Algumas conseqüências do Teorema 7.5

Proposição 7.6. Seja G um grupo nito tal que Hom(G; Z2) é não trivial. Para cada homo-

morsmo não trivial α : G → Z2 existe um 2-complexo nito e conexo K, com π1(K) ≈ G, e

existe uma aplicação celular fα: K → RP2, que não é livre de raízes, induzindo α em grupos

fundamentais.

Prova: Da hipótese, G possui uma apresentação P = hx | ri, onde x e r são nitos. Seja K = KP o 2-complexo modelo induzido pela apresentação P. Então G ≈ π1(K) e, a me-

nos de isomorsmo, cada homomorsmo α ∈ Hom(G; Z2) pode ser considerado como um

homomorsmo de π1(K) em π1(RP2). Pelo Lema 7.4, cada tal homomorsmo α é reali-

zado como o homomorsmo induzido em grupos fundamentais por uma aplicação celular fα : K → RP2. Então, como π1(RP1) ≈ Ze π1(G)é um grupo nito, existe um levantamento

φα : π1(K) → π1(RP1)de (fα)#ao longo de l#se, e somente se, (fα)#é trivial. Agora, como

Hom(G; Z2) 6= 1, por hipótese, para cada homomorsmo não trivial α ∈ Hom(G; Z2), cada

aplicação fα: K → RP2 não é livre de raízes, pelo Teorema 7.5. _¥

Para ilustrar a aplicabilidade desta proposição, considere o pseudo plano projetivo P2 2d

de grau 2d, o qual é obtido colando-se uma 2-célula na esfera S1 _{através de uma aplicação}

(combinatorial) S1 _{→ S}1 _{de grau 2d. (Note que RP}2 _{= P}2

2). É bem sabido que π1(P22d) ≈

Z2d e assim Hom(π1(P22d); Z2) ≈ Z2. Seja α : Z2d ≈ π1(P22d) → π1(RP2) ≈ Z2 o único

homomorsmo não trivial pertencente a Hom(π1(P2_2d); Z2). Pela proposição anterior, existe

uma aplicação f : P2

2d → RP2 tal que f#= αe f não é livre de raízes.

Proposição 7.7. Seja K um 2-complexo com grupo fundamental livre. Uma aplicação f : K → M é livre de raízes se, e somente se, o homomorsmo f#2 é trivial.

Prova: Seja f : K → M uma aplicação. Pela Observação 7.3, f é conveniente. Para cada gerador xj do grupo livre π1(K), escolha uma palavra wj no grupo livre π1(M1) tal que

7.2 Algumas conseqüências do Teorema 7.5 109

l#(wj) = f#(xj). Então, existe um (único) homomorsmo φ : π1(K) → π1(M1) tal que

φ(xj) = wj. É claro que φ é um levantamento de f# ao longo de l#. Pelo Teorema 7.5, f é

livre de raízes se, e somente se, f#2 é trivial. ¥

Outra prova para esta proposição pode ser elaborada utilizando um Teorema de Wall (veja [1], página 120), que arma que todo 2-complexo conexo e nito com grupo fundamental livre é homotopicamente equivalente a um bouquet nito de esferas 1- e 2-dimensionais.

Outra prova para a Proposição 7.7: Pelo Teorema de Wall citado, K é homotopicamente equivalente a um bouquet nito de esferas 1- e 2-dimensionais. Seja L = L1∨ L2 tal bouquet,

sendo L1 um bouquet de 1-esferas e L2 um bouquet de 2-esferas. Seja ψ : L → K uma

equivalência de homotopia. Então, pelo Lemma 1.4, µ(f) = 0 se, e somente se, µ(f ◦ ψ) = 0. Agora, é claro que Lh2i = L2 (conra denição no parágrafo que antecede a Proposição 3.19).

Então, pela Proposição 3.19, µ(f) = 0 se, e somente se, µ(i ◦ ψ ◦ f) = 0, onde i : L2 ֒→ L

é a inclusão natural. Agora, se π2(M ) = 0, então é claro que i ◦ ψ ◦ f é homotópica a uma

aplicação constante. E portanto, µ(f) = 0. Se, por outro lado, π2(M ) 6= 0, então M é ou a

esfera S2 _{ou o plano projetivo RP}2_{. Neste caso, é claro que µ(i ◦ ψ ◦ f) = 0 se, e somente se,}

(i ◦ ψ ◦ f )#2 : π2(L2) → π2(M ) é trivial. É também claro que este último fato ocorre se, e

somente se, f#2 : π2(K) → π2(M ) é o homomorsmo trivial.

Proposição 7.8. Seja K um 2-complexo com grupo fundamental nito. Uma aplicação con- veniente f : K → M é livre de raízes se, e somente se, f# e f#2 são triviais.

Prova: Como π1(M1) é um grupo livre e π1(K) é nito, o único homomorsmo de π1(K)

em π1(M1) é o trivial. Logo, f# : π1(K) → π1(M ) possui levantamento ao longo de l# :

π1(M1) → π1(M ) se, e somente se, f# é trivial. Segue-se do Teorema 7.5 que f é livre de

raízes se, e somente se, f#e f#2 são ambos triviais. ¥

A parte somente se desta proposição é verdadeira ainda que f não seja conveniente.

Corolário 7.9. Seja K um 2-complexo com grupo fundamental nito e seja M uma superfície fechada, S2_{6= M 6= RP}2_{. Toda aplicação f : K → M é livre de raízes.}

Prova: Note que π2(M ) = 0; assim toda aplicação f : K → M é conveniente (veja Observação

7.3) e M é um complexo K(π1(M ), 1) nito. É bem sabido que se G é um grupo que contém

um subgrupo de torção, então todo complexo K(G, 1) é innito (veja Proposição II.3 de [30]). Portanto, o grupo fundamental π1(M ) é livre de torção. Logo Hom(π1(K); π1(M )) = 0 e o

resultado segue da proposição anterior. _¥

Este corolário não é verdadeiro, em geral, se M é ou a esfera ou o plano projetivo. Para exemplicar isto, considere as aplicações identidades da esfera e do plano projetivo. Apesar do grupo fundamental destes dois espaços serem nitos, tais aplicações não são livre de raízes.

O resultado da Proposição 7.8 pode não se aplicar nos casos em que π1(K) não é um

grupo nito. Por exemplo, se Π é o grupo cíclico innito, então a esfera 1-dimensional S1

é um complexo K(Π, 1) e toda aplicação de S1 _{em RP}2 _{é uma aplicação conveniente, pela}

Observação 7.3. Agora, apesar da aplicação f : S1 _{→ RP}2_{, que identica a esfera S}1 _{ao 1-}

esqueleto de RP2_{, ser livre de raízes, o homomorsmo induzido por ela em grupos fundamentais}

é idêntico ao epimorsmo canônico Z → Z2.

Agora, vamos considerar casos em que o grupo fundamental de K é uma soma direta da forma F ⊕ T com F um grupo abeliano livre e T um grupo de torção. Sendo K um complexo nito, isto ocorre, por exemplo, se π1(K)é um grupo abeliano.

Diremos que um subgrupo H de um grupo G é cíclico (em G) se H ou é trivial ou pode ser gerado por um só elemento.

Suponha que seja A um grupo com subgrupo de torção T e que o quociente A/T seja abeliano livre. Então A ≈ F ⊕ T , onde F é o quociente A/T . Um homomorsmo arbitrário de grupos h : A → B dá origem a dois homomorsmo de grupos

hF : F → B e hT : T → B

de maneira natural: Para cada x ∈ F, denimos hF_{(x) = (h ◦ Λ)(x, 0) e, para cada y ∈ T ,}

denimos hT_{(y) = (h ◦ Λ)(0, y), onde Λ : F ⊕ T ≈ A.}

Estas construções e notações são assumidas nos resultados doravante apresentados. É conhecido como Teorema de Nielsen-Schreier o seguinte importante resultado:

Todo subgrupo de um grupo livre é livre.

Uma prova para isto, que pode ser encontrada na página 103 de [31], segue-se do fato que todo subgrupo de um grupo livre pode ser realizado como o grupo fundamental de um grafo. É uma conseqüência imediata do Teorema de Nielsen-Schreier que se dois elementos de um grupo livre comutam, então eles são potências de um terceiro. Sendo assim, segue-se que:

Todo subgrupo abeliano não trivial de um grupo livre é cíclico innito. Em decorrência disso, podemos demonstrar o seguinte lema:

Lema 7.10. Seja A = F ⊕ T um grupo, com T o seu subgrupo de torção e F abeliano livre. Seja h : A → B um homomorsmo de grupos. Seja ξ : F → B um epimorsmo de um grupo livre F sobre B. Existe um levantamento φ : A → F de h ao longo de ξ se, e somente se, hF_{(F) é cíclico e h}T_{(T ) é trivial.}

Prova: Como F é livre, é óbvio que hT _{tem um levantamento φ}T _{: T → F ao longo de ξ se,}

e somente se, hT _{é trivial e, neste caso, também φ}T _{é trivial.}

Agora, se existe um levantamente φF _{: F → F de h}F _{ao longo de ξ, então a imagem}

φF(F) é um subgrupo abeliano livre de F e, assim, é cíclico. Portanto, como hF = ξ ◦ φF, o subgrupo hF_{(F)de B também é cíclico.}

7.2 Algumas conseqüências do Teorema 7.5 111

Reciprocamente, suponha que hF_{(F)seja cíclico e seja ϑ ∈ h}F_{(F)um seu gerador. Seja}

po posto de F e seja F′ o grupo abeliano livre gerado por u1, . . . , up. Existe um isomorsmo

η : F′ _{→ F tal que (h}F _{◦ η)(u}

1) = ϑ e (hF ◦ η)(ui) = 0 para cada 1 < i ≤ p. Como ξ é

um epimorsmo, podemos selecionar w ∈ F tal que ξ(w) = ϑ. Seja φ′ _{: F}′ _{→ F o único}

homomorsmo de F′ _{em F satisfazendo φ}′_(u

1) = w e φ′(ui) = 11para cada 1 < i ≤ p. Agora,

dena φF _{: F → F pela composição φ}F _{= φ}′_{◦ η}−1_{, onde η}−1 _{: F → F}′ _{denota o isomorsmo}

inverso de η. É óbvio que φF _{é um levantamento de h}F _{ao longo de ξ.}

¥

Proposição 7.11. Seja f : K → M uma aplicação conveniente com π1(K) = F ⊕ T, onde

F é abeliano livre e T é um grupo de torção. Temos:

1. Se S2_{6= M 6= RP}2_{, então f é livre de raízes se, e somente se, f}F

#(F) é cíclico.

2. Se M = S2_{, então f é livre de raízes se, e somente se, f}

#2 é trivial.

3. Se M = RP2_{, então f é livre de raízes se, e somente se, f}

# e f#2 são ambos triviais.

Prova: Faremos a prova de cada asserção separadamente, apesar dos argumentos comuns. 1. Temos π2(M ) = 0 e π1(M ) livre de torção. Logo, os homomorsmos f#2 : π2(K) →

π2(M )e f#T : T → π1(M )são ambos triviais. Neste caso, o Teorema 7.5 implica que f é livre

de raízes se, e somente se, o homomorsmo fF

# : F → π1(M ) admite um levantamento ao

longo do homomorsmo l#: π1(M1) → π1(M ). Pelo lema anterior, isto ocorre se, e somente

se, o subgrupo imagem fF

#(F) é cíclico.

2. Como o homomorsmo f#: π1(K) → π1(S2)é trivial e, por isso, admite levantamento

óbvio ao longo de l#, segue-se do Teorema 7.5 que f é livre de raízes se, e somente se, o

homomorsmo f#2 é trivial.

3. Certamente fF

#(F) é cíclico e, assim, f#F tem um levantamento ao longo de l#, pelo

Lema 7.10. Ainda por este lema, existe um levantamento φ de f#ao longo de l#se, e somente

se, fT

# é trivial. O resultado segue do Teorema 7.5. _¥

Desta proposição, podemos extrair um resultado particular para o acaso em que o domínio da aplicação considerada é o toro T.

Corolário 7.12. Uma aplicação conveniente f : T → M do toro em uma superfície fechada é livre de raízes se, e somente se, f# é não injetivo.

Prova: Se f# é injetivo, então é claro que f#π1(T) não é cíclico e, pela Proposição 7.11,

f não é livre de raízes. Agora, note que f#2 : π2(T) → π2(M ) é trivial e suponha que f#

seja não injetivo. Então, como π1(T) ≈ Z ⊕ Z, temos que f#π1(T) = f_#F(F) é cíclico. Pela

Proposição 7.13. Seja K um 2-complexo asférico e seja T1 o subgrupo de torção de H1(K).

Se Hom(T1; Z2) = 0 então toda aplicação conveniente de K em RP2 é livre de raízes.

Prova: Primeiro, lembramos que um 2-complexo K (nito e conexo) é asférico se, e somente se, π2(K) = 0 (veja [1] para detalhes). Assim, para qualquer aplicação f : K → RP2, o

homomorsmo f#2 é trivial. Agora, seja ρ : π1(K) → H1(K)o homomorsmo de Hurewicz

(o homomorsmo abelianização). Como π1(RP2)é um grupo abeliano, existe um único homo-

morsmo f⊛: H1(K) → π1(RP2)tal que f⊛◦ ρ = f#. Por hipótese, f⊛T1 é trivial. Além disso,

é claro que a imagem de fF1

⊛ é um grupo cíclico, onde F1é o subgrupo abeliano livre de H1(K)

tal que H1(K) ≈ F1⊕ T1. Pelo Lema 7.10, existe um homomorsmo φ′ : H1(K) → π1(RP1)

tal que l#◦ φ′ = f⊛. Dena φ : π1(K) → π1(RP1)pela composição φ = φ′◦ ρ. Então φ é um

levantamento de f# ao longo de l#. Pelo Teorema 7.5, f é livre de raízes. ¥