se L é um reticulado completo, então a funçãoLM : Ln → Lndefinida por:
LM (a1, a2, · · · , an) = (b1, b2, · · · , bn),
onde(b1, b2, · · · , bn) é o vetor obtido de acordo com o Lema 3.1, é chamada função de Lizassoain-
Moreno.
Exemplo 3.29. Se L é um reticulado completo e a1, a2, a3, a4 ∈ L, então:
b1 = a1∨ a2∨ a3∨ a4
b2 =
_
b3 =
_
{a1∧ a2∧ a3, a1∧ a2 ∧ a4, a1∧ a3∧ a4, a2∧ a3∧ a4}
b4 = a1∧ a2∧ a3∧ a4
A função de Lizassoain-Moreno satisfaz as seguintes propriedades:
Proposição 3.9 (Propriedades da função de Lizassoain-Moreno). Sejam L um reticulado
completo eLM : Ln → Lna função de Lizassoain-Moreno. Então,
(i) Se(x1, · · · , xn) ∈ Lné tal que todo par de coordenadasxiexj, comi 6= j, é comparável,
então LM (x1, · · · , xn) = (xσ(1), · · · , xσ(n)) para alguma permutação σ no conjunto
{1, 2, · · · , n}.
(ii) Se L é uma cadeia, então para todo (x1, · · · , xn) ∈ Ln existe uma permutação σ no
conjunto{1, 2, · · · , n} tal queLM (x1, · · · , xn) = (xσ(1), · · · , xσ(n)).
(iii) Sex1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn, entãoLM (x1, · · · , xn) = (x1, · · · , xn).
(iv) LM ◦ LM = LM
(v) Para toda permutaçãoσ no conjunto {1, · · · , n} e para todo (x1, · · · , xn) ∈ Ln, tem-se
queLM (xσ(1), · · · , xσ(n)) = LM (x1, · · · , xn).
(vi) Se (x1, · · · , xn), (y1, · · · , yn) ∈ Ln são tais que xi ≤L yi, para i ∈ {1, · · · , n},
LM (x1, · · · , xn) = (b1, · · · , bn) eLM (y1, · · · , yn) = (b1, · · · , bn), então bi ≤L bipara
todoi ∈ {1, · · · , n}.
Demonstração.
(i) Segue do Lema 1.
(ii) Como L é uma cadeia, então todo (x1, · · · , xn) satisfaz a hipótese (i). Logo, para cada
(x1, · · · , xn) existe uma permutação σ tal queLM (x1, · · · , xn) = (xσ(1), · · · , xσ(n)).
(iv) ComoLM (x1, · · · , xn) = (b1, · · · , bn), onde b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ bn então, por (iii) segue
que
LM (LM (x1, · · · , xn)) =LM (b1, · · · , bn) = (b1, · · · , bn) = LM (x1, · · · , xn),
para todo (x1, · · · , xn) ∈ Ln.
(v) Sejam LM (x1, · · · , xn) = (b1, · · · , bn) e LM (aσ(1), · · · , aσ(n)) = (c1, · · · , cn). Por
definição, tem-se que:
ck = _ {xσ(j1)∧ · · · ∧ xσ(jk) : {j1, · · · , jk} ⊆ {1, · · · , n}} = _{xj1 ∧ · · · ∧ xjk : {j1, · · · , jk} ⊆ {1, · · · , n}} = bk Portanto,LM (xσ(1), · · · , xσ(n)) =LM (x1, · · · , xn).
(vi) Basta ver que
bi = _ {xj1 ∧ · · · ∧ xjk : {j1, · · · , jk} ⊆ {1, · · · , n}} ≤L _ {yj1 ∧ · · · ∧ yjk : {j1, · · · , jk} ⊆ {1, · · · , n}} = bi
Após definir a função de Lizassoain-Moreno e provar algumas de suas propriedades, apresenta-
se a versão generalizada de OWA para reticulado completo, concebida em (LINGLING et al.,
2012).
Definição 3.17 ((DE BAETS; MESIAR, 1999)). Seja w=(we 1. . . , wn) ∈ Ln um vetor de pesos
distributivo no reticulado completohL,L, ⊗i. A função OWA de Lizasoain-Moreno associada
aw e a tripla hL,e L, ⊗i é definida por
L M OWAwe(ea) = n M i=1 (wi⊗ bi), onde(b1, · · · , bn) =LM (a1, · · · , an).
Exemplo 3.30. Sejam X = {a, b, c, d} e ≤0, conforme Exemplo 3.14,⊕ = ∨ e ⊗ = ∧. Então,
e
w = (a, b, c) é um vetor distributivo de pesos, pois a ∨ b ∨ c = d e:
• L M (a, b, a) = (b, a, a) e L M OWAwe(a, b, a) = (a ∧ b) ∨ (b ∧ a) ∨ (c ∧ a) = a • L M (a, b, b) = (b, b, a) e L M OWAwe(a, b, b) = (a ∧ b) ∨ (b ∧ b) ∨ (c ∧ a) = b • L M (a, b, c) = (d, a, a) e L M OWAwe(a, b, c) = (a ∧ d) ∨ (b ∧ a) ∨ (c ∧ a) = a • L M (b, c, c) = (d, c, a) e L M OWAwe(a, b, c) = (a ∧ d) ∨ (b ∧ c) ∨ (c ∧ a) = a
Outros exemplos e propriedades das funçõesL M OWA podem ser encontradas em (LIZA-
SOAIN; MORENO, 2013). O importante aqui é observar que as funções OWA de Yager são casos
particulares deL M OWAs.
Teorema 3.5. Toda funçãoOWA no sentido de Yager é umaL M OWA.
Demonstração. Considere L = [0, 1], ⊗ = Tp, ⊕ = SLK e w = (we 1, · · · , wn) ∈ [0, 1]
n um
vetor de pesos, i.e.,
n
P
i=1
wi = 1. Como, SLK(w1, · · · , wn) = min(w1+ · · · + wn, 1) = 1 e c =
TP(c, SLK(w1, · · · , wn)) = SLK(TP(c, wi)), para todo c ∈ [0, 1], tem-se que
e
w = (w1, · · · , wn) ∈ [0, 1]né um vetor distributivo de pesos.
Para provar que L M OWA coincide com a função OWA de Yager, deve-se notar que, de
acordo com o item (i) da Proposição 5.2, para cada (x1, · · · , xn) ∈ [0, 1]nexiste uma permutação
σ de {1, 2, · · · , n} tal que (b1, · · · , bn) = (x(1), · · · , x(n)). Assim,
ou seja, (b1, · · · , bn) = (x(1), · · · , x(n)). Portanto, verifica-se, para todos (x1, · · · , xn) ∈ [0, 1]n, que: LM OWAwe(x1, · · · , xn) = n M i=1 (wi⊗ bi) = SLK(w1⊗ b1, . . . , wn⊗ bn) = min( n X i=1 (wi· xσ(i)), 1) = n X i=1 (wi· xσ(i)) = OWAwe(x1, · · · , xn)
As funções OWA de Yager satisfazem as propriedades da idempotência e simetria. Além disso, para qualquer vetor de pesosw ∈ [0, 1]e ne para todo (x1, · · · , xn) ∈ [0, 1]ntem-se
min(x1, · · · , xn) ≤OWAwe(x1, · · · , xn) ≤ max(x1, · · · , xn)
De forma análoga, as funçõesL M OWA também são idempotentes e simétricas e, satisfa-
zem a propriedade:
a1∧ · · · ∧ an≤LM OWAwe(a1, · · · , an) ≤ a1∨ · · · ∨ an
No Capítulo 5, serão apresentadas outras funções também definidas sob a perspectiva de reticulados.
3.5
Considerações Finais
Neste capítulo discutiu-se sobre ordens parciais, reticulados e funções (agregações, t-normas,
t-conormas eLM OWAs) com domínios em reticulados limitados, assuntos que serão neces-
sários para o entendimento da discussão que será apresentada no Capítulo 5.
serão apresentadas as seguintes discussões:
1. Introduz-se as funções mistura generalizada de (PEREIRA; PASI, 1999) e verifica-se algu- mas especifidades que estas funções alcançam;
2. Propõe-se a ampliação de função mistura generalizada para função mistura generalizada limitada, provando-se uma diversidade de peculiaridades e exemplos;
3. Estabelece-se as funções OWAs dinâmicas (Dynamic Ordered Weighted), ampliando a
noção deLM OWA;
4. Amplia-se a compreensão das OWAs dinâmicas com o auxílio de ordens admissíveis, define-se as funções mistura generalizada cujos domínios são reticulados limitados e demonstra-se diversas características dessas novas funções.