Algumas Considerações

A solução numérica de problemas físicos, descritos por equações diferenciais, tem na sua precisão uma influência direta da forma de discretização do espaço físico. Tal discretização consiste na geração de uma malha através da qual são distribuídos pontos no espaço contínuo, nos quais os valores numéricos da função devem ser obtidos (Mohebbi, 2014). Problemas de escoamento de fluidos são característicos desta situação.

A distribuição de pontos no domínio físico pode ser feita a partir de malhas que não se ajustam ao corpo ou a partir de malhas que se ajustam ao corpo ( body-fitted grid), Sonar (1989).

2 A Malha Computacional 23 Nos problemas que envolvem geometrias complexas, a malha deve ser gerada de maneira a se adaptar às complexidades, sendo importante ressaltar que, em sistemas de equações diferenciais, as condições de contorno têm influência dominante (Thompson et al., 1974, Hirsch, 2007). Assim, deve-se gerar a malha que se ajusta ao corpo (body-fitted grid) e, para tal, deve ser usado o sistema coordenado generalizado coincidente com as fronteiras (boundary-fitted coordinates). Quando essas malhas são utilizadas em problemas de escoamentos de fluidos, os corpos físicos inseridos no campo de escoamento são partes da malha, ou seja, todos os pontos localizados na superfície desses corpos são pontos da malha. Uma malha cartesiana, na qual as linhas são linhas retas ortogonais, é uma malha que não se ajusta aos corpos de geometria complexa inseridos no campo de escoamento.

A variação suave da densidade de pontos distribuídos no domínio e a maior densidade de pontos nas regiões onde são esperados os maiores gradientes da função são características desejáveis, tanto para as malhas, quanto para a aplicação do MQDL-FBR. Além disso, as linhas da malha devem se aproximar da ortogonalidade.

Malhas que se ajustam aos corpos podem ser classificadas em não-estruturadas e não-estruturadas. As não-não-estruturadas apresentam como desvantagem o fato de que cada ponto só pode ser identificado pelos pontos vizinhos a ele, uma vez que não existe uma ordenação na estrutura da malha. No entanto, para algumas geometrias complexas, a sua geração é mais simples do que a geração da malha estruturada.

Para o desenvolvimento do programa computacional, as malhas estruturadas apresentam vantagens com a ordenação dos elementos. Nessas malhas, em função da orientação das linhas, as diferentes configurações são denominadas utilizando letras com as quais se assemelham (Siladic, 1987 e Carstens, 1988). Em alguns problemas pode ser indicada, inclusive, a combinação de diferentes configurações. As Figuras 2.1, 2.2 e 2.3 ilustram respectivamente as configurações tipo “H”, tipo “C” e tipo “O”, para a malha estruturada gerada em torno de um aerofólio NACA 0012.

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Figura 2.1: Malha curvilínea estruturada tipo “H” ajustada à fronteira de um

aerofólio NACA 0012 (Siladic, 1987)

Figura 2.2: Malha curvilínea estruturada tipo “C” ajustada à fronteira de um

aerofólio NACA 0012 (Siladic, 1987)

Figura 2.3: Malha curvilínea estruturada tipo “O” ajustada à fronteira de um

2 A Malha Computacional 25 Para a geração da malha em torno de corpos de geometria arbitrária, a malha tipo “O” apresenta-se mais interessante, por permitir uma distribuição precisa de pontos tanto na região do bordo de ataque quanto na região do bordo de fuga de configurações aerodinâmicas, como no caso de aerofólios (Hirsch, 2007).

A Figura 2.4 ilustra o mapeamento utilizado, considerando uma malha tipo “O”, em torno de um corpo de contorno suave.

Figura 2.4: Mapeamento do plano físico (malha tipo “O”) para plano computacional

(Fletcher, 1988)

O domínio físico é uma região multiplamente conexa, mas é transformado numa região simplesmente conexa, introduzindo um corte no mesmo, na geração da malha tipo “O”. Pode-se imaginar um corte do domínio, ao redor do corpo (segmento CD), sendo transformado em um retângulo, conforme ilustrado na Figura 2.5.

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Figura 2.5: Transformação do domínio físico – malha tipo “O” (Thompson et al., 1985)

As coordenadas coincidentes dos segmentos 1-2 e 3-4 do corte tornam-se fronteiras reentrantes no domínio computacional sendo, no plano transformado, as fronteiras da esquerda e da direita, respectivamente (Sorenson,1980 e Thompson et al., 1985).

Diversos métodos para a geração da malha são apresentados na literatura, podendo ser classificados em algébricos e diferenciais (Fletcher, 1988, Tannehill et al., 1997). Os métodos algébricos utilizam funções de interpolação para o cálculo das coordenadas dos nós internos e são mais simples de implementar. Apresentam como desvantagem a tendência a transmitir as informações das fronteiras para o interior do domínio, o que pode ser indesejável se as fronteiras forem descontínuas ou pouco suaves. Os métodos diferenciais utilizam sistemas de equações diferenciais, as quais estabelecem uma relação matemática entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas computacionais. São mais elaborados para implementação e utilizam maior tempo computacional. No entanto, são mais robustos e os parâmetros da malha são relativamente mais fáceis de serem controlados (Lopes et al., 2011). São amplamente utilizados em problemas de escoamento bidimensionais (Hirsch, 2007).

Dentre os métodos diferenciais, destaca-se o método diferencial elíptico, utilizado nesta Tese de Doutorado, que consiste em obter a solução de um sistema de equações diferenciais parciais elípticas, no plano físico, com condições de contorno de Dirichlet (Thompson et al., 1974, Sorenson e Steger 1977 e Sonar, 1989).

2 A Malha Computacional 27 Uma das coordenadas deve ser especificada igual a uma constante na superfície do corpo e igual à outra constante na fronteira externa do domínio físico. A outra coordenada, deve variar monotonicamente em torno do corpo. O método é utilizado para mapear o domínio físico irregular do plano xy para o domínio computacional regular do plano ξη. Apesar deste método não garantir a ortogonalidade e a conformidade da malha, o mesmo permite um bom controle dos pontos no interior da malha e fornece soluções suaves (Maliska, 1995).