Al-Kāshī (1380-1429)

A fontes são o Site Web Al-Kāshī (2013) e Van Brummelen, The mathematics of the heavens and the earth (2009).

O astrónomo iraniano Al-Kāshī foi o maior cientista computacional do seu tempo. Os seus feitos ainda estão a ser descobertos hoje em dia.

Ilustração 60 - Al-Kāshī num selo iraniano14

Na sua terceira obra-prima, Risāla al-watar waʾl-jaib, Tratado sobre a Corda e Seno, o iraniano Al-Kāshī calcula o seno de com 10 casas decimais corretas. Esta precisão era essencial para o rigor das tabelas astronómicas. Não se sabe se foi Al-Kāshī que completou este tratado ou se foi completado após a sua morte. A obra na sua forma original está perdida. Contudo como o seu método provocou várias reações e variantes, pode ser reconstruído com alguma precisão.

Antes de avançarmos, recordemos o método usado por Ptolomeu no seu Almagesto na determinação de . Ptolomeu usa a desigualdade:

( ) ( ),

o que lhe deu uma aproximação para correta até duas casas sexagesimais, pois ambos os extremos da desigualdade se iniciam com . O método tem uma limitação inerente e que tem a ver com esses extremos: sem novos extremos não há possibilidade de melhorar a precisão.

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Fonte: <http://muslimmedianetwork.com/mmn/windows-live-

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A fonte é Aaboe (1954).

O método de Al-Kāshī, descoberto no início do século dá aproximações de e baseia-se em duas relações:

(1) que com fica:

A forma moderna desta relação é dada por Esta fórmula pode ser obtida a partir da fórmula da soma pois:

( ) ( ) ( )

(2) , que é um valor correto até às casas sexagesimais apresentadas.

O valor de pode ser determinado com tantas casas decimais quantas necessárias, pois os procedimentos euclidianos permitem encontrar os valores de e a partir das contruções dos lados de um pentágono regular e de um triângulo equilátero inscritos num círculo. Estas construções foram traduzidas para equações algébricas, exigindo nada mais que as soluções de equações de 1º ou 2º grau, que já observamos em Ptolomeu. As soluções destas equações podem ser expressas, no pior dos casos, em termos de raízes quadradas que podem ser aproximadas com a precisão desejada. A partir daqui entra a fórmula do seno da diferença de dois arcos que observamos com Abū’l-Wafā no século :

.

Pela fórmula do ângulo metade, usada repetidamente obtemos e

Segue-se o uso da relação (1). Resolvendo esta equação de 3º grau obtemos o valor de fazendo e :

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O problema seguinte é o de determinar a solução desta equação sem a resolver analiticamente. Al- Kāshī começa isolando o termo em :

  

 .

Já sabemos de estimativas anteriores que o que faz com que o termo do numerador seja bastante mais pequeno que . Assim, podemos escrever sendo as casas sexagesimais da raiz da equação e obtemos:

. Subtraindo a ambos os membros:

 



 Como sabemos que o valor de é um valor muito próximo de :

.

Obtemos

Note-se que o 2º membro não depende de . De fato, como sabemos que está próximo de então também o seu cubo irá estar. Como quer o denomidador, , quer termo do numerador são muito maiores que , quase não interfere no resultado. Assim o 2º membro não irá depender de . Podemos confirmar isto fazendo:

e

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Para chegarmos à próxima casa sexagesimal repetimos o processo. Vamos considerar e subtraímos de ambos os membros. Obtemos:



 ,

o que nos dá a casa sexagesimal seguinte. Assim . De novo o segundo membro não depende de pelas mesmas razões que foram apresentadas para .

Al-Kāshī continua o processo até 10 casas sexagesimais, concluindo que: .

Todos os valores estão corretos à exceção dos últimos dois – que deveriam ser . Contudo o valor é muito bom para os cálculos que eram necessários fazer.

As ferramentas que Al-Kāshī usa – a fórmula do ângulo triplo e a iteração - estavam disponíveis há séculos. Al-Kāshī foi o primeiro a juntar estas duas ideias usando a linguagem da álgebra.

Obteve-se assim uma tabela monumental de senos de último grito com cinco casas sexagesimais para cada minuto do arco (e que vai até às seis casas sexagesimais para valores entre e ). Esta tabela só seria superada por Rheticus quase 200 anos mais tarde.

Al-Kāshī usa um método para aproximar que produz um resultado tão próximo do valor real quanto desejado.

O método que ele utiliza é um método iterativo: inicia-se com conjunto de dados e uma aproximação, que geralmente é grosseira mas está próxima do valor real. De seguida, com o conjunto de dados, o valor inicial e com um determinado procedimento chega-se a um número. Este número é então tomado como a nova aproximação e com o conjunto de dados, usando o mesmo procedimento realiza-se uma segunda ronda de cálculos. Estes cálculos geram uma nova aproximação e com o conjunto de dados é utilizado o procedimento e por aí adiante. Se o procedimento for eficiente irá produzir resultados que se irão aproximar cada vez mais do valor procurado e que resolve o problema. Neste caso, o procedimento converge e o algoritmo é eficiente.

O procedimento de Al-Kāshī produz resultados que sucessivamente se aproximam do valor de . O método hoje em dia tem o nome de Método de Iteração do Ponto Fixo.

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Al-Kāshī não fornece uma prova da convergência do seu algoritmo. O seu interesse estava em encontrar métodos que fornecessem soluções para problemas importantes na astronomia.

À luz atual o que faz Al-Kāshī? Al-Kāshī considera a função e faz De seguida realiza a iteração .

Note-se que cresce lentamente perto de .

No ficheiro Al-Kashi1.ggb do GeoGebra poderemos ver quão rápida é a convergência da função para . De fato à 4ª iteração já temos um valor que difere de 13 casas decimais do valor real! No Anexo a este trabalho encontra-se um print screen do ficheiro.