Algoritmo do programa MEFDIN3D

O algoritmo do programa MEFDIN3D de elementos finitos de placa de 4 e de 8 nós e elementos finitos tridimensionais de 20 nós para a análise estática e dinâmica de estruturas apresenta-se em seguida.

Na Figura 4.28 mostra-se o ambiente do programa MEFDIN3D em MATLAB e algumas das figuras que o programa está preparado para mostrar.

Apresentam-se igualmente alguns exemplos de estruturas bidimensionais e tridimensionais simples, para mostrar as potencialidades do programa e também para testar o cálculo estático e dinâmico (este teste apenas será efectuado para estruturas planas).

PROGRAMA MEFDIN3D. ANÁLISE ESTÁTICA E DINÂMICA DE ESTRUTURAS 2D E 3D PELO M.E.F.

(1) - ANÁLISE ESTÁTICA

(1.1) - Leitura de dados:

• Características geométricas e topológicas da discretização estrutural em E.F.; • Propriedades mecânicas dos vários materiais;

• Escalas para desenhos e animações;

• Valores máximos e mínimos para configuração das janelas de desenho;

• Leitura das coordenadas dos nós (matriz coord), apoios (matriz apoio) e forças concentradas nos nós (matriz FC);

• Leitura das incidências dos elementos (matriz elem) e do grupo do material (vector Igrupo).

(1.2) - Cálculo da matriz de elasticidade D para os casos 2D ou 3D

(1.3) - Coordenadas dos pontos de Gauss e respectivos pesos

Para NNOE = 4
NPG = 4; para NNOE = 8
NPG = 9; para NNOE = 20
NPG = 27

(1.4) - Matriz com os valores das funções de interpolação nos NPG pontos de Gauss

Esta matriz será utilizada para o cálculo das coordenadas gerais dos pontos de Gauss (desenho das tensões principais nos pontos de Gauss)

(1.5) - Desenho da malha de elementos finitos para os casos 2D ou 3D, numeração de cada nó e de cada elemento finito

(1.6) - Cálculo das derivadas das funções de interpolação em ordem às coordenadas locais

(1.7) - Cálculo do Jacobiano

(1.8) - Cálculo da matriz B, com as derivadas das funções de interpolação em ordem às coordenadas gerais

(1.9) - Cálculo das matrizes elementares Ke_{, M}e _{e do vector elementar das forças nodais equivalentes ao peso}

próprio Fe

NOTA: A matriz Me _{será utilizada apenas no cálculo dinâmico}

(1.10) - Assemblagem das matrizes de rigidez K e de massas M e do vector das forças nodais equivalentes ao

peso próprio F_peso

 (processo de espalhamento das matrizes K

e_{, M}e _{e dos vectores F}e

 )

(1.11) - Introdução das condições de apoio (apoios rígidos ou elásticos)

(1.12) - Cálculo do vector das forças globais: somatório do vector com as forças nodais equivalentes ao peso

próprio F_peso

 , com o vector com as forças concentradas nos nós FCN (vector organizado numa única coluna obtido através da matriz FC)

(1.13) - Cálculo dos deslocamentos nodais

(1.14) - Cálculo das tensões principais nos pontos de Gauss

(1.15) - Desenho da malha deformada e do campo de tensões principais nos pontos de Gauss para os casos 2D

ou 3D

(2) - ANÁLISE DINÂMICA

(2.1) - Leitura das acções dinâmicas a actuar:

Opção 1 – Acelerogramas na base ; Opção 2 – Histórias de forças aplicadas directamente nos G.L.

da estrutura

(2.1.1) - Opção 1

- Definição dos factores multiplicativos para os acelerogramas nas direcções xn caso de trate de um

equilíbrio de placa ou tridimensional

- Montagem da matriz s correspondente à distribuição espacial pelos G.L. das histórias de forças de inércia devido aos acelerogramas na base

(2.1.2) - Opção 2

- Montagem da matriz s correspondente à distribuição espacial pelos G.L. das histórias de forças aplicadas

(2.2) - Cálculo dos valores próprios (matriz diagonal com as frequências angulares ao quadrado) e vectores próprios (modos de vibração)

(2.3) - Cálculo das frequências naturais

(2.4) - Montagem da matriz modal reduzida ao número de modos de vibração que se pretendem utilizar e que

são considerados suficientes para obter uma boa aproximação da resposta da estrutura por sobreposição modal

(2.5) - Cálculo da matriz de massa modal

(2.6) - Normalização dos modos relativamente à matriz de massas

(2.7) - Cálculo da matriz de rigidez modal

(2.8) - Cálculo dos factores de participação modal para Opção 1 ou Opção 2

(2.9) - Tipo de amortecimento:

Opção 0 – Amortecimento de Rayleigh ; Opção 1 – Amortecimento modal

(2.9.1) - Opção 0

- Introdução das constantes α e β na janela de comandos

- Cálculo da matriz de amortecimento (a partir da combinação linear das matrizes de rigidez K e de massas M)

- Cálculo da matriz de amortecimento modal

- Cálculo dos coeficientes de amortecimento modais relativos

(2.9.2) - Opção 1

- Introdução do valor do coeficiente de amortecimento modal relativo (igual para todos os modos) na janela de comandos

(2.10) - Desenho das configurações modais para os casos 2D ou 3D

(2.11) - Cálculo dos deslocamentos e velocidades modais ao longo do tempo a partir da fórmula recursiva para

cálculo do integral de convolução (ou de Duhamel)

(2.12) - Cálculo dos deslocamentos estruturais ao longo do tempo a partir da fórmula da sobreposição modal

(2.13) - Desenho para a representação da resposta ao longo do tempo em termos de nuvens de pontos em dois

planos correspondentes aos dois primeiros pares de coordenadas modais

(

)

u , u , u e u

(2.14) - Desenho das histórias de deslocamentos nos graus de liberdade escolhidos pelo utilizador

(2.15) - Visualização de um filme com a deformação da estrutura e a variação do campo de tensões principais

nos pontos de Gauss ao longo do tempo para a acção dinâmica escolhida em (2.1)

(2.16) - Aplicação do módulo da Transformada de Fourier (FFT) para decompor em ondas as histórias de

deslocamentos calculadas nos G.L. pretendidos; desenho dos respectivos espectros de amplitudes

(2.17) - Cálculo sísmico pelo método do espectro de resposta:

• Leitura do espectro de resposta da acção sísmica em acelerações absolutas;

• Cálculo do espectro de resposta em pseudo-velocidades relativas e do espectro de resposta em pseudo- deslocamentos relativos;

• Desenho dos três espectros de resposta referidos;

• Cálculo dos factores de participação modal para a acção sísmica;

• Definição dos factores multiplicativos para os espectros em acelerações nas direcções xn caso de trate

de um equilíbrio de placa ou tridimensional;

• Cálculo das ordenadas do espectro de deslocamentos (por interpolação); • Cálculo dos valores máximos das coordenadas modais;

Figura 4.28: Ambiente do programa MEFDIN3D em MATLAB. Barragem de gravidade: deformada

e campo de tensões principais num dado instante, tensões principais devidas ao peso próprio, modos de vibração e espectro de amplitudes do deslocamento horizontal ao nível do coroamento.