Segundo (LEE, 2010), um dos mais importantes problemas topológicos é a busca por uma classificação de variedades. O ideal seria obter para cada dimensão 𝑛, uma lista das 𝑛-variedades, e um teorema que diga se uma dada 𝑛-variedade é homeomorfa a exatamente uma das que constam na lista. O teorema seria ainda melhor se ele viesse com uma lista de invariantes topológicos computáveis que pudesse ser utilizado para decidir onde a variedadefiguraria na lista.
78 Capítulo 7. Classificação de uma n-variedade digital
Com isso em mente, seguimos para o algoritmo para classificação das 𝑛-variedades digitais, (EVAKO, 2015):
∙ Dados 𝑛 e 𝐴, 2𝑛 + 2 ≤ 𝐴, obtenha todas as 𝑛-variedades comprimidas com 𝑠 pontos, 2𝑛 + 2 ≤ 𝑠 ≤ 𝐴. Denote por 𝐵(𝑛, 𝐴) o conjunto destas 𝑛-variedades. Note que 𝐵(𝑛, 𝐴) possui um número finito de elementos.
∙ Seja 𝑀 uma 𝑛-variedade com número de vértices |𝑀 | = 𝐴 + 1. Converta 𝑀 na sua compressão 𝐶𝑀 . Se 𝑀 = 𝐶𝑀 , então 𝐶𝑀 /∈ 𝐵(𝑛, 𝐴), logo 𝑀 ∈ 𝐵(𝑛, 𝐴 + 1). Se |𝐶𝑀 | < |𝑀 |, então 𝑀 é homeomorfa a 𝐶𝑀 e 𝐶𝑀 ∈ 𝐵(𝑛, 𝐴).
Para melhor entender o funcionamento do algoritmo, descrevemos e comentamos cada um dos passos que devem ser seguidos. Utilizaremos 𝑛 = 2 e 𝐴 = 10.
1. Sejam 𝑛 e 𝐴, dois números conhecidos, de modo que a desigualdade a seguir seja satisfeita 2𝑛 + 2 ≤ 𝐴. Obtenha todas as 𝑛-variedades na sua versão comprimida com quantidade de vértices 𝑠, com 2𝑛 + 2 ≤ 𝐴.
Temos que 2 · 2 + 2 = 6 ≤ 10, logo desigualdade inicial, 2𝑛 + 2 ≤ 𝐴, é satisfeita. Devemos obter todas as 2-variedades tais que o número de vértices em cada uma delas seja 6, 7, 8, 9 ou 10.
Mais ainda, essas 𝑛-variedades que encontrarmos devem estar na sua versão com- primida, isto é, se encontramos uma 2-variedade com 9 vértices, devemos checar se ela está em sua versão comprimida: em caso afirmativo, nada fazemos; do contrário não fazemos sua compressão. Com isso, temos “catalogado” todas as 2-variedades com número de vértices 𝑠, 6 ≤ 𝑠 ≤ 10.
2. Denote por 𝐵(𝑛, 𝐴) o conjunto destas 𝑛-variedades. Note que 𝐵(𝑛, 𝐴) pos- sui um número finito de elementos.
No nosso exemplo, o conjunto será chamado 𝐵(2, 10), nele teremos todas as varie- dades comprimidas com número de vértices 𝑠, 6 ≤ 𝑠 ≤ 10.
Digamos que conseguimos encontrar uma quantidade 𝑘 de 2-variedades nessas con- dições. Ou seja, temos o conjunto 𝐵(2, 10) = {𝑀1, 𝑀2, 𝑀3, . . . , 𝑀𝑘}, cada 𝑀𝑖, com
𝑖 = 1, . . . , 𝑘, é uma 2-variedade comprimida. Entender como formar o conjunto 𝐵(𝑛, 𝐴) é fundamental para compreender o algoritmo.
3. Seja 𝑀 uma 𝑛-variedade com número de vértices |𝑀 | = 𝐴 + 1.
Para o nosso exemplo, seria uma 𝑀 variedade de modo que o número de vértices de 𝑀 , |𝑀 |, seja igual a 10 + 1 = 11.
7.2. Algoritmo para classificação das n-variedades digitais 79
4. Converta 𝑀 na sua compressão, que é denotada por 𝐶𝑀 .
Apenas duas coisas podem acontecer quando transformamos uma variedade 𝑀 em sua forma comprimida 𝐶𝑀 : Ou ela já está na sua versão comprimida e de fato a compressão não é feita, ou nós a comprimimos e o número de vértices de 𝐶𝑀 (a versão comprimida de 𝑀 ) é menor do que 𝐴 + 1. No nosso exemplo, seria menor do que 11.
5. Se 𝑀 = 𝐶𝑀 , então 𝐶𝑀 /∈ 𝐵(𝑛, 𝐴), logo 𝑀 ∈ 𝐵(𝑛, 𝐴 + 1). Se |𝐶𝑀 | < |𝑀 |, então 𝑀 é homeomorfa a 𝐶𝑀 e 𝐶𝑀 ∈ 𝐵(𝑛, 𝐴).
Se 𝑀 = 𝐶𝑀 , então 𝐶𝑀 /∈ 𝐵(𝑛, 𝐴). Isso é óbvio pois, se o número de vértices de 𝑀 não se altera na compressão quer dizer que esse número permanece sendo 𝐴 + 1 e só pertencem ao conjunto 𝐵(𝑛, 𝐴), as 𝑛-variedades com no máximo 𝐴 vértices (não esqueça que 𝑀 tem 𝐴 + 1 vértices), isso significa que todas as 𝑛-variedades comprimidas com no máximo 𝐴 vértices estavam no conjunto 𝐵(𝑛, 𝐴).
Se |𝐶𝑀 | < |𝑀 |, quer dizer que 𝐶𝑀 tem número de vértices menor que 𝐴 + 1 (recorde que a compressão diminui o número de vértices), logo existe no conjunto 𝐵(𝑛, 𝐴) alguma variedade que é “a mesma” que 𝐶𝑀 , e portanto 𝐶𝑀 ∈ 𝐵(𝑛.𝐴), isso significa que realmente todas as 𝑛-variedades comprimidas com no máximo 𝐴 vértices estavam no conjunto 𝐵(𝑛, 𝐴).
Note que seja como for o resultado de comprimir essa variedade 𝑀 que aparece no item 4 e possui 𝐴 + 1 vértices, o conjunto 𝐵(𝑛, 𝐴) já possuía todas as 𝑛-variedades comprimidas com no máximo 𝐴 vértices. E é esse fato que faz o algoritmo verdadeiramente classificar as 𝑛-variedades.
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8 Conclusões
Tivemos como objetivo estudar e aprofundar os conceitos da Topologia Digital de Evako, apontando como se relacionam os conceitos de Topologia dos espaços contínuos com os espaços digitais. Com isso esperamos tornar o tema mais acessível, a partir da elaboração de um texto rico em detalhes, exemplos e explicações. Também nos motivou investigar quais as vantagens e desvantagens, em utilizar a Topologia Digital.
Para o caso contínuo, o problema de classificar as 𝑛-variedades é bem mais com- plicado. Já era conhecido por Poincaré que a 3-esfera é simplesmente conexa, uma propri- edade que a distingue de todos os outros exemplos de 3-variedades compactas conhecidas em seu tempo. Poincaré perguntou se era possível encontrar uma 3-variedade compacta que é simplesmente conexa e que não seja é homeomorfa à 3-esfera. Ninguém encontrou uma, e a conjectura de que toda 3-variedade compacta simplesmente conexa é homeo- morfa a 3-esfera ficou conhecida como a conjectura de Poincaré. Conjecturas análogas foram feitas e provadas em dimensões mais elevadas, para 5-variedades e superiores por Stephen Smale, em 1961 e para 4-variedades por Michael Freedman, em 1982. Em 2003, o matemático russo Grigori Perelman, completou a prova da conjectura da geometrização que implica a conjectura de Poincaré. Para dimensão 4 e maiores, não há esperança para uma classificação completa. Em 1958, A. A. Markov provou que não existe algoritmo para classificar variedades de dimensão superior a 3. Em particular, a topologia de 4-variedades é atualmente um campo altamente ativo de investigação, (LEE, 2010).
Retomando o que dissemos no início do texto: Um espaço molecular pode ser entendido como análogo discreto de uma 𝑛-variedade no espaço euclidiano, mais ainda esse espaço molecular sempre pode ser representado por um grafo de interseção. Para tais grafos, ou ainda espaços digitais, temos condições de verificar se eles são 𝑛-variedades digitais e temos em mãos um algoritmo que os classifica.
Sabemos que não existe algoritmo que classifique as 𝑛-variedades para 𝑛 > 3, mas há grande movimentação para a classificação das 3-variedades. Sabendo disso, nos colocamos a refletir: Como a Topologia Digital de Evako poderia contribuir para resolução de tal problema?
A resposta é um tanto simples, basta que tenhamos os análogos discretos (espaços moleculares) das 3-variedades, e então utilizamos os respectivos grafos de interseção no algoritmo da classificação. A dificuldade reside justamente em obter os espaços moleculares corretos, (EVAKO, 2015).
Indicamos como principal vantagem na utilização dessa abordagem à discretização é que temos sanado o problema de classificação das 𝑛-variedades. Ressaltamos ainda que
82 Capítulo 8. Conclusões
em diversos cursos de Graduação não existe a disciplina Topologia1 e por conta do estudo
de Teoria dos Grafos não exigir qualquer pré-requisito e ser bastante visual, a Topologia Digital pode ser um caminho para introduzir os conceitos básicos aqui apresentados (vari- edades, homotopia, invariante, etc), inclusive podendo contemplar alunos de outros cursos de graduação, como Ciência da Computação, ou ainda professores do Ensino Médio que fazem Mestrado Profissional (PROFMAT) e alunos do ensino médio.
1 Particularmente minha graduação foi em Licenciatura em Matemática na UFRPE, e me lembro de