Aliasing e o teorema da amostragem

Amostragem é o processo de redução de um sinal contínuo a um sinal discreto. O critério para uma boa amostragem é que a informação contínua possa ser satisfatoriamente reconstituída após a discretização [76]. A discretização do sinal nas MMC é realizada no controlador, que converte os sinais contínuos gerados nos transdutores do sistema de apalpação e das escalas da MMC em um único sinal.

Se o sinal original é limitado em sua largura de banda, então existe uma freqüência máxima (ou comprimento de onda mínimo) presente no sinal. Nesse caso, o teorema da amostragem de Nyquist- Shannon define um limite mínimo para a freqüência de amostragem23 (fs), igual ao dobro da máxima freqüência (fmax) contida

no sinal [76], conforme Equação 9. A freqüência de Nyquist (fN) é

definida como metade de freqüência de amostragem.

max

2 f

f_s ≥ (Equação 9)

Se uma freqüência de amostragem menor que aquela definida pelo teorema da amostragem for utilizada, o sinal digitalizado sofrerá uma distorção denominada de aliasing (Figura 33). O aliasing faz com que uma senóide com um comprimento de onda curto (alta freqüência) pareça ser uma onda com comprimento de onda mais longo (baixa freqüência). Freqüências acima da freqüência de Nyquist serão “espelhadas” em torno desta.

Um ponto importante a ser considerado é que os sinais geralmente apresentam energia acima da maior freqüência de interesse e/ou contém ruído (que invariavelmente apresenta ampla largura de

23 _{Em perfis retilíneos, o teorema da amostragem pode ser adaptado ao intervalo de} amostragem (ou passo), que deve ser menor ou igual à metade do mínimo comprimento de onda presente no perfil.

banda). Além disso, os sistemas de medição apresentam, de modo geral, limitação na taxa de amostragem. Dessa forma, para evitar o aliasing, é necessário limitar artificialmente a banda do sinal antes de sua discretização.

Figura 33 – Aliasing (onde A é o sinal original, B é o sinal com aliasing, C é o intervalo de amostragem). Fonte: [77].

As especificações técnicas que definem os operadores de especificações de forma(ISO/TS 12780-2 [77], ISO/TS 12781-2 [78], ISO/TS 12180-2 [79] e ISO/TS 12181-2 [80]) mencionam haver muitas maneiras de conseguir essa limitação de banda, sendo as mais comuns através da filtragem mecânica, do uso de filtros analógicos, do uso filtros digitais; ou uma combinação desses. Na prática, a filtragem mecânica não impede a presença de ruídos eletrônicos originados no sistema de aquisição ou vibrações provenientes do ambiente. Com relação aos filtros digitais, estes somente podem atuar após a aquisição, quando o aliasing já ocorreu. Assim, o único modo de efetivamente evitar a ocorrência do aliasing é passando o sinal por um filtro analógico (denominado filtro anti-aliasing) antes da amostragem [76,81].

A especificação técnica ISO/TS 12780-2 (e demais) assume que freqüências acima do ponto de transmissão de 0,02% de um filtro Gaussiano linear podem ser desprezadas. Desse modo, a freqüência mínima de amostragem seria de sete vezes a freqüência de corte do filtro digital (fc) para se considerar que não ocorre aliasing. Entretanto, para

que essa condição se verifique, o sinal deve estar limitado em sua banda de modo que não carregue nenhuma freqüência acima da freqüência de Nyquist (fmax < fN = 3,5fc). Caso os filtros anti-aliasing tivessem

característica de transmissão ideal tipo degrau (brick-wall), a freqüência de corte do mesmo poderia ser igual à freqüência de Nyquist (fca,ideal = 3,5fc).

Como os filtros analógicos possuem característica de transmissão que se afastam da ideal, a freqüência de Nyquist efetiva deveria ser

deslocada para valores acima da freqüência de rejeição (stopband

frequency, fstop) do filtro anti-aliasing [76]. Entretanto, como o filtro

digital também irá atenuar algumas freqüências espelhadas em torno da freqüência de Nyquist, esta última pode ser definida como a média entre a freqüência de rejeição do filtro anti-alising e a freqüência 3,5fc. A

Figura 34 ilustra essa situação.

1 0 am pl it ude s freqüências (log) sinal

filtro anti-aliasing ideal filtro anti-aliasing real filtro digital 2 5 , 3 c stop N f f f = +

Figura 34 – Aumento da freqüência de Nyquist devido ao comportamento não ideal de um filtro anti-aliasing real, e o uso do filtro digital. Fonte: Autor.

Para definir a freqüência de rejeição, devem ser determinados a mínima atenuação requerida nessa freqüência (de modo que as freqüências acima da mesma não sejam detectáveis de acordo com a resolução do conversor A/D), e o valor da freqüência de corte do filtro

anti-aliasing (fca,real). Quanto mais íngreme for a característica de

transmissão do filtro anti-aliasing, mais próximas serão as duas freqüências. A freqüência de corte do filtro anti-aliasing, por sua vez, depende do nível de aliasing que será aceito (geralmente, se considera que deva ser menor que o erro de quantização do conversor A/D), e da maior freqüência de interesse, a qual não deve ser significativamente atenuada [76].

Um estudo realizado procurou avaliar a ocorrência do aliasing em máquinas de medir por coordenadas [82]. O estudo utilizou um padrão de múltiplas ondas24, o qual foi medido em equipamentos de um mesmo fabricante. A freqüência de corte do filtro digital25 foi definida a priori (_ωc = 50 OPR), e a partir disso, o padrão de múltiplas ondas foi

medido com duas freqüências de amostragem (número de pontos) distintas: _ωs,1 = 3368 OPR e ωs,2 = 458 OPR. Ambas as estratégias

24 _{Diâmetro externo d = 150 mm, contendo freqüências dominantes de 5, 15, 50, 150 e} 500 OPR, cada qual com amplitude nominal A = 2,5 µm.

satisfazem a condição de sete pontos por onda na freqüência de corte, de acordo com as especificações ISO/TS 12780-2 (e demais). Os resultados são apresentados na Figura 35.

0 0.03 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 180 0 perfil de circularidade (n = 3368)

RONt: 0.0098 mm filtro: 50 UPR 10 0 101 102 103 0 0.5 1 1.5 2 2.5x 10 -3 _periodograma freqüência [OPR] am pl itud e [ m m] 0 0.03 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 180 0 perfil de circularidade (n = 458)

RONt: 0.0131 mm filtro: 50 UPR 10 0 101 102 103 0 0.5 1 1.5 2 2.5x 10 -3 _periodograma freqüência [OPR] am pl itud e [ m m]

Figura 35 – Medição de um padrão de múltiplas ondas em uma MMC. Perfis extraídos em verde, perfis filtrados em azul. Perfil acima medido com 3368 pontos (ωN = 1684 OPR), e abaixo, com 458 pontos (ωN = 229 OPR), para o qual se pode verificar a ocorrência de aliasing. Fonte: Adaptada de [82].

Pelos resultados, pode-se perceber que as MMC avaliadas não possuem filtro anti-aliasing para limitação da largura de banda, e dessa forma, no segundo caso, o critério definido pelo teorema da amostragem não foi atendido. Como se pode notar, o uso do filtro digital na freqüência de corte predefinida não foi capaz de eliminar os efeitos provocados pelo aliasing. Desse modo, pode-se concluir que o critério de um mínimo de sete pontos por onda na freqüência de corte pode não ser condição suficiente para evitar os erros provocados pelo aliasing, principalmente quando não houver um filtro anti-alising prévio à etapa de amostragem no controlador.