1. De um modo geral, os estimadores “assintoticamente centrados” do ´ındice de valores extremos apresentam um comportamento melhor que o do estimador de Hill. As Figuras apresentam traject´orias amostrais do valor m´edio dos novos esti- madores, mais est´aveis junto ao verdadeiro valor do ´ındice de valores extremos. Verifica-se tamb´em, para um conjunto de n´ıveis, que o erro m´edio quadr´atico dos estimadores CG e M L ´e inferior ao erro m´edio quadr´atico m´ınimo do estima- dor de Hill. Estes resultados verificaram-se tamb´em quando ρ = −2, um valor pertencente `a regi˜ao de valores ] − ∞; −1[, onde o estimador de Hill costuma apresentar um bom desempenho.
2. Num problema pr´atico n˜ao se conhece o verdadeiro valor do parˆametro de segunda ordem ρ. Por essa raz˜ao consider´amos na simula¸c˜ao, os estimadores CG e M L, para saber se o comportamento dos estimadores se altera quando, em vez de se utilizar o verdadeiro valor de ρ, este ´e estimado. Nos exemplos apresentados, a estima¸c˜ao do parˆametro de segunda ordem afasta um pouco a traject´oria amostral do valor m´edio do verdadeiro valor e acarreta um ligeiro aumento do erro m´edio quadr´atico.
4.5. ALGUNS COMENT ´ARIOS E CONCLUS ˜OES 87
3. No modelo Fr´echet (Fig. 4.8, Tab. 4.4), e quando se admite o parˆametro de se- gunda ordem ρ conhecido, precisamos praticamente de todas as e.o. para atingir o n´ıvel ´optimo de CG(λ). Isto sugere que CG(λ) praticamente n˜ao tem compo- nente de vi´es. Quando se estima o parˆametro de segunda ordem, ρ, o estimador M L ´e o que apresenta um erro m´edio quadr´atico mais pequeno (no n´ıvel ´optimo). 4. Nas Figuras referentes ao modelo Burr (Figs. 4.2, 4.3 e 4.4), o padr˜ao do valor m´edio de M L(ρ) coincide com o ´ındice de valores extremos e o do erro m´edio quadr´atico ´e estritamente decrescente. Isto sugere que, neste modelo, este estima- dor n˜ao tem qualquer termo de vi´es, como j´a tinha sido referido na Observa¸c˜ao 3.3.1. No entanto, quando estimamos o parˆametro de segunda ordem, ρ, nem sempre ´e M L(bρ) o mais eficiente (Tab. 4.4).
5. Para modelos com ρ pr´oximo de 0, a regi˜ao mais problem´atica para o estimador de Hill, o padr˜ao do gr´afico do erro m´edio quadr´atico dos novos estimadores ´e em forma de “U ”. Mesmo com a estima¸c˜ao do parˆametro de segunda ordem, os estimadores aqui considerados s˜ao mais eficiente que o estimador de Hill, n˜ao s´o quando considerados ambos nos respectivos n´ıveis ´optimos, mas tamb´em numa vasta regi˜ao de valores de k.
Cap´ıtulo 5
Redu¸c˜ao directa do vi´es do
estimador de Hill
Tal como referimos no cap´ıtulo anterior, existem muitos trabalhos relativos `a redu¸c˜ao de vi´es na estima¸c˜ao semi-param´etrica do ´ındice de valores extremos positivo, γ. Muitos dos estimadores introduzidos nesses trabalhos tˆem componente dominante de vi´es nula e variˆancia assint´otica superior `a do estimador de Hill. Para ρ > −2, isto ´e, na situa¸c˜ao onde o estimador de Hill n˜ao se comporta t˜ao bem, apresentam geralmente erro m´edio quadr´atico inferior ao do estimador de Hill. Este comportamente deve-se `a redu¸c˜ao de vi´es, j´a que a variˆancia ´e maior que a do estimador de Hill. Neste cap´ıtulo estamos interessados na estima¸c˜ao da componente dominante do estimador de Hill, de modo a removˆe-la de dois modos distintos (sem aumentar a variˆancia). Come¸camos por introduzir, na sec¸c˜ao 5.1, os dois estimadores de vi´es reduzido e na sec¸c˜ao 5.2 abordamos o comportamento assint´otico dos novos estimadores, sob condi¸c˜oes de varia¸c˜ao regular de terceira ordem. Se os parˆametros de segunda ordem forem estimados num n´ıvel adequado, k1, de ordem superior `a do n´ıvel k utilizado no estimador de Hill, a variˆancia assint´otica dos novos estimadores n˜ao se altera e mant´em-se igual `a do estimador de Hill, isto ´e, igual a γ2, para n´ıveis adequados k. De modo a ilustrar o comportamento, para amostras de dimens˜ao finita, dos novos estimadores, apresentamos na sec¸c˜ao 5.3 resultados de simula¸c˜ao atrav´es do m´etodo de Monte Carlo. Procedemos ainda, por simula¸c˜ao, `a sua compara¸c˜ao com o cl´assico estimador de Hill.
5.1
Novos estimadores de vi´es reduzido
Vamos admitir neste cap´ıtulo, que F pertence `a classe de Hall (2.62), isto ´e, que admite uma cauda do tipo,
1 − F (x) = Cx−1/γ(1 + Dxρ/γ + Ex2ρ/γ+ o(x2ρ/γ)), x −→ ∞,
onde γ > 0, ρ < 0, C > 0, D 6= 0 e E 6= 0. Consequentemente a fun¸c˜ao A, pre- sente nas condi¸c˜oes de varia¸c˜ao regular de segunda e terceira ordem, (2.41) e (2.43), ´e assintoticamente equivalente a,
A(t) = γ β tρ. (5.1)
De acordo com a Proposi¸c˜ao 3.2.1, para k interm´edio verificando (2.17) e admitindo a validade da condi¸c˜ao de varia¸c˜ao regular de terceira ordem (2.43), o estimador de Hill admite a seguinte representa¸c˜ao em distribui¸c˜ao
H(k)= γ +d √γ kZ (1) k + A(n/k) 1 − ρ + A(n/k)B(n/k) 1 − ρ − ρ′ (1 + op(1)), onde Zk(1) ´e uma v.a. assintoticamente normal padr˜ao.
A componente dominante de vi´es do estimador de Hill, A(n/k)/(1 − ρ), pode ser estimada atrav´es de H(k) bβ(n/k)bρ/(1 − bρ), onde bρ e bβ s˜ao estimadores adequados de ρ e β, respectivamente. De modo a remover o termo dominante de vi´es, vamos considerar os estimadores, Hb β,bρ(k) := H(k) 1 − b β 1 − bρ n k bρ! (5.2) e Hb β,bρ(k) := H(k) exp − b β 1 − bρ n k ρb! (5.3) introduzidos e estudados em Caeiro et al. [7], sob condi¸c˜oes de varia¸c˜ao regular de segunda ordem. A estima¸c˜ao dos parˆametro de segunda ordem β e ρ ser´a feita exter- namente num n´ıvel mais elevado k1.
5.2. DISTRIBUIC¸ ˜AO ASSINT ´OTICA 91
Observa¸c˜ao 5.1.1. Como exp (−x) = 1 − x + o(x), x −→ ∞, os dois estimadores apenas s˜ao assintoticamente equivalentes sob condi¸c˜oes de primeira ou segunda ordem. Como se admite uma condi¸c˜ao de varia¸c˜ao regular de terceira ordem h´a uma diferen¸ca no termo dominante de vi´es assint´otico e portanto os estimadores n˜ao s˜ao assintotica- mente equivalentes.