Algoritmo de Otimiza¸c˜ ao dos Lobos Cinzentos

3.2 Descri¸c˜ao do Algoritmo GWO

No algoritmo 3.1 ´e fornecida a estrutura fundamental do algoritmo GWO para um problema otimiza¸c˜ao.

No algoritmo GWO é inicializada uma popula¸cão de N lobos-cinzentos (potenciais solu¸cões) com posi¸cões aleatórias, designada por alcateia, que pode ser definida por PX = (X1, X2, ..., XN). Cada lobo-cinzento representa um agente de pesquisa,

ou seja, uma solu¸cão potencial que ca¸ca/pesquisa uma presa/solu¸cão melhor do problema. Os indiv´ıduos que compõem a popula¸cão são representados como agentes de pesquisa e representam uma solu¸cão candidata do problema, sendo tratada como um ponto num espa¸co dimensional d.

Uma das etapas do processo de ca¸ca é perseguir e cercar a presa. Sendo X(t) a posi¸cão de um lobo e Xp(t) a posi¸cão de uma presa numa determinada itera¸cão t do

tempo evolutivo, esta etapa é modulada matematicamente através das equa¸cões:

D = |C · Xp(t) − X(t)| (3.1)

X(t + 1) = Xp− A · D (3.2)

onde A e C s˜ao vetores representados pelas equa¸c˜oes (3.3) e (3.4).

Através da equa¸cão (3.2), realizada elemento-a-elemento, os lobos diminuem a distância relativamente às suas presas ao longo do tempo. Esta distância depende dos parâmetros A e D, no qual o A é um vetor aleatório cujos valores estão compreendidos no intervalo [−2a, 2a] que diminui gradualmente de acordo com a equa¸cão (3.3) e D é a distância entre o lobo e a presa. Assim sendo, ao longo do tempo, com o aumento do número de itera¸cões, os lobos ficam cada vez mais perto das suas presas.

A = 2a · r1− a (3.3)

C = 2 · r2 (3.4)

sendo r1e r2n´umeros gerados aleatoriamente entre o intervalo [0, 1] e a um parˆametro

que decresce gradualmente e linearmente de 2 para 0. O parâmetros A e a são res- ponsáveis por garantir uma transi¸cão gradual entre a pesquisa local (atacar presa) e a pesquisa global (localizar presa). No GWO original, metade das itera¸cões é dedicada à pesquisa global com |A| ≥ 1 e a outra metade das itera¸cões dedicada `

a pesquisa local com |A| < 1. Outro componente que favorece a pesquisa global é C que contém valores aleatórios compreendidos entre [0, 2] e que tem como fun¸cão designar, estocasticamente, valores de modo a real¸car a solu¸cão (presa) (C > 1) ou atenuar a mesma (C < 1). A aplica¸cão desta metodologia favorece a pesquisa global e evita a convergência prematura do algoritmo para m´ınimos locais.

Como visto anteriormente, as alcateias são regidas por um rigoroso sistema hierár- quico de dominância. Em analogia à sua inspira¸cão natural, o GWO considera a melhor solu¸cão Xα, a segunda melhor solu¸cão Xβ e a terceira melhor Xδ. As

restantes solu¸cões são designadas Xω. No GWO, durante o processo de otimiza¸cão

(ca¸ca), considera-se que os três melhores lobos (α, β, δ) têm um melhor conhecimento sobre a localiza¸cão da presa. Deste modo, são guardadas as três melhores solu¸cões

3.3. SIMULAÇ ÕES EM FUNÇ ÕES OBJETIVO PADR ÃO 61

obtidas até ao momento que obrigam os outros agentes de pesquisa (ω) a atualizar a sua posi¸cão de acordo com a média dos melhores agentes. As equa¸cões seguintes modelam, matematicamente, o processo descrito:

Dα = |C · Xα(t) − X(t)| (3.5a) Dβ = |C · Xβ(t) − X(t)| (3.5b) Dδ = |C · Xδ(t) − X(t)| (3.5c) X1 = Xα− A1· (Dα) (3.6a) X2 = Xβ− A2· (Dβ) (3.6b) X3 = Xδ− A3· (Dδ) (3.6c) X(t + 1) = X1 + X2+ X3 3 (3.7)

3.3 Simula¸cões em Fun¸cões Objetivo Padrão

A meta-heur´ıstica GWO foi implementada num conjunto de fun¸cões objetivo padrão com a finalidade de realizar um breve estudo sobre o seu desempenho comparativa- mente à meta-heur´ıstica PSO. As fun¸cões selecionadas são apresentadas na Tabela

3.1.

Tabela 3.1 – Fun¸c˜oes objetivo padr˜ao selecionadas.

Fun¸c˜ao objetivo Dimens˜ao Espa¸co de Pes-

quisa, xi f∗ i f1(x) = n−1 P i=1 100 xi+1− x2i 2 + xi− 1 2 30 [−30, 30] 0 f2(x) = n P i=1 x2 i − 10 cos(2πxi) + 10 30 [−5.12, 5.12] 0 f3(x) = 1 + 1 4000 n P i=1 x2 i− n Q i=1 cos√xi i 30 [−600, 600] 0 f4(x) = −20 exp − 0.2 s 1 n n P i=1 x2 i − exp 1 n n P i=1 cos(2πxi) + 20 + e 4 [−5, 5] 0.0003

Durante este estudo, foram realizados vários testes, todos eles direcionados para a minimiza¸cão das fun¸cões objetivo apresentadas, das quais foram selecionadas as solu¸cões que apresentaram melhores resultados. O tempo evolutivo utilizado para esta bateria de testes foi cerca de 500 itera¸cões (t = 500)(Mirjalili, 2015).

Na Figura 3.2 é representada, graficamente, a fun¸cão objetivo f1 (fun¸cão de Ro-

senbrock) para dois parâmetros, n = 2. Uma compara¸cão entre a convergência do algoritmo GWO e o PSO ao longo do tempo de evolu¸cão (t = 500) é apresentada na Figura 3.3. 200 100 x₁ 0 -100 -200 -200 -100 0 x₂ 100 15 5 10 0 200 ×1010 F1( x 1 , x 2 )

Figura 3.2 – Fun¸c˜ao objetivo f1 para duas

dimens˜oes.

Iteração

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Melhor resultado até ao momento

102 103 104 105 106 107 108 GWO PSO

Figura 3.3 – Convergˆencia dos algoritmos GWO e PSO para a fun¸c˜ao objetivo f1.

O melhor resultado obtido com a implementa¸c˜ao da meta-heur´ıstica GWO foi f₁∗ = 27.092. Por sua vez, o melhor resultado obtido com a implementa¸c˜ao da meta- heur´ıstica PSO foi f₁∗ = 73.054.

Na Figura 3.4 é ilustrada, graficamente, a fun¸cão objetivo f2, também conhecida

como fun¸c˜ao de Rastrigin, para dois parˆametros n = 2. Por sua vez, na Figura

3.5 é apresentada uma compara¸cão entre a convergência do algoritmo GWO e do algoritmo PSO ao longo do tempo de evolu¸cão (t = 500) para a fun¸cão f2.

O melhor resultado obtido com a implementa¸cão da meta-heur´ıstica GWO foi um valor ótimo da fun¸cão objetivo de f₂∗ = 11.675. Por sua vez, o melhor resultado obtido com a implementa¸cão da meta-heur´ıstica PSO foi um valor ótimo da fun¸cão objetivo de f₂∗ = 50.813.

3.3. SIMULAÇ ÕES EM FUNÇ ÕES OBJETIVO PADR ÃO 63 5 x 1 0 -5 -5 0 x₂ 80 0 20 40 60 5 F2( x 1 , x 2 )

Figura 3.4 – Fun¸c˜ao objetivo f2 para duas

dimens˜oes.

Iteração

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Melhor resultado até ao momento

102

GWO PSO

Figura 3.5 – Convergˆencia dos algoritmos GWO e PSO para a fun¸c˜ao objetivo f2.

Na Figura 3.6 é ilustrada, graficamente, a fun¸cão objetivo f3 (fun¸cão de Griewank)

para dois parâmetros, n = 2. Na Figura 3.7 é apresentada uma compara¸cão entre a convergência do algoritmo GWO e PSO ao longo do tempo de evolu¸cão para a fun¸cão f3. 500 x 1 0 -500 -500 0 x 2 20 60 80 100 120 40 0 500 F3( x 1 , x 2 )

Figura 3.6 – Fun¸c˜ao objetivo f3 para duas

dimens˜oes.

Iteração

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Melhor resultado até ao momento

10-15 10-10 10-5 100 GWO PSO

Figura 3.7 – Convergˆencia dos algoritmos GWO e PSO para a fun¸c˜ao objetivo f3.

Nesta simula¸cão, o melhor resultado obtido foi também alcan¸cado pela meta-heur´ıstica GWO com o valor ótimo de f₃∗ = 0 em contraste com o valor de f₃∗ = 0.00987 obtido com a implementa¸cão da meta-heur´ıstica PSO.

Na Figura 3.8é representada a fun¸cão objetivo f4 (também conhecida como fun¸cão

entre a convergência do algoritmo GWO e do algoritmo PSO ao longo do tempo de evolu¸cão para a fun¸cão f4.

20 10 x₁ 0 -10 -20 -20 -10 0 x₂ 10 0 5 10 15 20 20 F4( x 1 , x 2 )

Figura 3.8 – Fun¸c˜ao objetivo f4 para duas

dimens˜oes.

Iteração

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Melhor resultado até ao momento

10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 100 GWOPSO

Figura 3.9 – Convergˆencia dos algoritmos GWO e PSO para a fun¸c˜ao objetivo f4.

Nesta simula¸cão, o melhor resultado obtido foi também alcan¸cado pela meta-heur´ıstica GWO com o valor ótimo de f₄∗ = 1.359 × 10−13 em contraste com o valor de f₄∗ = 0.00427 obtido com a implementa¸cão da meta-heur´ıstica PSO.

Na Tabela 3.2 são apresentados os resultados obtidos para cada fun¸cão objetivo padrão utilizando a meta-heur´ıstica GWO e PSO, sendo o valor a negrito o que apresenta um melhor valor para cada fun¸cão.

Tabela 3.2 – Fun¸c˜oes objetivo padr˜ao selecionadas.

Fun¸c˜ao objetivo GWO PSO

f1(x) 27.092 73.054

f2(x) 11.675 50.813

f3(x) 0 0.00987

3.4. NOTAS FINAIS 65

3.4 Notas Finais

Este cap´ıtulo foi dedicado à descri¸cão do algoritmo GWO, fazendo-se uma aborda- gem à sua inspira¸cão natural e biológica, ao seu principio de funcionamento, opera- dores, bem como ao seu algoritmo fundamental. Posteririormente, procurou-se fazer uma pequena análise sobre o desempenho do GWO em rela¸cão ao PSO em fun¸cões objetivo padrão. Nos testes realizados, foi verificado que o algoritmo GWO supera o algoritmo PSO nas fun¸cões em que foram testados.

4

Projeto de Controladores PID:

Apresenta¸c˜ao do Problema

Neste cap´ıtulo apresenta-se o projeto do controlador proporcional, integrativo e derivativo (PID) com o algoritmo GWO. Numa primeira fase, é apresentada a relevância deste tipo de controladores em termos de aplicabilidade prática ao n´ıvel do controlo industrial de sistemas. De seguida, apresenta-se uma breve introdu¸cão aos controladores PID apresentando alguns métodos de sintonia considerados de referência.

4.1 Relevˆancia dos Controladores PID

Apesar dos grandes avan¸cos registados na teoria do controlo, os controladores PID continuam a ser os mais populares para aplica¸cões industriais, devido à sua estrutura simples e ao seu comportamento robusto numa larga gama de condi¸cões de opera¸cão

(˚Astr¨om e H¨agglund,1995) . Atualmente, mais de 95% das malhas de controlo indus-

trial utilizam controladores PID (Desborough e Miller,2002), embora muitos destes sejam controladores proporcionais-integrativos (PI) porque a a¸c˜ao derivativa n˜ao ´

e incorporada. A engenharia do controlo não está limitada a uma área particular, sendo aplicável em múltiplos dom´ınios cient´ıficos tais como Engenharia Aeronáutica,

Engenharia Biomédica, Engenharia Eletrotécnica, Engenharia Mecânica, Engenha- ria Qu´ımica, entre outras. Em todas estas são encontradas aplica¸cões que utilizam controladores PID (˚Aström e Murray, 2008).

4.2 Controladores PID: Fundamentos

Um sistema de controlo é um conjunto de componentes, subsistemas e processos interligados, de forma a obter uma resposta desejável na sa´ıda do processo ou sistema. Na Figura4.1é apresentado um diagrama de blocos de um sistema em malha fechada, onde v representa a entrada de referência, e o sinal de erro, u a sa´ıda do controlador, d uma perturba¸cão na carga, y a sa´ıda controlada, n o ru´ıdo e ym a

sa´ıda medida pelo sensor. Outras estruturas de controlo podem ser consultadas em (˚Astr¨om e H¨agglund, 1995, 2006). Controlador d(t) Atuador Sistema n(t) v(t) − e(t) u(t) + + + + y(t) Sensor ym(t)

Figura 4.1 – Diagrama de blocos de um sistema de controlo em malha fechada.

Assumindo que ym(t) = y(t), o sinal de erro ´e representado pela diferen¸ca e(t) =

v(t) − y(t) entre o sinal de entrada de referˆencia, v(t), e o sinal da sa´ıda controlada, y(t), devendo o sinal do erro ser o mais pequeno poss´ıvel. Pretende-se pois que y(t) seja o mais pr´oximo poss´ıvel de v(t).

O componente controlador pode ser configurado de diversas formas. Na realidade, representa uma estratégia de controlo, isto é, um conjunto de regras que fornecem um valor de controlo quando a a¸cão à sa´ıda se desvia do sinal de referência. Um controlador pode, assim, ser representado por uma equa¸cão ou um algoritmo. De

4.2. CONTROLADORES PID: FUNDAMENTOS 69

seguida ´e apresentada uma breve descri¸c˜ao dos controladores PID.

4.2.1 Controlo Proporcional (P)

Como o nome indica, no controlador proporcional a vari´avel de sa´ıda do controlador ´

e diretamente proporcional ao sinal do erro, sendo representada por:

u(t) = Kp· e(t) (4.1)

onde Kprepresenta a constante de ganho proporcional e e(t) o sinal de erro. A partir

da equa¸cão (4.1) verifica-se que o valor do sinal de controlo u(t) é proporcional ao valor do erro e(t). Esta proporcionalidade depende, na prática, dos limites fixos do atuador. Assim, a principal desvantagem da implementa¸cão da a¸cão proporcional é a sua incapacidade para eliminar o erro em regime estacionário (˚Aström e Hägglund,

2006).

4.2.2 Controlo Integrativo (I)

Na a¸cão integrativa (4.2), a variável de controlo é proporcional ao integral do erro. A grande vantagem da sua implementa¸cão é a capacidade de eliminar o erro em regime estacionário.

u(t) = Ki

Z t

e(t)dt (4.2)

De uma forma geral, o controlo integrativo é utilizado em conjun¸cão com o modo de controlo proporcional resultando num dos controladores mais utilizados em aplica¸cões industriais, o controlador PI, representado por (4.3) em que Ti simboliza a constante

de tempo integrativa. u(t) = Kp e(t) + 1 Ti Z t 0 e(t)dt (4.3)

4.2.3 Controlo Derivativo (D)

Com o controlo derivativo (4.4), a variável de sa´ıda do controlador é proporcional à derivada do erro. Esta a¸cão de controlo possui a capacidade de distinguir o sentido da varia¸cão do erro, não precisando de erros com grande varia¸cão de amplitude para ter uma influência significativa na a¸cão do controlo.

u(t) = Kd

de(t)

dt (4.4)

O propósito da sua implementa¸cão é melhorar o desempenho do sistema. Esta a¸cão é combinada, de uma forma geral, com a a¸cão proporcional, resultando no controlador Proporcional Derivativo (PD), ou com a a¸cão Proporcional, Integrativa e Derivativa (PID), abordada na seçcão seguinte. O controlador PD na forma paralela ´

e representado por (4.5), em que Td simboliza a constante de tempo derivativa:

u(t) = Kp e(t) + Td de(t) dt (4.5)

Uma desvantagem da a¸cão derivativa ideal reside no facto de gerar ganhos elevados para altas frequências, ou seja, o ru´ıdo em alta frequência vai levar a varia¸cões no sinal do controlador.

4.2.4 Controlador PID

O controlador PID resulta da jun¸cão das três a¸cões de controlo previamente abor- dadas: Proporcional (P), Integrativa (I) e Derivativa (D). A relevância deste tipo de controladores motivou o desenvolvimento de várias técnicas para a sua formula¸cão. Na Figura4.2é apresentada a implementa¸cão do controlador PID na forma paralela. A implementa¸cão de um sistema de controlo PID em série pode ser consultada em (˚Aström e Hägglund, 2006).

O controlador PID na forma paralela rege-se pela seguinte equa¸c˜ao:

u(t) = Kp e(t) + 1 Ti Z t 0 e(t)dt + Td de(t) dt (4.6)

4.2. CONTROLADORES PID: FUNDAMENTOS 71 1 Ti R e(t)dt Td de(t) dt Kp Sistema v(t) − e(t) ₊ + + u(t) y(t)

Figura 4.2 – Sistema de controlo com controlador PID na forma paralela.

onde Kp representa a constante de ganho proporcional, Ti a constante de tempo in-

tegrativa, Tda constante de tempo derivativa, u(t) representa a sa´ıda do controlador

PID e e(t) representa o sinal do erro.

Recorrendo à transformada de Laplace aplicada a (4.6) resulta em (4.7) e a equa¸cão (4.8) apresenta a fun¸cão de transferência no dom´ınio complexo do controlador PID:

U (s) = Kp E(s) + 1 sTi E(s) + sTdE(s) (4.7) Gc(s) = U (s) E(s) = Kp 1 + 1 sTi + sTd (4.8)

em que: Gc representa a fun¸c˜ao transferˆencia do sistema; U e E representam, res-

petivamente, as transformadas de Laplace da sa´ıda e entrada do controlador.

Como se pode verificar através da análise da equa¸cão (4.8), a ordem do polinómio do numerador tem um valor mais elevado que o do denominador, sendo esta fun¸cão de transferência não própria e portanto não implementável fisicamente. Assim devem ser realizadas modifica¸cões para que se possa implementar.

Como já foi referido, na prática não se pode implementar o controlador PID ideal utilizando circuitos passivos ou pneumáticos. Assim, os controladores industriais co- merciais baseiam-se em formas alteradas tais como a da equa¸cão (4.9) (formato ISA), com um filtro de primeira ordem na parte derivativa que irá ter um funcionamento idêntico a um filtro passa baixo para reduzir o ru´ıdo de alta frequência:

Gc(s) = Kp 1 + 1 sTi + sTd αTds + 1 0.05 ≤ α ≤ 0.2 (4.9)

onde: Kp = Kp, Ki =

, Kd = Kp× Td e α representa uma constante limitadora.

4.3 Problema da Sintonia do Controlador PID

A especifica¸cão/sele¸cão dos parâmetros Kp, Ti, Td do controlador PID , i.e. a sinto-

nia de controladores PID, ´e um problema fundamental no projeto de um controlador. Esta sintonia pode ser baseada numa fase experimental na qual sinais de teste s˜ao injetados no sistema. Historicamente, o trabalho desenvolvido por Ziegler e Nichols

(1942) representa o alicerce dos métodos de sintonia conhecidos atualmente. De facto, as primeiras tentativas que se conhecem de execu¸cão da sintonia automática de controladores PID (auto-tuning) foram direcionadas para automatizar o tedioso procedimento manual descrito por Ziegler e Nichols (1942). Desde então, vários métodos de sintonia automática de controladores PID foram desenvolvidos. Isto deve-se, principalmente, aos grandes avan¸cos no poder computacional dos micro- processadores visto que a maior parte dos controladores industriais PID podem ser implementados digitalmente num computador.

Os diferentes m´etodos de sintonia existentes podem ser classificados de muitas formas, como por exemplo, divididos em duas classes:

1. Métodos no dom´ınio do tempo, nos quais o tempo é usado como variável independente. O desempenho do sistema de controlo é avaliado estudando a resposta temporal a um sinal aplicado à entrada do sistema;

2. Métodos no dom´ınio da frequência, baseados na teoria Nyquist, que utilizam um procedimento gráfico para determinar se o sistema é estável ou instável, dando indica¸cões para melhorar as respostas transitórias e permanentes do sistema.

A sintonia automática de um controlador pode ser ilustrada através do diagrama de blocos apresentado na Figura4.3. No bloco Identifica¸cão, estimam-se os parâmetros de um modelo do sistema a controlar e no bloco Projeto determinam-se as novas

4.3. PROBLEMA DA SINTONIA DO CONTROLADOR PID 73

constantes para o controlar PID (˚Aström e Wittenmark,2008). A sintonia pode ser efetuada em direto (on-line) ou em diferido (off-line). Várias técnicas de sintonia

Controlador Sistema Identifica¸c˜ao Projeto v(t) − e(t) u(t) y(t) Kp, Ti, Td

Figura 4.3 – Representa¸c˜ao do projeto de sintonia autom´atica de um sistema de controlo.

têm vindo a ser desenvolvidas ao longo do tempo com a finalidade de encontrar os melhores parâmetros do controlador. Os métodos diferem na sua complexidade, flexibilidade e na quantidade de processamento utilizado. Nos tópicos seguintes é apresentada uma revisão de algumas dessas técnicas.

M´etodo da Resposta ao Degrau de Ziegler e Nichols

Ziegler e Nichols (1942) desenvolveram duas t´ecnicas para sintonizar controlado-

res, que até aos dias de hoje têm vindo a sofrer várias altera¸cões no sentido de as melhorar. O primeiro método de sintonia apresentado baseia-se no registo da resposta em degrau de um sistema em malha aberta, a partir do qual são estimados os parâmetros de um modelo de primeira ordem com tempo de atraso: K, T , e L. Estes parâmetros são determinados a partir da resposta tipo sigmoide apresentada no gráfico da Figura 4.4, através do método da tangente. Este método consiste em passar uma reta tangente à curva no ponto de inflexão e em seguida registar os parâmetros do modelo, como se ilustra na figura 4.4.

O problema com este procedimento reside no facto de que depende do ponto de inflexão e os parâmetros do modelo podem variar significativamente, mediante o ponto escolhido. Pode ser ainda mais problemático para sinais com ru´ıdo.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 Ponto de inflex˜ao K = 4y 4u L T t y (t )

Figura 4.4 – Identifica¸cão dos parâmetros de um modelo com o método da tangente.

industriais, estáveis em malha aberta e não oscilatórios. Um sistema com uma resposta em degrau, como o representado, pode ser aproximado a um sistema de primeira ordem com atraso no tempo (FOPTD, First Order Plus Time Delay) que ´

e representado pela seguinte fun¸c˜ao transferˆencia :

G(s) = K 1 1 + sTe

−sL

(4.10)

onde K é o ganho do sistema, T é a constante de tempo dominante e L é a constante de atraso ou de tempo morto.

Sundaresan e Krishnaswamy(1978), desenvolveram um m´etodo denominado m´etodo

dos dois pontos, que requer a determina¸cão de dois pontos na curva de rea¸cão do processo. Estes são os pontos da curva do processo quando y(t) atinge 35.3% e 85.3% do estado estacionário final. O método requer a determina¸cão do tempo correspondente para cada um dos dois pontos, t35 e t85, respetivamente, que são

ent˜ao utilizados nas express˜oes seguintes para determinar a constante de tempo (T ) e o tempo de atraso (L):

K = 4y

4u (4.11)

4.3. PROBLEMA DA SINTONIA DO CONTROLADOR PID 75

L = 1.3t35− 0.29t85 (4.13)

As fórmulas para determinar os parâmetros do controlador propostos por Ziegler e Nichols são apresentados na Tabela4.1.

Tabela 4.1 – Regras de sintonia de Ziegler-Nichols (Ziegler e Nichols,1942) para o m´etodo da resposta em degrau. Tipo de Controlador Kp Ti Td P T KL - - PI 0.9 T KL 3.3L - PID 1.2KT L 2L 0.5L

M´etodo da Oscila¸c˜ao Cont´ınua de Ziegler e Nichols

Também em 1942, Ziegler e Nichols (1942) propuseram um método no dom´ınio da frequência, o qual se baseia na determina¸cão de um ponto do diagrama de Nyquist obtida a partir da fun¸cão transferência que corresponde à primeira interse¸cão desta curva com o semieixo real negativo, como é ilustrado na Figura 4.5.

Re G(iw) Im G(iw) ω α Ponto cr´ıtico ϕ

Este método baseia-se na determina¸cão do valor do ganho cr´ıtico kc e da frequência

cr´ıtica ωc. O per´ıodo cr´ıtico é representado por tc, sendo o seu cálculo obtido através

da seguinte equa¸c˜ao:

tc=

2π ωc

(4.14)

As fórmulas de sintonia, propostas por (Ziegler e Nichols, 1942) para os parâmetros do controlador são apresentados na Tabela4.2.

Tabela 4.2 – Regras de sintonia propostas por Ziegler-Nichols (Ziegler e Nichols,1942) para o m´etodo da oscila¸c˜ao cont´ınua.

Tipo de Controlador Kp Ti Td

P 0.5kc - -

PI 0.4kc 0.8tc -

PID 0.6kc 0.5tc 0.125tc

A automatiza¸c˜ao do procedimento necess´ario para determinar o ganho cr´ıtico kce o

per´ıodo cr´ıtico tcé dif´ıcil de se obter, visto que o valor da amplitude da oscila¸cão não

pode ultrapassar o valor limite, incorrendo no risco de o sistema se tornar inst´avel.

Método do Relé de ˚Aström

De modo a encontrar uma solu¸cão para a automatiza¸cão do controlador PID e assim determinar o ganho cr´ıtico kc e o per´ıodo cr´ıtico tc, descritos no método de

oscila¸cão cont´ınua, ˚Aström e Hägglund (˚Aström e Hägglund,1984;Hang e Astrom,

1988;˚Aström e Hägglund, 1988;Hägglund e ˚Aström,1991) propuseram um sistema

em que estes dois parâmetros são estimados ligando uma malha de realimenta¸cão com um relé, como se pode verificar na Figura 4.6. O sistema é colocado a oscilar utilizando um relé em vez do controlador, até se determinar os valores para kc e tc.

Ap´os a sintonia do controlador PID este ´e colocado em funcionamento.

Sendo d a amplitude do relé e a a amplitude da oscila¸cão obtida, o ganho cr´ıtico é dado pela seguinte expressão:

Kc=

πa (4.15)

Este método tem a vantagem de controlar facilmente a amplitude da oscila¸cão cont´ınua pela escolha apropriada da amplitude do relé. Assim, gera o sinal de

4.3. PROBLEMA DA SINTONIA DO CONTROLADOR PID 77

No documento Projeto de controladores PID com meta-heurísticas de inspiração natural e biológica (páginas 91-180)