Alguns outros aspectos relevantes

Um ponto de extrema relevˆancia ´e a existˆencia de um crit´erio semelhante na literatura. A proposta apresentada em [Sala-Alvarez & V´azquez-Grau, 1997] tamb´em tem como meta for¸car a fdp do sinal na sa´ıda do equalizador ao mais pr´oximo poss´ıvel da solu¸c˜ao desejada. Vale ressaltar que, embora a proposi¸c˜ao do crit´erio/algoritmo FP e o crit´erio descrito em [Sala-Alvarez & V´azquez-Grau, 1997] tenham sido realizadas de maneira independente, h´a v´arias semelhan¸cas entre os dois. Ambos utilizam como meta a obten¸c˜ao de sinais que obede¸cam a uma densidade de probabilidade adequada. A maior diferen¸ca entre eles ´e na obten¸c˜ao do algoritmo decorrente do crit´erio. Enquanto o FPC considera o valor instantˆaneo para a aproxima¸c˜ao estoc´astica, o algoritmo em [Sala-Alvarez & V´azquez-Grau, 1997] necessita de um bloco de amostras para estima¸c˜ao dos valores m´edios das grandezas envolvidas e uma fun¸c˜ao de regenera¸c˜ao para fornecer uma estimativa recursiva da fdp dos dados, considerando que o ru´ıdo ´e gaussiano. Al´em disto, [Sala-Alvarez & V´azquez-Grau, 1997] considera que a escolha do parˆametro σ2

r n˜ao tem impacto consider´avel no desempenho do algoritmo, o que

difere totalmente das conclus˜oes sobre o FPC. Embora as estruturas de ambos os crit´erios sejam bastante similares, os algoritmos derivados de cada um deles ´e bastante diferente.

De fato, crit´erios que tˆem por base a otimiza¸c˜ao da entropia, atrav´es de estruturas auto-organiz´aveis, apresentam um termo relativo `a variˆancia da vari´avel cuja entropia deseja-se otimizar. Dentre outras quest˜oes, a escolha do parˆametro σ2_r implica num melhor controle da otimiza¸c˜ao da entropia, realizada atrav´es de uma regra de aprendizado anti-Hebbiana [Schraudolph, 1995].

Esta observa¸c˜ao vem ao encontro do fato de que o parˆametro σ2

r atua como um “regulador”

do fator de passo, j´a que este ´e normalizado por 1

σ2

r, conforme pode ser observado nas

Equa¸c˜oes (5.12) e (5.13). Assim, o fator de passo efetivo ´e dado por

µ_efet = µ

σ2

r .

Outra an´alise, previamente realizada em [Cavalcante, 2001] e posteriormente em [Cavalcante et al., 2002a], ilustra a importˆancia de σ_r2 quando compara-se o FPC com crit´erios cl´assicos de equaliza¸c˜ao.

Novamente, para possibilitar uma an´alise comparativa entre diferentes crit´erios, faz-se apelo `a teoria da classifica¸c˜ao [Duda & Hart, 1973]. Ao tentar-se unificar as abordagens, uma das maneiras pass´ıveis de utiliza¸c˜ao ´e encontrar uma fun¸c˜ao de referˆencia que preserve as caracter´ısticas do sinal. No caso do FPC esta fun¸c˜ao de referˆencia ´e o modelo param´etrico Ψ(y). Desta forma, pode-se utilizar funcionais que s˜ao decorrentes da aplica¸c˜ao da medida de similaridade entre fun¸c˜oes, dada pela Equa¸c˜ao (5.7), e verificar as diferen¸cas entre as fun¸c˜oes de referˆencia.

Ent˜ao, para crit´erios como o CM e o crit´erio de Sato, pode-se escrever as seguintes fun¸c˜oes param´etricas que tˆem o papel da fun¸c˜ao de referˆencia:

• fCM(y, w);

• fSato(y, w).

Logo, utilizando o mesmo crit´erio dado pela Equa¸c˜ao (5.7) tem-se, para o crit´erio CM, que:

J_CM(w) =− {ln [f_CM(y, w)]} , (5.39)

que sabe-se ser igual a

J_CM(w) = .
|y|2− ρ₂2 /

. (5.40)

Igualando-se ent˜ao as Equa¸c˜oes (5.39) e (5.40), tem-se a seguinte fun¸c˜ao de referˆencia:

f_CM(y, w) =− exp&
|y|2− ρ₁2 '

Para o crit´erio de Sato, tem-se que [Haykin, 1996]:

J_Sato(w) = (ρ₁· sign[y] − y)2 , (5.42)

em que ρ₁ = {a

2_(n)}

{a(n)}. Logo, atrav´es do mesmo desenvolvimento realizado para o crit´erio

CM, a fun¸c˜ao de referˆencia para o crit´erio de Sato ´e dada por:

f_CM(y, w) =− exp(ρ₁· sign[y] − y)2. (5.43)

A partir das Equa¸c˜oes (5.41) e (5.43), pode-se ver que as fun¸c˜oes de referˆencia desses algoritmos cl´assicos s˜ao casos particulares do FPC, uma vez que as fun¸c˜oes apresentam o mesmo tipo de estrutura (exponencial). A diferen¸ca est´a no n´umero de kernels3 que s˜ao considerados e como o sinal de sa´ıda ´e ponderado na fun¸c˜ao. No caso do FPC, o n´umero de

kernels ´e igual ao n´umero de s´ımbolos do alfabeto da modula¸c˜ao e as caracter´ısticas do sinal s˜ao extra´ıdas a partir da utiliza¸c˜ao da fun¸c˜ao exponencial e tamb´em do valor quadr´atico. No caso dos crit´erios CM e de Sato, o n´umero de kernels ´e menor que o n´umero de s´ımbolos e as informa¸c˜oes do sinal s˜ao extra´ıdas, respectivamente, pelo valor quadr´atico e m´odulo do sinal de sa´ıda. Esta diferen¸ca entre o tipo de caracter´ıstica do sinal na sa´ıda do equalizador que cada crit´erio considera ser´a discutida em maiores detalhes no cap´ıtulo seguinte.

Para efeito de diferencia¸c˜ao entre os crit´erios, comparando-se as fun¸c˜oes de referˆencia dos crit´erios CM e de Sato com a fun¸c˜ao de referˆencia Φ(y, w, σ_r2) do FPC, observa-se que este ´ultimo possui um grau de liberdade a mais que os outros crit´erios. Algumas simula¸c˜oes comparativas dos valores logar´ıtmicos da fun¸c˜ao de referˆencia Φ(y, w, σ2

r) para v´arios valores

de σ_r2, e das fun¸c˜oes f_CM e f_Sato, para uma modula¸c˜ao BPSK, podem ser visualizadas na Figura 5.9.

3_{Kernel ´e uma nota¸c˜ao estat´ıstica para a fun¸c˜ao de base radial gaussiana, que possui as mesmas}

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 2 0.12 r σ = 2 0.2 r σ = 2 0.29 r σ = 2 _0.5 r σ = y L o g ar it m o f un ção d e re fer ên cia f_Sato f_CM

Figura 5.9: Compara¸c~ao entre fun¸c~oes de refer^encia para os crit´erios de Sato, CM e FP.

Evidencia-se assim mais uma vez a importˆancia do parˆametro σ2

r para o crit´erio FPC. Com

a varia¸c˜ao do parˆametro ´e poss´ıvel atingir o desempenho dos crit´erios CM e de Sato, bem como melhorar a pr´opria recupera¸c˜ao dos sinais atrav´es de uma sele¸c˜ao adequada do valor de σ_r2.

Uma quest˜ao interessante de ser ao menos mencionada ´e a possibilidade da verifica¸c˜ao de uma rela¸c˜ao do FPC com o crit´erio CM por uma abordagem indireta. Isto ´e poss´ıvel devido `

a existˆencia de um limite superior do funcional de Wiener com o crit´erio CM, como mostrado em [Suyama, 2003]. Entretanto, este t´opico n˜ao est´a no escopo da tese e ´e deixado apenas como indica¸c˜ao para verifica¸c˜ao futura.

Dentre as v´arias caracter´ısticas do FPC, uma das mais destacadas se relaciona a sua capacidade de for¸car a sa´ıda do equalizador a ter a mesma fdp de um sinal idealmente equalizado. Deste modo, pode-se enxergar o crit´erio como sendo uma estimativa da densidade de probabilidade desejada, o que permite utilizar algumas t´ecnicas estat´ısticas para tal finalidade. Este t´opico ´e abordado na se¸c˜ao seguinte.