O modelo bifásico para o ganho de pressão é dado pelas Equações (3.49) e(3.50). Para o padrão de bolhas dispersas, a vazão de deslizamento é dada pela Equação (3.52). O ajuste das constantes C0 e kb∞ é realizado minimizando a Norma do conjunto de dados bifásicos.
Como a Equação (3.49) envolve uma integração numérica, não foi possível a utilização de uma ferramenta direta no programa Wolfram Mathematica® para o ajuste das constantes, da forma como foi realizado no ajuste monofásico apresentado anteriormente. Sendo assim, a minimização da norma foi realizada assumindo valores para as constantes e calculando a Norma dos dados experimentais. Os valores foram variados e a função erro dada pela Norma foi calculada segundo a Equação (5.1) para cada par de constantes e registrada manualmente.
Para encontrar o menor valor da Norma variou-se a constante kb∞ de 0,01 até 0,5 com passo de 0,01 e a constante C0 de 0,025 até 1,2 com passo de 0,025, totalizando 2400 valores de
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Norma. O par de constantes que fornece o menor valor de Norma neste intervalo foi considerado como o par de variáveis que fornece o melhor ajuste dos pontos experimentais.
BCS P23
Foram utilizados 625 pontos experimentais bifásicos para o ajuste das variáveis desta bomba. Os resultados da Norma em função das variáveis para a bomba P23 pode ser visto na Figura 5.36.
O valor das constantes que melhor ajustaram os dados foram C0 =0,35 e kb∞ = 0,29. A superfície de resposta tem uma região de mínimo bem destacado para os valores de C0 próximo a 0,35. A comparação dos dados calculados com os dados medidos pode ser vista na Figura 5.37. Observa-se que a grande maioria dos dados está na faixa de desvio de 10% do valor medido.
O valor relativamente alto encontrado para a constante kb∞ está em acordo com as análises realizadas sobre o efeito de rotação para a bomba P23 que aponta que para esta bomba os efeitos de segregação devido ao campo centrípeto são importantes. A degradação da bomba está ligada à distorção do perfil de velocidades e do perfil de fração (C0≠1) e também ao escorregamento das fases no canal do rotor.
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Figura 5.37 Comparação da pressão de saída calculada versus pressão de saída medida para P23. Complementarmente, na Figura 5.38 é apresentada a quantidade de pontos experimentais agrupados em intervalos referentes ao desvio relativo entre o ponto calculado e o ponto medido experimentalmente. Observa-se que a grande maioria dos dados calculados apresentou um desvio médio relativo entre zero a cinco por cento.
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Substituindo os valores das constantes bifásicas ajustadas na Equação (3.56) é possível calcular a potência de eixo de forma direta. A comparação dos valores de potência de eixo calculado com os valores medidos para escoamento monofásico e bifásico pode ser vista na Figura 5.39.
Figura 5.39 Comparação da potência de eixo calculada versus dados experimentais para P23. Adicionalmente, na Figura 5.40 é apresentada a quantidade de pontos experimentais agrupados em intervalos referente ao desvio relativo entre os dados medidos e calculados. Observa-se que a dispersão é maior para o cálculo da potência, mas mesmo assim pode ser considerado que o resultado teve uma boa coerência com os dados experimentais.
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Figura 5.40 Frequência dos desvios relativos da potência de eixo calculada para a BCS P23. É importante notar que apesar do modelo da potência ser independente do modelo da pressão – quando desconsiderado o atrito mecânico – observa-se na Figura 5.39 que os resultados do modelo de potência de eixo apresentaram uma boa concordância mesmo com as constantes bifásicas ajustadas para a modelo da pressão.
BCS P47
Foram utilizados 552 pontos experimentais bifásicos para o ajuste das variáveis desta bomba. Os resultados da Norma em função das variáveis para a bomba P47 pode ser visto na Figura 5.41.
A menor Norma calculada foi para os valores de C0 =0,2 e kb∞ = 0,01. A superfície de resposta tem uma região de mínimo destacada para os valores de C0 próximo a 0,2. A comparação dos dados calculados com os dados medidos pode ser vista na Figura 5.42. Observa- se que a grande maioria dos dados está na faixa de desvio de 10% do valor medido.
Como já discutido no resultado do efeito da rotação, a bomba P47 melhora o desempenho com o aumento da rotação, isso significa que para esta bomba os efeitos de segregação devido ao campo centrípeto não são dominantes. Isso pode ser uma das justificativas para o valor baixo encontrado para a constante kb∞. A degradação da bomba está mais ligada à distorção do perfil de velocidades e do perfil de fração no canal do rotor do que o escorregamento das fases.
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Figura 5.41 Norma dos dados experimentais para bomba P47.
Adicionalmente é apresentada na Figura 5.43 a quantidade de pontos experimentais agrupados em intervalos referentes ao desvio relativo entre o ponto calculado e o ponto medido experimentalmente, onde é possível observar que a grande maioria dos dados experimentais apresenta um desvio menor que cinco por certo.
A comparação da potência de eixo medida e a potência de eixo calculada com os coeficientes ajustados para bomba P47 pode ser observada na Figura 5.44. Os valores de potência de eixo calculada pelo modelo apresentaram uma boa concordância com os valores experimentais medidos.
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Figura 5.42 Comparação da pressão de saída calculada versus pressão de saída medida para P47.
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Figura 5.44 Comparação da potência de eixo calculada versus dados experimentais para P47. Na Figura 5.45 é apresentada a quantidade de pontos experimentais agrupados em intervalos referentes ao desvio relativo entre o ponto calculado e o ponto medido experimentalmente em que pode ser observado que a para o caso da potência de eixo os desvios são maiores que os desvios calculados para pressão de saída.
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BCS P100
Foram utilizados 1254 pontos experimentais bifásicos para o ajuste das variáveis desta bomba. Os resultados da Norma em função das variáveis para a bomba P100 pode ser visto na Figura 5.46.
A menor Norma calculada foi para os valores de C0 =0,3 e kb∞ = 0,03. A superfície de resposta tem uma região de mínimo realçada para os valores de C0 entre 0,25 e 0,35. A comparação dos dados calculados com os dados medidos para pressão de saída pode ser vista na Figura 5.47 e a frequência dos desvios relativos da pressão de saída na Figura 5.48. Observa-se que a grande maioria dos dados está na faixa de desvio de 10% do valor medido. Semelhante à análise realizada para bomba P47, os efeitos de segregação devido ao campo centrípeto não são dominantes resultando em um valor baixo para a constante kb∞.
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Figura 5.47 Comparação da pressão de saída calculada versus pressão de saída medida para P100.
Figura 5.48 Frequência dos desvios relativos da pressão de saída calculada para a BCS P100. A comparação dos dados de potência de eixo calculada e os dados medidos experimentalmente podem ser vistos na Figura 5.49 e a frequência dos desvios relativos da potência de eixo na Figura 5.50. Para a bomba P100 o desvio dos pontos calculados para potência de eixo foi inferior ao desvio das outras bombas.
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Figura 5.49 Comparação da potência de eixo calculada versus dados experimentais para P100.
Figura 5.50 Frequência dos desvios relativos da potência de eixo calculada para a BCS P100. Através da análise combinada do gráfico da Norma, da comparação entre os pontos medidos e calculados e o gráfico da frequência dos desvios relativos é possível afirmar que o procedimento utilizado para ajustar as variáveis encontrou o melhor resultado possível.
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Na Tabela 5.4 encontram-se os valores das constantes ajustada para as três bombas testadas.
Tabela 5.4 Valores ajustados das constantes C0 e kb∞.
Modelo C0 kb∞
P23 0,35 0,29
P47 0,20 0,01
P100 0,30 0,03
Realizando uma analogia ao escoamento em tubo, o escoamento no interior da bomba assemelha-se ao escoamento descendente, onde as forças de empuxo são opostas a força de arrasto. Nestas condições, é possível obter coeficientes de distribuição menores que um, conforme apresentado na revisão bibliográfica.