Algoritmo de contacto

O algoritmo de contacto, apresentado na Figura 7.5, foi construído segundo a técnica de Newton-Raphson. O programa ABAQUS/Standard [39] usa um algoritmo de contacto de master-slave em que os nós de uma superfície (slave) não podem penetrar os segmentos que fazem parte de uma outra superfície (master). O algoritmo não imprime restrições à superfície master, podendo penetrar na superfície slave, entre os seus nós (Figura 7.4). A consequência desta formulação exige uma correta escolha das respetivas superfícies, para se obter uma melhor simulação de contacto possível. Uma das regras será que a superfície

n



g

g n





x

X

u

g



g

t

 

 

_

7. Método dos elementos finitos

87 slave deverá ter uma malha mais refinada, mas se as densidades das malhas forem similares, então a superfície slave deverá ser uma superfície de material menos rígido.

Figura 7.4: A superfície master pode penetrar na superfície slave [39]. Quando se usa a formulação de small-sliding, o ABAQUS/Standard estabelece a relação entre os nós slave e as superfícies master no início da simulação, determinando que segmento na superfície master entra em contacto com cada nó da superfície slave. Esta relação mantém-se durante toda a análise não alterando as superfícies que interagem. Se são incluídas no modelo, geometrias não lineares, o algoritmo de small-sliding considera qualquer rotação e deformação da superfície master, atualizando as cargas transmitidas. Se não são incluídas geometrias não lineares, as rotações e deformações serão ignoradas, mantendo-se as cargas fixas.

O ABAQUS/Standard examina o estado de todas as interações de contacto no início de cada incremento para verificar se os nós slave são penetrados ou não. Na Figura 7.5, p refere-se à pressão de contacto no nó slave e h a penetração dum nó slave numa superfície master. Se o nó penetra, o programa determina se ele desliza ou está fixo, aplicando uma restrição para cada nó penetrado e removendo a restrição para os nós não penetrados. O programa conclui uma iteração e atualiza a configuração do modelo usando correções calculadas.

Antes de verificar o equilíbrio das forças ou momentos, o programa primeiro verifica as mudanças nas condições de contacto nos nós slave. Qualquer nó que ao fim de cada iteração se torne negativo ou zero muda o estado de não penetrado para penetrado. Qualquer nó cuja pressão de contacto se torne negativa muda o seu estado de penetrado para não penetrado. Se for detetada alguma alteração na iteração corrente, o programa rotula-a como “iteração de descontinuidade severa”, e não é concluída a verificação de equilíbrio.

7. Método dos elementos finitos

88 O programa modifica as restrições de contacto para refletir a mudança no estado de contacto depois da primeira iteração e tenta uma segunda iteração. O programa repete o procedimento até uma iteração estar completa sem alteração no estado de contacto.

Figura 7.5: Algoritmo de contacto.

Esta iteração torna-se a primeira iteração de equilíbrio e o programa realiza a verificação de convergência de equilíbrio normal. Se a convergência falha, o programa faz outra iteração. Cada vez que ocorre uma iteração de descontinuidade severa, o programa volta a colocar os contadores internos das iterações de equilíbrio a zero. Este contador de iterações é usado para determinar se um incremento deve ser abandonado devido a uma taxa de convergência baixa. O programa repete todo o processo até se conseguir a convergência, como se visualiza na Figura 7.5.

O resumo para cada incremento completo nos ficheiros de mensagem e de estado mostra quantas iterações eram iterações de descontinuidade severa e quantas eram iterações de equilíbrio. O número total de iterações para um incremento é a soma destes dois.

7. Método dos elementos finitos

89 Se o número de iterações de descontinuidade severa é alto, mas há várias iterações de equilíbrio, o programa terá dificuldades em determinar as próprias condições de contacto. Por defeito, o programa rejeita qualquer incremento que necessite mais de 12 iterações de descontinuidade severa e tenta novamente com um incremento menor. Se não há iterações de descontinuidade severa, o estado de contacto não muda de incremento para incremento.

O programa ABAQUS combina as duas componentes de tensão de corte numa “tensão de corte equivalente”, 𝜏̅, para o cálculo de fixação/deslizamento, onde 𝜎̅ = √𝜏₁2_{+ 𝜏}

22.O

ABAQUS combina ainda as duas componentes de velocidade de deslizamento numa taxa de deslizamento equivalente, 𝛾̇_𝑒𝑞= √𝛾̇₁2+ 𝛾̇₂2. O cálculo de fixação/deslizamento define a superfície na pressão de contacto – espaço de tensão de corte ao longo do qual um ponto passa de fixo a deslizante(Figura 7.6).

Figura 7.6: Região de deslizamento para o modelo de atrito clássico de Coulomb. Quando as superfícies de dois corpos se encontram em contacto, geralmente transmitem forças tangenciais e normais na respetiva interface, sendo conhecida a relação entre estas duas componentes de força. A relação, conhecida como atrito entre os corpos, é usualmente expressa em termos de tensões na interface dos corpos [39]. Existem duas formas para definir o modelo de atrito clássico de Coulomb no programa ABAQUS: especificar diretamente os coeficientes de atrito estático e cinemático ou definir o coeficiente de atrito como sendo uma função da taxa de deslizamento equivalente e da pressão de contacto, tendo sido este o utilizado nesta tese.

7. Método dos elementos finitos

90 (7.69)

onde 𝛾̇_𝑒𝑞 , é a taxa de deslizamento equivalente, p é a pressão de contacto, 𝜃̅ =1

2(𝜃𝐴+

𝜃_𝐵) é a temperatura média no ponto de contacto e 𝑓̅𝛼 =1

2(𝑓𝐴 𝛼

+ 𝑓_𝐵𝛼) corresponde à média da variável de campo pré-definida (α) no ponto de contacto, 𝜃_𝐴, 𝜃_𝐵 , 𝑓_𝐴𝛼 e 𝑓_𝐵𝛼 são as temperaturas e variáveis de campo pré-definidas nos pontos A e B das superfícies. O ponto A é um nó pertencente à superfície slave e o ponto B corresponde ao ponto mais perto do ponto A e pertence à superfície considerada master.

Por defeito, assumiu-se que o coeficiente de atrito toma um valor constante ao longo do processo não dependendo das variáveis de campo acima descritas.

( _eq, ,p ,f)