Algumas Etapas do Processo de Modelagem Matemática

Desde o início deste nosso estudo, e mesmo antes disso, temos atentado para caracterizações do processo de modelagem matemática presentes em publicações no âmbito da Educação Matemática. Os autores dessas publicações, principalmente aqueles que desenvolveram algum tipo de pesquisa de campo, apoiaram-se em uma dessas caracterizações, algumas vezes tomando-a de autores

e textos já conhecidos, outras vezes criando adaptações de alguma delas, conforme seus interesses de pesquisa.

Silva (2007), por exemplo, apresenta cerca de uma dezena dessas caracterizações, as quais foram denominadas definições, com o intuito de propor em seguida uma discussão sobre ações de modelagem para a formação de professores.

Já Araújo (2002) decidiu não utilizar o termo ´definição´ mas sim ´perspectiva´, por julgar que o primeiro possui um caráter de universalidade, incompatível com o fato de existirem várias definições para modelagem matemática. Essa autora apresenta algumas perspectivas de modelagem matemática relembrando-nos que nelas “a ênfase está na utilização da matemática para o tratamento de situações reais não-matemáticas” (ARAÚJO, 2002, p.16).

A um estudo de campo, por questões práticas, metodológicas e até de referencial teórico pode ser conveniente adotar uma dessas caracterizações, definições ou perspectivas. Como bem colocou Araújo (2002), há uma multiplicidade de perspectivas de modelagem matemática e estas sofrem transformações quando utilizadas como um enfoque pedagógico. Para os nossos propósitos não se revelou essencial a adoção de nenhuma delas, embora isso não nos isente de colocar nossa visão acerca da modelagem matemática, o que fizemos no capítulo 1, uma vez que nosso interesse reside em um elemento característico presente em qualquer perspectiva de modelagem: a referência a uma realidade a ser modelada.

Optamos por olhar descrições do processo de modelagem matemática, em sua maioria inspiradas na visão tradicional sugerida pela Matemática Aplicada, o que serviu de base para nosso interesse em situar o componente realidade no referido processo. Essa escolha, como já vimos, permite-nos isolar o processo de modelagem matemática de outras práticas, como as sociais e políticas, pondo em relevo suas potencialidades epistemológicas.

Chamamos de ‘tradicional’ aquele processo advindo da Matemática Aplicada na qual a modelagem é tida como a metodologia típica de trabalho. Segundo Bassanezi (2002, p.32), “a Matemática Aplicada moderna pode ser considerada como a arte de aplicar matemática a situações problemáticas, usando como processo comum a modelagem matemática.” Esta última é caracterizada, pelo mesmo autor, na referida obra, como “um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos.” (p. 24). Por modelo matemático

entende o autor “um conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto estudado” (p. 20).

É comum encontrarmos na literatura acerca da modelagem na Educação Matemática uma descrição desse processo em etapas sendo estas caracterizadas por elementos que incluem técnicas e procedimentos que encerram em si conceitos, a nosso ver, fundamentais para o aprendizado de matemática e, mais especificamente, para o pensar matematicamente. Alguns desses conceitos são o de realidade, representação, linguagem, problema, modelo, formalização, validação.

Uma seqüência de etapas a serem seguidas no processo de modelar uma situação ou problema real exposta em (BASSANEZI, 2002) é a seguinte.

A primeira etapa é a experimentação na qual dados referentes a uma situação de interesse são coletados para posteriormente receberem um tratamento matemático. Notemos que, nesse primeiro momento, a observação e a experiência, desempenham um papel fundamental e vão direcionar as etapas posteriores. Aqui já se manifesta o caráter empirista da modelagem matemática.

A segunda etapa é a abstração e seu objetivo é obter modelos matemáticos para a situação ou problema explorados na etapa anterior. Para isso o reconhecimento de variáveis e possíveis relações entre elas, o levantamento de hipóteses e o emprego adequado de algum tipo de linguagem é que permitirão a elaboração, primeiro de um recorte daquela situação focada inicialmente e depois a elaboração sobre esse recorte de modelos matemáticos propriamente ditos.

Notemos que nesta etapa há construção de um recorte, promovido por meio da elaboração de hipóteses que realizam simplificação na situação inicial. Sobre esse recorte é que será elaborado o modelo matemático, o que sugere que ele, esse recorte, também possui um status de realidade, o que veremos em nossa discussão posterior.

A terceira etapa da descrição do processo de modelar exposta em Bassanezi, (2002) é a resolução, que envolve a manipulação do modelo matemático, uma vez que representa um problema levantado, demanda a busca por alguma solução.

Podemos dizer que esta etapa solicita conhecimentos acerca de conceitos e métodos matemáticos bem como uma habilidade relativa ao pensar matematicamente.

Na quarta etapa, denominada validação os modelos são testados de modo a verificar se os mesmos dão conta dos fenômenos observados na primeira etapa, se

as hipóteses empregadas para a produção de um recorte da situação focada inicialmente se revelaram adequadas, não produzindo simplificações excessivas, por exemplo.

A quinta e última etapa é a modificação na qual é feito um retorno à situação inicial de modo a confrontá-la com os resultados obtidos por meio da exploração do modelo matemático. Aqui poderão ser avaliadas e modificadas, se necessário, as hipóteses que geraram a representação sobre a qual o modelo foi construído.

Vemos que só nesta etapa se consolida a elaboração do modelo procurado.

Relacionamos com essa descrição do processo de modelar proposta por Bassanezi a colocação de Bean que aponta para a idéia de produção de um recorte, elaborado a partir de hipóteses e aproximações simplificadoras. A produção desse recorte é atividade essencial no processo de modelagem, servindo inclusive para diferenciá-lo de outros processos como a resolução de problemas. Segundo Bean (2001, p.53),

os aspectos que distinguem a modelagem matemática de outras aplicações de matemática são as exigências das hipóteses e das aproximações simplificadoras como requisitos na criação de modelos. As demais etapas - o problema, a resolução e a verificação da matemática, a validação da solução e a decisão – valem para qualquer tipo de solução de problema envolvendo matemática.

Concordamos com Bean no que diz respeito às exigências postas por ele.

Mais ainda, vemos na percepção e na exploração dessa etapa no processo de modelagem uma importante oportunidade para explorar a natureza interdisciplinar desse processo.

Bean (2003) apresenta uma caracterização da modelagem matemática e de cinco seus componentes, apontando alguns dos tipos de pensamento que cada um exige. Para esse autor, “as descrições de modelagem enfatizam aspectos como a motivação e a utilidade da matemática para analisar e descrever situações e problemas da vida sócio-cultural do aluno.” (p.1).

O primeiro componente da caracterização da modelagem matemática apresentada por Bean (2003) é a problematização, por meio da qual o modelador reconhece um problema, apropria-se dele formulando uma questão diretriz e objetivos para investigá-lo. A investigação será, então, o segundo componente. Ao realizá-la o modelador seleciona características do fenômeno que lhe interessam e

se mostram pertinentes na construção do modelo matemático. O que o modelador faz de fato é formular hipóteses e aproximações simplificadoras que delimitam e operacionalizam a investigação. Feito isso se procede com a formulação do modelo, no que consiste o terceiro componente dessa descrição do processo de modelagem.

Estabelecidos os parâmetros, as características e as relações entre as características do fenômeno, esses são relacionados aos conceitos, propriedades e técnicas matemáticas, o que resultará na elaboração de um modelo. O quarto componente é a verificação que envolve critérios objetivos, relativos à validação dos procedimentos matemáticos empregados, e critérios subjetivos, que atuam na decisão sobre a adequação ou não do modelo ao problema considerado. O quinto e último componente dessa descrição é o fechamento que ocorre por meio de uma ação, em resposta ao problema investigado.

Bean salienta que esses componentes são “interdependentes e interpenetram-se. No pensamento do modelador, um componente sempre pede um outro, de acordo com a dinâmica da construção do modelo”. (BEAN, 2003, p. 10) Notemos que Bean apresenta a modelagem matemática como uma atividade, reforçando essa visão dinâmica e interdisciplinar que apontamos no capítulo 1.

Anastácio (1990) também chegou a uma configuração de modelagem após um estudo por meio do qual buscou saber o que é modelagem matemática.

Segundo essa autora, a modelagem se configura como

um processo através do qual, a partir de problemas e de aspectos da realidade vivida pelos participantes do processo de ensino e aprendizagem da matemática, chega-se à construção de um modelo matemático. A aplicação de técnicas e teorias matemáticas leva a soluções que podem, ou não, ter correlatos na realidade vivida.

A questão de se trabalhar a realidade vivida parece, então como um aspecto fundamental que é necessário enfocar. [...]

A realidade é o mundo, entendido como horizonte de relações no qual o ser humano vive e se situa. (ANASTÁCIO, 1990, p.94)

Notemos que tanto para Anastácio como para Bassanezi, e também para outros autores que citaremos em seguida, o componente realidade no processo de modelagem aparece como decisivo. Para Bassanezi (2002, p. 19)

quando se procura refletir sobre uma porção da realidade, na tentativa de explicar, de entender ou de agir sobre ela – o processo usual é selecionar, no sistema, argumentos ou parâmetros considerados essenciais e formalizá-los através de um sistema artificial: o modelo.

Já Anastácio (1990, p.96) coloca-nos que

ao considerar a compreensão da realidade desde sua percepção mais particular e individual até aquela mais geral e abstrata, o trabalho de modelagem nessa realidade assim percebida será concebido num esquema em espiral. Na medida em que se avança, seguindo a trajetória desta curva, ao mesmo tempo se avança em extensão e em profundidade no trabalho que se faz.

Para Biembengut e Hein (2003) a modelagem é um meio de interação entre matemática e realidade que permite “representar uma situação ‘real’ com

‘ferramental’ matemático (modelo matemático) [e] envolve uma série de procedimentos”. (p. 13). Entre as etapas que permitem descrever esses procedimentos estão a interação, na qual é feito o delineamento de uma situação que se pretende estudar, e a matematização, onde a partir da classificação de informações, da seleção de variáveis e símbolos apropriados para descreverem relações entre elas em termos matemáticos, é formulado um problema referente àquela situação focada inicialmente. A etapa seguinte é a elaboração de um modelo matemático para a situação-problema representada.

Ubiratan D’Ambrosio, um dos precursores no debate acerca da modelagem na educação matemática brasileira, coloca-nos, em D’Ambrosio (1986), que o processo de modelagem serve de base para estratégias que visem à capacitação do indivíduo para analisar globalmente a realidade na qual ele ocupa uma posição e age. Por meio da modelagem definem-se estratégias de ação sobre essa realidade.

Numa esquematização da estratégia que é considerada a base para o processo de modelagem, apresentada por esse autor, a matemática é inserida como linguagem. Essa estratégia “dá ao homem a condição de exercer seu poder de análise da realidade, como primeiro passo para influir nessa realidade”.

(D’AMBROSIO, 1986, p. 64). Nessa esquematização parte-se da realidade que, tomada como objeto de estudo pelo sujeito, apresenta situações que permitem a formulação de um problema real em linguagem natural. Esse problema é então reformulado em linguagem matemática para depois ser submetido a uma análise que viabilize sua solução. Uma vez encontrada a solução, esta, e a própria análise efetuada são formuladas na linguagem natural para que, num retorno à realidade da

qual se partiu, possa-se optar pela adoção da solução encontrada, pelo seu aprimoramento ou descarte, refazendo todo o processo se necessário.

Vemos também nessa descrição do processo de modelagem a realidade como elemento fundamental. Quando D’Ambrosio (1986, p. 65) afirma que “o início do processo [de modelagem] é traduzir a situação real num problema formulado em linguagem convencionada – no caso, linguagem matemática”, ele ainda não está considerando que o próprio estabelecimento da realidade, o que fornece situações que servirão de impulso para a necessidade de modelar, ainda não ocorreu; isso ele faz em seguida. Ou seja, o início do processo de modelagem ocorre antes do que D’Ambrosio sugeriu acima.

Antes da tradução da situação real para um problema formulado em linguagem matemática devemos “eliminar algumas dificuldades oferecidas pela situação real, deixando bem claro para o aluno o caráter ‘aproximativo’ que a formulação em linguagem convencionada apresenta com relação à situação real.”

(D’AMBROSIO, 1986, p. 65). O que se obterá então será uma espécie de simulação que contém uma simplificação da realidade considerada que “permite formular detalhes que seriam difíceis, quase impossíveis de serem destacados numa linguagem natural” (D’AMBROSIO, 1986, p. 65). Em função dessa simplificação, revela-se também a presença de elementos matemáticos no processo de modelagem, anteriores à tradução da situação ou problema em linguagem matemática, como relações, estruturas, regularidades.

Assim como ocorre na segunda etapa da descrição proposta por Bassanezi (2002) temos aqui que a simplificação da situação da realidade tomada inicialmente como foco de estudo resulta numa espécie de recorte, traduzido em termos de uma estrutura que contém relações consideradas relevantes.

O que D’Ambrosio sugere então como início do processo de modelagem é a elaboração de uma representação (em termos de linguagem matemática), de um recorte da realidade considerada inicialmente. Para a produção desse recorte utilizamos hipóteses e aproximações simplificadoras, adotamos fundamentos teóricos, agimos segundo nossas concepções, segundo as teorias que sustentam nossa visão de mundo, ou seja, construímos um “exemplo que representa o papel de realidade” (BACHELARD, 2000, p. 12). Isso nos sugere, seguindo Bachelard, que é possível visualizar no componente realidade no processo de modelagem algo

construído e sobre o que se formulará um problema que será abordado e resolvido matematicamente.

As descrições apresentadas trazem componentes básicos que podemos encontrar em várias outras descrições elaboradas e adaptadas. Podemos dizer que essas descrições também trazem momentos que podemos citar como característicos do processo de modelagem e, como já mencionamos, a construção(!) de uma realidade a ser modelada é um desses momentos.

Em geral, do ponto de vista metodológico, descrições do processo de modelagem matemática empregadas em estudos no âmbito da Educação