pingar (int posicaoI, int posicaoJ){ /* Incrementar o sitio local*/
Matriz[posicaoI][posicaJ] = Matriz[posicaoI][posicaoJ] + 1; se a Matriz[posicaoI][posicaJ] atingiu a capacidade suporte {
Matriz[posicaoI][posicaoJ] = 0;
se existe um sitio vizinho acima do sitio local{ pingar(posicaoI - 1, posicaoJ);
}
se existe um sitio vizinho a esquerda do sitio local{ pingar(posicaoI, posicaoJ - 1);
}
se existe um sitio vizinho abaixo do sitio local{ pingar(posicaoI + 1, posicaoJ);
}
se existe um sitio vizinho a direita do sitio local{ pingar(posicaoI, posicaoJ + 1);
} } }
metodoMain(){
Para i = 0 ate o numero total de iteracoes{
/*Os graos de areia somente ingressaram na pilha pelo sitio central*/ pingar(tamanho da matriz/2, tamanho da matriz/2);
} }
Capítulo 6
SIMULAÇÃO DE MODELOS DE
DINÂMICA DE POPULAÇÕES
6.1
Versão Estocástica do Modelo Presa-Predador
6.1.1 Introdução
Um sistema é dito estocástico se pelo menos uma de suas variáveis de saída for uma variável aleatória. De forma geral, o estado de um sistema estocástico tem um comportamento que somente pode ser descrito probabilisticamente [22].
O modelo presa-predador determinístico apresentado na seção 3.2 e resolvido numericamente na seção 4.2 não inclui a aleatoriedade nas diferentes interações entre os indivíduos das populações. Essa componente probabilística pode ser incluída no modelo discreto através de uma simulação compu- tacional baseada em geradores de números aleatórios, onde estarão representados os indivíduos das populações com as respectivas probabilidades de interação local.
Um dos objetivos dessa abordagem é simular o comportamento das populações de forma mais realista, obtendo resultados mais próximos dos dados experimentais, onde flutuações aleatórias podem ter grande influência sobre o comportamento das populações, principalmente no caso em que o número inicial de indivíduos é pequeno.
Além disso, essa abordagem deve também ser capaz de reproduzir o tipo de comportamento en- contrado no modelo presa-predador determinístico em condições similares.
6.1.2 Implementação do Modelo
Para implementar a simulação computacional estocástica do modelo presa-predador, utilizou-se a ver- são discreta dada pela eq. (4.18) como base. As regras de interação entre os indivíduos tiveram que ser reinterpretadas para incluir a estocasticidade.
A partir de uma população inicial de presas e predadores, simula-se a evolução temporal do sistema sujeito às novas regras. Para isso, são realizados sorteios de números aleatórios que controlarão a ocorrência de cada evento (reprodução, morte e predação) para cada indivíduo da população em um instantet.
Inicialmente, no instantet0, sorteia-se para cada indivíduo das populações iniciais um número
aleatório (a1). Com o resultado do primeiro sorteio, testa-se se este número (a1) é menor que a
taxa de nascimento de presas (α). Caso a1 < α, a presa reproduz e a população de presas tem
um acréscimo de um indivíduo para o passo posterior, t1. Caso contrário, não houve sucesso na
reprodução e o número de presas permanece o mesmo. O mesmo processo é realizado para cada termo de interação da equação. Sorteia-se um novo número aleatório(a2) e testa-se a probabilidade
deste indivíduo morrer por morte natural. O número aleatório deve ser menor queµN (probabilidade de morte natural). Este termo é diretamente proporcional ao número de indivíduos no tempot0. Logo,
quanto maior o número de indivíduos no sistema, maior é a probabilidade desse indivíduo vir a falecer por morte natural. O próximo número aleatório (a3) diz respeito a probabilidade deste animal ser
caçado. Para o sucesso da caça, o número aleatório deve ser menor queβP , que é a probabilidade de caça(β) multiplicada pelo número de predadores existentes em t0.
Esses três sorteios são feitos para cada presa no sistema e o valor atualizado da população de presas será o valor inicial da próxima iteraçãot1.
Para a população de predadores, o mesmo processo é utilizado. Para o nascimento de novos indivíduos, o número aleatório deve ser inferior ao termo γβN . Caso isso seja verdade, o predador é capaz de reproduzir e dar origem a mais um indivíduo no sistema. Para a morte dos predadores, o número sorteado deve ser inferior apenas a constante de mortalidade da população, pois o modelo adotado é o exponencial. Se este indivíduo falece, a população de predadores tem seu valor diminuído de uma unidade. O número de predadores ao final da iteraçãot1será o número inicial para a próxima
0 200 400 Tempo 0 0.5 1 1.5 2 Numero de Individuos 0.5 1 1.5 2 Presas 0 1 2 Predadores 0 200 400 Tempo 0 0.5 1 1.5 2 Numero de Individuos Presas Predadores 0 0.5 1 1.5 2 Presas 0 1 2 Predadores a) c) b) d)
Figura 6.1: Simulações estocásticas do modelo presa-predador. a) Séries temporais obtidas com γ = 0.3 b) Séries temporais obtidas com γ = 0.7, c) e d) Planos de fase referentes às series temporais dea e b.
6.1.3 Resultados
A Figura 6.1 mostra o resultado final para duas simulações. Esses resultados confirmam o comporta- mento oscilatório das populações e estão de acordo com as análises do modelo apresentadas na seção 3.2. Características importantes do modelo como tipo de ponto crítico, estabilidade e oscilação foram verificadas nestas simulações. É importante ressaltar que os resultados correspondem a simulações estocásticas, que é um processo diferente da solução númerica do sistema realizado nas seções 3.2 e 4.2.
Na partea da Figura 6.1, tem-se um exemplo de um sistema onde a população de presas no estado de equilíbrio é maior que a população de predadores. Nesta simulação, o parâmentroγ, que representa a taxa de conversão de presas em predadores, recebeu um valor baixo(γ = 0.3). Com isso, a energia originada da conversão da caça em novos predadores é muito pequena. O resultado é uma baixa população de predadores que não impede o crescimento da população de presas. Entretanto, na parte b da Figura 6.1, as populacões se mantém em quantidades aproximadas, devido ao alto valor atribuído
a esse parâmetro(γ = 0.7). Neste caso, a população de predadores pode assumir valores bem mais altos interferindo no crescimento da população de presas.