do problema (7.1) são os vetores de ângulos, de circuitos adicionados, de geração e de geração artificial.
Existem quatro tópicos relacionados com os algoritmos B&B para problemas de programação
não-linear inteiro misto que devem ser analisados separadamente: (1) os testes de sondagem, (2) a escolha da variável para separação dos subproblemas, (3) a escolha do próximo subproblema a ser resolvido e (4) a forma de trabalhar com problemas de programação não-linear.
Os testes de sondagem permitem verificar que na região factível de um subproblema já não exis- tem soluções melhores que as já conhecidas (a atual incumbente) e, portanto, devem ser eliminados do processo de busca. No algoritmo Branch and Bound para problemas PLIM existem 3 testes de sondagem, assim um subproblema é sondado nos seguintes casos: (1) se a solução do subproblema é inteiro, indicando que essa solução inteira é a melhor dessa região factível, (2) se a solução do subproblema é maior que a incumbente corrente, indicando que se na região factível existem solu- ções inteiras, a melhor solução inteira deve ser maior que a incumbente corrente, e (3) se a solução do subproblema é não factível, indicando que não existem soluções inteiras na região factível do subproblema.
A escolha da variável para separação e o próximo subproblema que deve ser resolvido são estraté- gias de decisão muito importantes porque determinam o tamanho da árvore de B&B, assim como do
esforço de processamento. Não existe uma forma exata para determinar a variável que deve ser usada para separar um subproblema e o próximo subproblema que deve ser escolhido para análise. Entre- tanto, a estratégia que se mostrou mais eficiente é usar pseudocustos para identificar a variável mais promissora e encontrar a melhor estimativa (limitante inferior) de cada subproblema. Nesse caso, o subproblema escolhido para análise é o subproblema que tem menor estimativa porque existe maior probabilidade de encontrar excelentes soluções inteiras nessa região do espaço de busca (Haffner et al., 2001).
7.2
Algoritmo Branch and Bound para o Modelo CC
Um algoritmo B&B básico para o problema de planejamento da transmissão usando o modelo
CC, que é uma adaptação da proposta apresentada em (Haffner et al., 2001) para levar em conta o caráter não-linear do problema de planejamento, é apresentado a seguir:
1. Inicialização: Fazerk = 0 (número de subproblemas gerados), definir a incumbente inicial v∗ e inicializar a lista dos subproblemas candidatos com a solução do problema de PNL corres- pondente (P ).
104 Algoritmo Branch and Bound para o Modelo CC
2. Teste de convergência: Se a lista dos candidatos é vazia então o processo terminou e a solução incumbente atual é a solução ótima do problema (P ). Caso contrário prossiga.
3. Seleção do subproblema candidato para ser examinado: Dentre os subproblemas candidatos da lista ainda não sondados, escolher qual é o próximo a ser examinado, usando uma das estraté- gias discutidas a seguir, e retirá-lo da lista. Resolver o problema de PNL relativo ao problema selecionado relaxado (P Ck
R) e armazenar a solução ótima como limitante inferior para todos os seus descendentes,vk
inf = v∗P Ck R .
4. Testes de sondagem: O subproblema candidato (P Ck) pode ser sondado se satisfizer uma das seguintes condições:
(a) Se (P Ck
R) não tem solução factível, existe corte de carga. (b) Sevk
inf > v∗+ ǫ. Em que v∗ é o valor da incumbente atual. (c) Se a solução ótima do problema relaxado (P Ck
R) satisfizer as restrições de integralidade, isto é, for uma solução viável do problema original, também em (P Ck). Ainda, se o valor ótimo obtido for menor do que a incumbente, entãov∗ = v
inf e deve-se aplicar o teste (4b) para todos os subproblemas candidatos ainda não sondados.
Se o subproblema candidato (P Ck) foi sondado, então retornar para o passo 2.
5. Seleção da variável de separação: A partir do subproblema (P Ck), selecionar uma variável para separação, dentre aquelas que são inteiras e ainda apresentam valor contínuo usando uma das estratégias descritas a seguir. Para a variável escolhida nij, cujo valor atual é n∗ij, gerar dois novos subproblemas descendentes e adicioná-los à lista de candidatos. Os problemas são gerados acrescentando-se as seguintes restrições
Primeiro descendente (P Ck+1): =⇒ n ij ≤ [n∗ij] Segundo descendente (P Ck+2): =⇒ n ij ≥ [n∗ij] + 1 em que,[n∗ ij] é o maior inteiro de n ∗
ij. Fazerk = k + 2 e retornar ao passo 3.
Em relação ao algoritmo apresentado em (Haffner et al., 2001) existem duas mudanças intro- duzidas no algoritmo básico. A primeira mudança está relacionada com a necessidade de resolver problemas de PNL no passo 1 e 3 do algoritmo B&B, e a segunda mudança está relacionada com o
7.2 Algoritmo Branch and Bound para o Modelo CC 105 c ǫ sondagemárea de mínimo mínimo global local nó k de custo função p o si çõ es in te ir as posições inteiras vk vl vg
Fig. 7.1: Não-convexidade do problema de planejamento de transmissão
problemas com o aparecimento de ótimos locais na resolução dos problemas de PNL. Assim, para que um subproblema seja sondado, deve ter um limite inferior maior que a incumbente acrescido de um valor adicional de segurança. Deve-se observar que no algoritmo B&B para problemas de PLIM
a função objetivo de um subproblema sucessor sempre é maior ou igual a função objetivo do ante- cessor. Entretanto, para modelos não lineares, como o problema de planejamento da expansão de transmissão usando o modelo CC, essa propriedade não está garantida e o fator de segurançaǫ tenta
contornar esse problema.
A Fig. 7.1 pretende explicar melhor o significado do fator segurança ǫ. Pela característica não-
linear do problema, é possível que o mínimo local (nó l) possa fazer a sondagem (sem fator de
segurançaǫ) dos nós que possam ajudar a encontrar o mínimo global (nó g), como por exemplo o nó k (vk > vl). O valor de segurançaǫ garante que o nó k não seja sondado (vk < ǫ + vl), e ajude ao algoritmo B&B na convergência para o mínimo global.
Assim, a proposta apresentada aumenta a probabilidade de encontrar o mínimo global, mas é possível resolver um número adicional de problemas de programação não-linear. Neste trabalho assume-se um valor deǫ igual a uma porcentagem do v∗e é calculado de forma heurística a partir das simulações dos sistemas testados.
106 Algoritmo Branch and Bound para o Modelo CC
Uma questão de fundamental importância na eficiência do algoritmo branch and bound está rela- cionada com duas decisões que são realizadas no decorrer do processo:
• Seleção do subproblema candidato: No passo 3, deve-se escolher, dentre uma lista de subpro- blemas candidatos, o próximo a ser examinado.
• Seleção da variável de separação: No passo 5, deve-se escolher, dentre um grupo de variáveis inteiras que possuem parte fracionária, qual será empregada para realizar a separação.
A maneira pela qual são realizadas estas escolhas influencia diretamente o número de nós a se- rem examinados e, portanto, determina o esforço computacional que será empregado para resolver o problema.