2.4 Agregados de Antenas
2.4.1 Agregado Linear e Uniforme
Um agregado ´e linear e uniforme [2][3] se ´e composto por elementos idˆenticos, dispostos ao longo de um eixo, com igual espa¸camento entre eles, e alimentados com correntes de igual amplitude e iguais diferen¸cas de fase.
Na figura 2.20 est´a representado um agregado linear e uniforme de N elementos, dispostos ao longo do eixo zz, separados por uma distˆancia d e com uma diferen¸ca de fase de α. Para perceber o conceito e obter-se o factor de agregado, ir´a-se usar cada elemento como sendo uma fonte isotr´opica. Posteriormente ao escolher-se o elemento a usar, basta recorrer `a multiplica¸c˜ao dos diagramas de radia¸c˜ao.
Figura 2.20: Agregado Linear e Uniforme de N elementos separados por uma distˆancia d e com uma diferen¸ca de fase α
Uma fonte isotr´opica radia um campo E quando excitada por uma corrente I:
E = Ie −jβr
4πr I = Ie
jφ (2.16)
Como estamos perante um agregado linear e uniforme temos que,
I1= Iejφ1; I2= Iejφ2; ... IN −1= IejφN −1; IN = IejφN com,
ent˜ao para cada elemento o campo ´e E1 = Iejφ1 e−jβr1 4πr1 ; E2 = Iejφ2 e−jβr2 4πr2 ; EN = IejφN e−jβrN 4πrN ; (2.17) Simplificando: φ2 = φ1+ α; φ3 = φ2+ α = φ1+ 2α; φN = φN −1+ α = φ1+ (N − 1)α;
O campo numa zona distante de radia¸c˜ao, onde r d, admitindo raios paralelos, no que diz respeito `a fase tem-se:
θ ∼= θ1∼= θ2 ∼= ... ∼= θn e em termos de amplitude, r2 = r1− d cos θ r3 = r2− d cos θ = r1− 2d cos θ rN = rN −1− d cos θ = r1− (N − 1)d cos θ pelo que: r1 ∼= r2 ∼= .. ∼= rN
Como o campo produzido pelo agregado ´e a sobreposi¸c˜ao dos campos gerados pelos v´arios elementos, ou seja, ET = N X n=1 En (2.18)
substituindo, o campo total fica:
ET = Iejφ1 e−jβr1
4πr1
| {z }
F E
[1 + ej(βd cos θ+α)+ ... + ej(n−1)(βd cos θ+α)+ ... + ej(N −1)(βd cos θ+α)]
| {z }
F A
(2.19)
Comprova-se ent˜ao que o factor de elemento ´e o diagrama de radia¸c˜ao de uma fonte isotr´opica, e o factor de agregado ´e fun¸c˜ao do n´umero de elementos N, da distˆancia entre eles e do desfasamento α .
O factor de agregado de uma maneira mais compactada pode ser escrito como:
F A = N X n=1
ej(n−1)Ψ, Ψ = βd cos θ + α (2.20)
ou ainda, visto tratar-se de uma progress˜ao geom´etrica de N termos, simplificando e normalizando obt´em-se a seguinte express˜ao para o factor de agregado
|F A|n= sin(N Ψ
2)
ANTENA PARA COMUNICAC¸ ˜OES DSRC 23
Pode-se tamb´em aproximar a express˜ao do |F A|n para a regi˜ao do lobo principal, ou seja para valores baixos de Ψ sendo aproximada por
|F A|n= sin(N Ψ
2)
NΨ2 , Ψ = βd cos θ + α (2.22)
Caracter´ısticas do Factor de agregado
O factor de agregado al´em de variar com a distˆancia e o desfasamento entre elementos, arrasta em si um conjunto de propriedades que variam com o n´umero de elementos, como se comprova na figura 2.21.
´
A medida que o n´umero de elementos aumenta:
• O lobo principal fica mais estreito, tornando o diagrama de radia¸c˜ao do agregado mais directivo.
• O n´umero de lobos aumenta
• O n´ıvel dos lobos secund´arios diminui
Figura 2.21: Factor de agregado para v´arios valores de N[6]
M´aximos Os valores para o qual o factor de agregado apresenta o valor m´aximo, ocorrem quando
Ψ
Portanto,
βd cos θmax+ α = ±2mπ ⇒ θmax= ± cos−1[
λ(±2mπ − α)
2πd ] m = 0, 1, 2, ... (2.24) Constata-se que a direc¸c˜ao de m´aximo varia entre outros com o desfasamento entre ele- mentos α, portanto, atrav´es dele podemos controlar o ˆangulo para o qual se deseja que um agregado incida a sua direc¸c˜ao de m´axima radia¸c˜ao, por exemplo, caso se queira que um determinado agregado tenha o seu m´aximo para um ˆangulo θx, a fase tem que obedecer `a condi¸c˜ao:
βd cos θx+ α = ±2mπ ⇒ α = −βd cos θx± 2mπ ⇒ α = −βd cos θx m = 0, 1, 2.. (2.25) Uma situa¸c˜ao importante ´e saber qual valor de α para que o m´aximo ocorra numa direc¸c˜ao transversal ao eixo do agregado, ou seja, θ = 90◦,
α = −βd cos 90◦= 0 (2.26)
Conclui-se que um agregado transversal ´e caracterizado por ter os seus elementos alimen- tados em fase.
Outra situa¸c˜ao importante ´e saber qual o valor de α para que o m´aximo de radia¸c˜ao ocorra segundo o eixo do agregado (agregado longitudinal), neste caso h´a duas possibilidades de orientar o feixe, θ = 0o ou θ = 180o.
α = −βd cos 0◦ = −βd α = −βd cos 180◦= +βd (2.27) Nulos Os nulos do factor de agregado ocorrem quando o numerador da fun¸c˜ao |F A|n ´e zero, portanto sin NΨ 2 = 0 ⇒ N Ψ 2 = ±nπ ⇒ Ψ = ± 2nπ N n = 0, 1, 2, .. e n 6= N, 2N, 3N, .. (2.28) Portanto, a direc¸c˜ao para a qual ocorrem os nulos ´e
βd cos θn+ α = ± 2nπ N ⇒ θn= ± cos −1[λ(±2nπN − α) 2πd ] n = 0, 1, 2, ...en 6= N, 2N, 3N, .. (2.29) Para um agregado transversal, os ˆangulos que correspondem `as direc¸c˜oes de nulos s˜ao:
θn= ± cos−1( nλ
N d) n = 0, 1, 2, ...e n 6= N, 2N, 3N, .. (2.30) Para um agregado longitudinal, os ˆangulos correspondentes `as direc¸c˜oes dos nulos s˜ao: • Com o feixe orientado na direc¸c˜ao θ = 0o (α = −βd), substituindo em (2.29)
θn= ± cos−1(− nλ
N d + 1) n = 0, 1, 2, ...e n 6= N, 2N, 3N, .. (2.31) • Com o feixe orientado na direc¸c˜ao θ = 180o (α = +βd), substituindo em (2.29)
θn= ± cos−1(− nλ
ANTENA PARA COMUNICAC¸ ˜OES DSRC 25
N´ıvel do primeiro lobo secund´ario O primeiro lobo secund´ario do factor de agregado ocorre aproximadamente para N Ψ2 ≈ ±3π2 , daqui pode-se obter a partir da fun¸c˜ao |F A|n o n´ıvel do primeiro lobo secund´ario.
|F A|n= sin(N Ψ 2) N sin(Ψ2) = sin(±3π2 ) N sin(2N3π) = 1 N sin(2N3π) (2.33) Largura de Feixe a meia potˆencia /Largura de Feixe entre os primeiros nulos
• Largura de Feixe a meia potˆencia (HPBW half power beam width) - ´e definida como a diferen¸ca entre os ˆangulos para os quais a densidade de potˆencia radiada ´e metade da densidade de potˆencia radiada segundo a direc¸c˜ao de m´aximo, equivale a um campo el´ectrico radiado com um valor √1
2 do seu valor m´aximo.
• Largura de Feixe entre os primeiros nulos (FNBW first null beam width)- trata-se de um parˆametro idˆentico `a largura de feixe a meia potˆencia, mas agora o ˆangulo ´e feito pelas direc¸c˜oes dos primeiros nulos do diagrama de radia¸c˜ao.
Como o campo el´ectrico radiado ´e expresso pelo FA, e na direc¸c˜ao de m´aximo ´e aproximado pela equa¸c˜ao 2.22, assumindo esta equa¸c˜ao o valor √1
2 para N Ψ
2 = ±1.391, portanto temos que os ˆangulos para as quais ocorrem as direc¸c˜oes de meia potˆencia (θh) s˜ao dados por:
Ψ = ±2.782 N Pelo que βd cos θh+ α = ± 2.782 N ⇒ θh= cos −1 [(±2.782 N − α) λ 2πd] (2.34)
Portanto, visto que a fun¸c˜ao ´e sim´etrica em torno do seu m´aximo, a HPBW ´e dada por:
Θh= 2 ||θm| − |θh|| (2.35)
Para um agregado transversal, α = 0 e θm = 90o temos que θh= cos−1(±
2.782λ
2πdN ) (2.36)
Θh= 2 |90o− |θh|| (2.37)
Com foi visto anteriormente, os ˆangulos para os quais existem nulos s˜ao dados pela equa¸c˜ao 2.30,
θn= ± cos−1( nλ
N d) n = 0, 1, 2, ...e n 6= N, 2N, 3N, ..
ent˜ao temos que para um agregado transversal, a largura de feixe entre os primeiros nulos FNBW ´e dada por: