Ajuste e Interpolação dos Parâmetros

O ajuste dos parâmetros dos modelos foi realizado através da ferramenta de identificação do tipo “caixa cinza” para equações diferenciais não lineares do software Matlab® utilizando a metodologia de busca pelos Mínimos Quadrados (Coleman e Li, 1996). Por identificação do tipo “caixa cinza” deve-se entender que o modelo das equações diferenciais ordinárias é conhecido e que a metodologia de busca retornará os parâmetros que melhor ajustam o modelo aos dados experimentais. A função utilizada foi a idnlgrey do toolbox de identificação, sendo que a estimação dos parâmetros foi realizada através do método de Levemberg-Marquadt1_{. O objetivo desta função é ajustar os parâmetros das equações de estado}

processo, Equações (3.2) a (3.7), juntamente com os parâmetros das variáveis de saída, respostas das Equações (3.8) a (3.10), às medidas experimentais: a formação de CO2,

endoglucanase e xilanase. Na rotina de busca são definidos os valores iniciais dos parâmetros, assim como os valores mínimo e máximo de busca, são definidas as condições iniciais dos estados do processo e quais são os parâmetros que podem variar.

Para que modelo pudesse prever as condições operacionais não avaliadas, interiores à região estudada e exteriores próximas à essa, foi necessário calcular uma superfície de resposta para cada um dos parâmetros propostos. Assim, foi criada uma superfície de resposta, para cada um dos parâmetros, em uma região de temperatura e umidade inicial do meio na qual o modelo tivesse que representar adequadamente os resultados experimentais. Foram testados dois métodos para se calcular as superfícies, uma interpolação cúbica e uma polinomial. Ambos os métodos foram calculados através da função fit do Matlab®_{. Essa função utiliza o método dos} mínimos quadrados para ajustar uma função polinomial de grau predeterminado aos dados obtidos. Primeiramente, foi testada a interpolação cúbica, na qual o ajuste da curva é priorizado para os pontos experimentais. O modelo obtido foi utilizado no algoritmo de otimização e o perfil de temperaturas gerado foi testado experimentalmente, na condição de umidade inicial do substrato de 60%. Após desse experimento, observou-se que o ajuste polinomial representava com maior fidelidade as curvas experimentais do processo quando comparadas

com a interpolação cúbica. Além disso, o ajuste polinomial apontou que a produtividade de enzimas era mais na umidade de 66%. Novos teste e experimentos foram realizados conforme o procedimento descrito a seguir.

Roteiro utilizado para o ajuste dos parâmetros

1° Passo: Após coleta dos dados experimentais dos ensaios de 1 a 11 da Tabela 3.1, foram

ajustados os parâmetros para crescimento microbiano descrito pela média das curvas de CO2,

através da função idnlgrey.

2° Passo: Utilizando a resposta do modelo de crescimento obtido no 1° passo, as respostas

experimentais da produção enzimática foram ajustadas às Equações (3.9) e (3.10) para cada condição experimental.

3° Passo: Foi calculada a interpolação cúbica para cada um dos parâmetros das Equações (3.2)

a (3.10). Obtida a interpolação do modelo, este foi aplicado no algoritmo de otimização desenvolvido para cálculo das melhores condições ambientais do processo. Foram realizados os experimentos 12 e 13 a fim de se aprimorar o conhecimento da dinâmica microbiana nas condições “ótimas” de umidade proposta pelo algoritmo de otimização para a primeira versão do modelo, ou seja, 60% de umidade inicial do processo.

4° Passo: Foram observadas discrepâncias entre os valores medidos de CO2 e produção

enzimática e os valores previstos pelo modelo quando aplicado experimentalmente o primeiro perfil de temperaturas proposto pelo algoritmo utilizado. Essas diferenças foram minimizadas com o uso da interpolação polinomial quadrática, na qual foram considerados também os experimentos 12 e 13. Essa nova versão do modelo indicou que as melhores condições de umidade inicial do substrato se encontravam a 66%. Com essa atualização, foi realizada nova rodada de otimização, que resultou no perfil proposto para o experimento 15.

5° Passo: Mais uma vez foram observadas divergências entre o resultado previsto pelo modelo

e o observado experimentalmente para as condições do experimento 15. Constatou-se que era necessário a realização de experimentos em temperaturas abaixo de 37°C na umidade do substrato proposta. Assim foram realizados os experimentos 17 e 18, seguidos dos respectivos ajustes de parâmetros. Observou-se também que o modelo representava melhor os resultados do experimento 15 através de uma interpolação ponderada, cujo objetivo foi priorizar os o ajuste dos parâmetros para umidades superiores a 60%, condições experimentais que apresentaram maior produção de celulases. Os pesos para os experimentos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9-11, 12, 13, 17 e 18, da Tabela 3.1, foram respectivamente: [1; 1; 4; 16; 1; 12; 1; 0; 2; 8; 4; 12; 12]. Notou-

se também que o resultado da simulação foi melhorado quando o parâmetro _{𝛽𝑋𝐸𝑛𝑑} foi interpolado por um polinômio de ordem 2x3, umidade x temperatura. Para que os efeitos deletérios da temperatura fossem considerados, foi inserida a Equação (3.11) ao modelo e nova rodada de otimização foi realizada, experimento 19. Para os experimentos de 9 a 11 foi considerada a média dos parâmetros.

6° Passo: Foram ajustados os parâmetros de crescimento para cada uma das curvas de CO2

obtidas nos ensaios de 9 e 11 e foram calculados seus respectivos desvios. Esses desvios foram normalizados e extrapolados para as demais condições experimentais.

Após o 5° passo, o modelo final com interpolação polinomial de 2° grau ponderada foi capaz de descrever com acuidade os efeitos das variações da temperatura tanto no perfil de CO2,

quanto na produção de enzimas. Os resultados dos experimentos 19 e 20 ficaram dentro do intervalo de confiança determinado pelos desvios padrões calculados no passo 6.

O experimento 20 foi realizado a fim de se validar o modelo matemático desenvolvido, tanto para averiguação do crescimento microbiano, quanto para a produção de enzimas.

3.4. _{OTIMIZAÇÃO DO PROCESSO}