Alimentadores

Fontes de corrente

Os modelos baseados em fontes de corrente s˜ao bastante utilizados em an- tenas filamentares, antenas que sejam excitadas por antenas filamentares ou antenas alimentadas por sondas conforme mostrado na Fig. 4.2. Esse m´etodo consiste em assumir que a distribui¸c˜ao de corrente da antena filamentar ou da sonda ´e conhecida [Mit73]. Para o caso de antenas cujos elementos ali- mentados s˜ao dipolos, pode-se assumir que a distribui¸c˜ao de corrente em um dipolo ´e dada por:

Ji(x′ = 0, y′ = 0, z′) = I0senk l 2 − z

′
_{ ˆz 0 6 z}′ _6l/2

I0senk ₂l + z′
 ˆz −l/2 6 z′ 60 , (4.2)

onde assume-se que o dipolo est´a centrado na origem do sistema de coorde- nadas e seu comprimento ao longo do eixo z ´e igual a l . Esse modelo de

distribui¸c˜ao de corrente ´e v´alido desde que o raio do dipolo seja muito menor que os comprimentos de onda das freq¨uˆencias de opera¸c˜ao da antena [Bal97]. Para o caso da antena corneta alimentada por uma sonda da Fig. 4.2, a distribui¸c˜ao de corrente no filamento da sonda pode ser aproximada por [Har61]: Ji(x′ = 0, y′ = 0, z′) = ( I0 sen_[k(l−z′_)] sen_(kl) z 0 6 zˆ ′ _6l 0 z′ _>l , (4.3)

onde assume-se que a sonda esteja localizada no centro do sistema de co- ordenadas e que seu comprimento ao longo do eixo z ´e igual a l. Assim como na aproxima¸c˜ao para o dipolo, a distribui¸c˜ao de corrente apresentada em (4.3) s´o ´e v´alida para sondas com filamentos de raio muito menor que o comprimento de onda.

A modelagem do alimentador, assumindo conhecida sua distribui¸c˜ao de corrente, ´e bastante utilizada no projeto de antenas pois propicia bons resul- tados principalmente no c´alculo do diagrama de radia¸c˜ao. Outra vantagem ´e sua a f´acil inser¸c˜ao na equa¸c˜ao da forma fraca (4.1), pois as correntes no alimentador aparecem de forma expl´ıcita no lado direito da equa¸c˜ao. Entre- tanto, para o c´alculo da impedˆancia de entrada da fonte este tipo de modelo pode n˜ao apresentar bons resultados, uma vez que, dependendo da geometria da antena ou de sua proximidade com outros objetos, n˜ao ´e mais poss´ıvel garantir a distribui¸c˜ao de corrente no alimentador.

Fontes de tens˜ao

Outra maneira de representar as fontes de campo no alimentador ´e as- sumir que a tens˜ao nos terminais da antena ´e conhecida. Esse tipo de modelo de alimentador apresenta melhores resultados para o c´alculo da impedˆancia de entrada quando comparado aos modelos de fontes de corrente, pois a dis- tribui¸c˜ao de corrente no alimentador ´e obtida atrav´es da solu¸c˜ao do m´etodo de elementos finitos e leva em conta a geometria da antena e os objetos ao seu redor.

Para antenas ou alimentadores do tipo dipolo, pode-se assumir que a tens˜ao entre seu terminais seja conhecida conforme ilustrado na Fig. 4.3. Como a fonte de tens˜ao mant´em constante a tens˜ao em seus terminais, a tens˜ao entre os terminais do dipolo tamb´em ser´a constante. Uma vez que o espa¸camento entre os elementos do dipolo ´e muito pequeno e que o campo

el´etrico sobre uma superf´ıcie condutora ´e normal `a superf´ıcie, pode-se assumir que entre os elementos do dipolo, o campo el´etrico ser´a aproximadamente constante e sua magnitude ser´a dada por E = V /h, onde V ´e a diferen¸ca de potencial entre os terminais do dipolo e h ´e a distˆancia entre os dois terminais. C E V

+

-

Figura 4.3: Alimenta¸c˜ao do dipolo.

Uma vez solucionado o problema atrav´es do m´etodo de elementos finitos, a impedˆancia de entrada da antena pode ser obtida por

Z = V /I, (4.4)

onde I ´e a corrente nos terminais do dipolo e pode ser obtida atrav´es da Lei de Amp`ere:

I = Z

cH · dl,

(4.5) onde C ´e o percurso fechado indicado na Fig. 4.3.

Para antenas alimentadas atrav´es de sondas, um modelo apropriado para o alimetador apresentado em [Mit73] consiste em considerar conhecida a distribui¸c˜ao do campo el´etrico na abertura do cabo coaxial que alimenta a sonda conforme mostrado na Fig. 4.4. Para esse modelo, pode-se assumir

Figura 4.4: Alimenta¸c˜ao da sonda.

que o campo na abertura do cabo coaxial pode ser aproximado somente pelo modo dominante no interior do cabo, matematicamente:

Eρ=

V

ρ ln(b/a), (4.6)

onde V ´e a diferen¸ca de potencial entre os condutores do cabo coaxial na abertura, a ´e o raio da sonda e b ´e o raio externo do cabo coaxial.

A principal vantagem desse modelo para o alimentador consiste na sua proximidade com o modelo fisicamente implementado, ou seja, a geometria do alimentador ´e modelada como ela realmente ´e implementada o que permite um c´alculo mais exato da impedˆancia de entrada da antena.

A impedˆancia de entrada da antena pode ser obtida, ap´os a solu¸c˜ao do m´etodo de elementos finitos, atrav´es da corrente que entra na sonda.

Z = V /I, (4.7)

onde I pode ser obtido integrando-se a densidade de corrente superficial na base da sonda: I = Z c (ˆ_{n × J}s) · dl = − Z cH · dl, (4.8)

onde C ´e a curva fechada da intercess˜ao entre a sonda e o plano na abertura do cabo coaxial da Fig. 4.4.

Diferentemente do modelo de fontes de corrente, os modelos de fontes de tens˜ao n˜ao aparecem de forma natural na equa¸c˜ao da forma fraca (4.1) devendo ser implementadas diretamente nos graus de liberdade oriundos da discretiza¸c˜ao do dom´ınio atrav´es de condi¸c˜oes de contorno do tipo Dirichlet [Hug87].

Aplicando o m´etodo de Galerkin em (4.1) ´e poss´ıvel reescrever a equa¸c˜ao na forma matricial [K]{u} + [S]{u}Γ = {f}, (4.9) onde Kij = Z Ω{[α 1(∇ × Ni)] · (∇ × Nj) − k2α2Ni· Nj}dΩ, (4.10) Sij = Z Γ{ˆn × [α 1(∇ × Ni)]} · NjdΓ, (4.11) fi = Z Ωf · N idΩ. (4.12)

Como detalhado na Se¸c˜ao 3.6, a discretiza¸c˜ao do dom´ınio pode ser feita atrav´es da subdivis˜ao do dom´ınio em pequenos tetraedros. No interior de cada tetraedro, os campos el´etrico ou magn´etico podem ser aproximados atrav´es de fun¸c˜oes de forma do tipo:

u =

6

X

i=1

Niui, (4.13)

onde Ni´e uma fun¸c˜ao de aproxima¸c˜ao associada `a i-´esima aresta do tetraedro

e ui representa a circula¸c˜ao de u sobre a aresta i, ou seja,

ui =

Z

eu · dl.

(4.14) Sobre as arestas, o campo u n˜ao sofre varia¸c˜oes abruptas visto que o com- primento das arestas ´e, em geral, muito menor que o comprimento de onda, logo a express˜ao (4.14) pode ser aproximada por

onde umed ´e o valor de u avaliado no centro da aresta e l ´e o vetor que liga

os dois extremos da aresta.

Se uma aresta est´a situada em uma regi˜ao onde o campo u ´e conhecido, como por exemplo na abertura do cabo coaxial de uma sonda ou entre os terminais de alimenta¸c˜ao de um dipolo, o valor da inc´ognita ui sobre a aresta

´e definido pela equa¸c˜ao (4.15) e conseq¨uentemente, a linha do sistema ma- tricial gerada pela inc´ognita ui pode ser descartada na solu¸c˜ao do sistema.

A influˆencia das arestas com condi¸c˜oes de contorno de Dirichlet na solu¸c˜ao do problema de elementos finitos ´e contabilizada no lado direito do sistema matricial conforme demonstrado na equa¸c˜ao a seguir.

[K′_{]{u} + [S}′_]{u}Γ= {f} − [Kd]{u}d, (4.16)

onde K_ij′ = Z Ω{[α 1(∇ × Ni)] · (∇ × Nj) − k2α2Ni· Nj}dΩ, (4.17) S_ij′ = Z Γ{ˆn × [α 1(∇ × Ni)]} · NjdΓ, (4.18) f_i′ = Z Ωf · N idΩ, (4.19) K_idd = Z Ω{[α 1(∇ × Nd)] · (∇ × Ni) − k2α2Ni· Nd}dΩ. (4.20)

Os ´ındices i e j est˜ao associados `as arestas da discretiza¸c˜ao onde n˜ao s˜ao impostas condi¸c˜oes de Dirichlet, enquanto o ´ındice d indica as arestas cujo valor da inc´ognita ´e conhecido. O procedimento descrito acima proporciona uma maneira de incorporar as fontes de tens˜ao no m´etodo de elementos finitos.