Amalgamamentos e ordenamentos algébrios gerais

Talomo,naseção anterior, tratamosdoasodafatoraçãode

S _k (σ)

^{para parâmetro}

a

^geral,

estando ada fator relaionado om uma lasse de órbitas (lasse

D

^,

N

^ou

C

^), apresentamos nesta seçãodoisoutrosresultados genériosarespeitodosamalgamamentos edosordenamentos

orbitais.

Mostramos anteriormente que para

a = 6

^{todas as seis órbitas de período}

5

^{possuíam um}

ordenamento

2D

^{dado por:}

O ^D ₅ =

z y x y z

z z y x y

,

^(2.30)

onde

x

^,

y

^,e

z

^{sãoraízesdospolinmios}

X, Y, Z

^denidosnoamalgamamento naEq.(1.29). Este mesmoordenamento ontinuaválidoparavaloresarbitrários doparâmetro

a

^{,sendoagorafatores}

do amalgamamento dadospor

A 5 (x) =

6

Y

i=1

P 5 (a, b, x; σ i ) = X 5 (x) Y ₅ ² (x) Z ₅ ² (x),

^(2.31)

onde

X ₅ ≡ X ₅ (x, a) = x ⁶ − 2 x ⁵ − (3 a − 4) x ⁴ + 4 ax ³ + 3 a ² − 12 a − 4 x ²

− 2 a ² − 4 a − 4

x − a ³ + 8 a ² − 12 a − 8,

^(2.32)

Y ₅ ≡ Y ₅ (x, a) = x ⁶ − 2 x ⁵ − (3 a − 2) x ⁴ + 2 (2 a + 1) x ³ + 3 a ² − 4 a − 3

x ²

− 2 a (a + 1) x − a ³ + 2 a ² + 3 a + 1,

^(2.33)

Z ₅ ≡ Z ₅ (x, a) = x ⁶ + 2 x ⁵ − (3 a − 2) x ⁴ − 2 (2 a − 1) x ³ + (3 a − 1) (a − 1) x ²

+2 a (a − 1) x − a ³ + 2 a ² − a − 1.

^(2.34)

Para

a = 6

^{estespolinmiosoinidem omosdasEqs.}(1.30)-(1.32), omoerade seesperar.

Os disriminantes em relação a

x

^{dos polinmios}

X ₅ , Y ₅ , Z ₅

^estão relaionados entre si, de maneira queo disriminante de

Y ₅

^e

Z ₅

^{é o mesmo, sendodado por:}

∆ _5,1 = 64(16a ² − 28a − 19)(16a ⁵ − 108a ⁴ + 105a ³ + 27a ² − 97a − 47),

^(2.35)

enquanto que para

X ₅

^{temos, omo antes,}

∆ _5,2 = 2 ¹² ∆ _5,1

^{. As três soluções reais de}

∆ _5,1 = 0

são os pontos de bifuração de dobra onde as seisórbitas de período

6

^{nasem aos pares, dois}

destespontos

(a = − 0.522542 . . . , a = 2.27254 . . . )

^{raízesdo fatorquadrátio,e otereiro ponto}

(a = 5.5517014 . . . )

^{raiz do fatorquíntio.}

Umamaneira fáil erápida de fazermosa veriação doordenamento (2.30) aima é

enon-trandotransformaçõesalgébrias

T (x)

^quetransformemumpolinmiodoonjunto

{ X ₅ , Y ₅ , Z ₅ }

emoutroexistentenessemesmoonjunto,istoé,porexemplo,umatransformação

T (x)

^apliada

a adaumadasraízesde

X 5 = 0

^{nosresulta adaumadasraízesde}

Y 5 = 0

^,tais transformações sãohamadas de transformaçõesde Tshirnhaus.

As transformações que levam

Z ₅

^em

X ₅

^e

Y ₅

^{são dadas} respetivamente pela primeira e segundaiteradadopar

(x, y)

⁼

(x, x)

^{(pontosobrea diagonal),enquantoqueas}transformações que levam

X ₅

^em

Y ₅

^e

Z ₅

^{são dadas} respetivamente pela primeira e segunda iterada do par

(x, y)

⁼

(x, (a − x ² )/2)

^{(ponto sobre a parábola de simetria). Note que a primeira iterada de}

(x, (a − x ² )/2)

^{resulta em}

((a − x ² )/2, x)

^{(que é a segunda parábola de simetria). O resumo}

ompleto dastransformaçõesde Tshirnhaus é dado na tabela 2.5.

Assimomomostradonaseçãoanteriorparaoperíodo

5

^{paraoperíodo}

6

^{tambémépossivel}

onsiderarmos osamalgamamentos paraparâmetro

a

^{geral,sendo queparaalasse}

N

^temos:

A ^N ₆ (x) =

5

Y

i=1

P 6 (a, x; σ i ) = X(x) Y (x) ²

^(2.36)

X ₆ = x ¹⁰ + 2 x ⁹ + ( − 5 a + 2) x ⁸ − 8 (a − 1) x ⁷ + 2 5 a ² − 8 a + 6

x ⁶ + 4 3 a ² − 10 a + 2 x ⁵

− 2 (a − 2) 5 a ² − 8 a + 2

x ⁴ − 8 a (a − 1) (a − 6) x ³ + 5 a ⁴ − 32 a ³ + 52 a ² − 64 a − 16

x ² +2 a ⁴ − 12 a ³ + 36 a ² − 16 a − 16

x − 32 + 24 a ² − 16 a − a ⁵ + 10 a ⁴ − 28 a ³ Y ₆ = x ¹⁰ − (5 a + 1) x ⁸ + 4 x ⁷ + 10 a ² + 1

x ⁶ − 4 (3 a + 1) x ⁵ − 10 a ³ − 6 a ² − a − 1

x ⁴

Tabela2.5: Transformações

T

^{de Tshirnhaus que}transformamo polinmio

p ₁

^em

p ₂

^.

p ₁ p ₂ T

Z ₅ Y ₅ T ₁ = a − x ² − x X 5 T 2 = a − (a − x ² − x) ² − x

Y ₅ T ₃ = a − T ₂ ² − T ₁ Z ₅ T ₄ = a − T ₃ ² − T ₂ X ₅ Y ₅ t ₁ = a − x ² − ((a − x ² )/2)

Z ₅ t ₂ = a − [a − x ² − ((a − x ² )/2)] ² − x Y ₅ t ₃ = a − t ² ₂ − t ₁

Y ₅ t ₄ = a − t ² ₃ − t ₂ X ₅ t ₅ = a − t ² ₄ − t ₃

Tabela 2.6: Transformações

T

^{de Tshirnhaus que} transformam o polinmio

p ₁

^em

p ₂

^{, para o}

aso dasequaçõesque denemasórbitas nalasse

N

^.

p 1 p 2 T

X 6 Y 6 t 1 = a − x ² − ((a − x ² )/2) Y ₆ t ₂ = a − [a − x ² − ((a − x ² )/2)] ² − x X ₆ t ₃ = a − t ² ₂ − t ₁

Y 6 t 4 = a − t ² ₃ − t 2

Y ₆ t ₅ = a − t ² ₄ − t ₃

+4 3 a ² + 2 a + 1

x ³ + 5 a ⁴ − 8 a ³ − 5 a ² − 2 a − 1

x ² − 4 a ² + a + 1 ax

+a + 1 + 3 a ³ + a ² − a ⁵ + 3 a ⁴ .

^(2.37)

Astransformações deTshirnhaus querelaionam estes polinmiossãodadas natabela 2.6.

A partirdo onjunto de polinmiosque dene o amalgamamento

A ^N ₆

^{podemos então}

deter-minaroordenamentoalgébriogeral,

O ₆ ^N

^{,paraqualquervalordeparâmetro}

a

^{paraórbitaslasse}

N

^{,sendoeste dado por}

O ^N ₆ =

x _i y _i y _j x _j y _j y _i y _i x _i y _i y _j x _j y _j

,

^(2.38)

onde

{ x _i , x _j }

^e

{ y _i , y _j }

representam raízesdiferentesde

X ₆

^e

Y ₆

respetivamente.

Ummesmoordenamento geral pode serfeito para asórbitasde lasse

D

^{,neste asoo}

amal-gamamento geral é dado por:

A ^D ₆ (x) =

2

Y

i=1

P 6 (a, x; σ i ) = Z 6 (x) ² U 6 (x) ² ,

Z 6 = x ² − a − 1,

U ₆ = x ⁴ + 2 x ³ − (2 a − 1) x ² − 2 xa + a ² − 1 − a.

Atabela 2.7mostraastransformaçõesque onetamasraízesdestespolinmios.

Oordenamento algébrio geralpara estalasseé entãodado por:

O ^D ₆ =

u i z i u j u j z j u i

u _i u _i z _i u _j u _j z _j

,

Tabela2.7: TransformaçõesdeTshirnhaus (

T (x)

^{) que}transformamopolinmio

p ₁

^em

p ₂

^,para

o asodasequaçõesquedenem asórbitasde período 6na lasse

D

p 1 p 2 T

U 6 Z ₆ ² T 1 = a − x ² − x U ₆ T ₂ = a − (a − x ² − x) ² − x U ₆ T ₃ = a − T ₂ ² − T ₁ Z ₆ ² T 4 = a − T ₃ ² − T 2

U ₆ T ₅ = a − T ₄ ² − T ₃

onde a notaçãoé análoga aoaso anterior.

Umfatomarantequepodemosnotardastabelasdetransformaçõesparaalasse

N

^e

D

^para

o aso do período

6

^{, é que em ada aso somente é possivel onsiderar uma} tranformação por lasse, isto é ospolinmios referentesaos amalgamamentos das órbitas de lasse

N

^{são obtidos}

somentepelaiteraçãodo pontosobre aparábola

(x, y)

⁼

(x, (a − x ² )/2)

^{,já paraospolinmios}

referentesaosalmalgamamentos dasórbitasdelasse

D

^{somentepodemosgerar umpolinmio}

a partirde outropelaiteraçãodo ponto sobre adiagonal

(x, y)

⁼

(x, x)

^.

Veriamosaquiumontrasteinteressanteentreasórbitasdelasse

D

^{deperíodoímpareas}

órbitasde lasse

D

^{deperíodo par. Noprimeiro asoexistemduas maneirasdiferentesdeobter}

os polinmios: pelas transformações oriundas das iterações de um ponto na diagonal, e pelas

transformações oriundas de pontos sobrea parábola. Já no aso de órbitaslasse

D

^{de período}

par, a obtenção dos polinmios não pode ser feita onsiderando as iterações do ponto sobre a

parábola.

Mostramosnatabela2.8osresultados paraosamalgamamentosatéoperíodo

11

^que

obtive-mos,nestatabelaindiamosograualgébriodospolinmiosonstituintesdeada amalgamação

omo índie. Os polinmios, porserem muitoextensos, sãodadosnoapêndie C.

Tabela 2.8: Resumo dos amalgamamentos. Os subíndies em

X

^,

Y

^,

Z

^,

U

^,

V

^e

W

^{indiam o grau}

em

x

^{do polinmio.}

k N D

1

^-

Z ₂

2 X 2

-3

^-

Y 2 Z ₂ ²

4 X 4 Y ₂ ² Z ₂ ² 5

^-

X ₆ Y ₆ ² Z ₆ ² 6 X ₁₀ Y ₁₀ ² Z ₂ ² U ₄ ² 7

^-

X ₁₄ Y ₁₄ ² Z ₁₄ ² U ₁₄ ² 8 X ₂₄ Y ₂₄ ² Z ₁₂ ² U ₁₂ ² V ₁₂ ² 9

^-

X ₂₈ Y ₂₈ ² Z ₂₈ ² U ₂₈ ² V ₂₈ ² 10 X ₅₄ Y ₅₄ ² Z ₅₄ ² U ₁₂ ² V ₂₄ ² W ₂₄ ² 11

^-

X ₆₂ Y ₆₂ ² Z ₆₂ ² U ₆₂ ² V ₆₂ ² W ₆₂ ²

A tabela2.9 mostraum resumodosordenamentos algébrios onseguidos via os

amalgama-mentosgeraisapresentados natabela 2.8.

Oresumodosordenamentosorbitais algébrios, apresentados natabela2.9, ilustraa relação

Tabela 2.9: Ordenamentos orbitais e lasses auto-simétrias para períodos

3 ≤ k ≤ 11

^{. Índies}

diferentes deumamesma variável denotamdiferentes raízesde ummesmopolinmio

k N D

1

x x

2

x y y x

3

z y z z z y

4

x _i y _i x _j y _i y i x i y i x j

z _i z _j z _j z _i z i z i z j z j

5

z y x y z z z y x y

6

x _i y _i y _j x _j y _j y _i y _i x _i y _i y _j x _j y _j

u _i z _i u _j u _j z _i u _i u _i u _i z _i u _j u _j z _i

7

z y u x u y z z z y u x u y

8

x _i y _i z _i y _j x _j y _j z _i y _i y i x i y i z i y j x j y j z i

u _i v _i v _j u _j u _j v _j v _i u _i u i u i v i v j u j u j v j v i

9

z y u v x v u y z z z y u v x v u y

10

x _i y _i z _i z _j y _j x _j y _j z _j z _i y _i y _i x _i y _i z _i z _j y _j x _j y _j z _j z _i

v _i w _i u _i w _j v _j v _j w _j u _i w _i v _i v _i v _i w _i u _i w _j v _j v _j w _j u _i w _i

11

z y u v w x w v u y z z z y u v w x w v u y

mesma lasse, omo por exemplo as órbitas na lasse

D

^{para períodos ímpares, todos estes}

ordenamentos tem araterístias similares ás enontradas para o período

5

^{a saber: (1) os}

pontos nadiagonal sãoraízesde umuniopolinmio

Z(x)

^{e (2)os demaispontosda órbita são}

onstituídosde umaúniaraizporpolinmio,oquenãoaonteeomosperíodospares ondeas

órbitas, de lasse

D

^{ou de lasse}

N

^são onstituídas de mais de uma raiz por polinmio, o que podemosverna tabela2.9pelapresença de índiesdiferentes.

Mandelbrot sem Pontos Crítios

Neste apítulo, após rever oneitos básios assoiados ao famoso onjunto de Mandelbrot,

mostramos que tal onjuntoorresponde a uma situação limite de um aso bem mais geral

desoberto por nós. Tal aso geral é de muita importânia em físia e mostra que, por

exemplo, osdiagramas de fase,além das fasesusuais obtidas lassiando-seassoluções no

plano real, podem onter innitas fases adiionais totalmente novas, advindas de soluções

estáveis no plano omplexo. Enquanto o ponto have da dinâmia no domínio omplexo

nos últimos 25 anos tem sido oestudo dos pontosrítios, mostramos quea situação mais

geralapresentaosfenmenosonheidosemuitomais, naausêniatotalde pontosrítios.

Alguns dosresultadosprinipais deste apítuloforampubliados naRef. [75 ℄.

3.1 Dinâmia no plano omplexo: O onjunto de Mandelbrot

Um aspeto de grande impato gerado pelo estudo moderno da dinâmia não-linear foi a

perepção da presença quase queuniversal de araterístias que estão direta ou indiretamente

relaionadas om o oneito de dimensão fratal que arateriza a estrutura de onjuntos de

pontosnoespaçode fasedossistemasfísios. Por exemplo,o onjunto dasondiçõesiniiaisque

dão origem a trajetórias que onvergem assintótiamente para um mesmo atrator onstituem

umonjuntobemdeterminado, onheidopelonomede baia deatração doatratoremquestão.

Como umfatoquesedimentou-se na déadade 1980, foia observação empíria que, ommuita

freqüênia,asfronteiras detaisbaiasdeatraçãopodemserobjetosextremamenteompliados,

araterizados por dimensões ujosvaloressão números nãointeiros, quederam origem ao

on-eito dedimensãofratal. Como ébemsabido,talfatotemmuitoimpatoemtodosfenmemos

naturais que envolvem modelos matemátios não-lineares na suadesrição teória. A literatura

produzidanosúltimos25anossobreesteassunto éextremamentevolumosaemtodososampos

da iênia[57 ℄.

Grande partedo onheimento adquirido sobre fratalidade,dimensões, entropias, dinâmia

simbólia,et,provém, grossomodo,doestudodadinâmiadaversãoparaoplanoomplexodo

mapa quadrátioou, nodialeto matemátio, dafamília quadrátia seguinte

z _t+1 = Q _c (z) ≡ c − z ² _t ,

^(3.1)

onde

c = a + ib

^{éo parâmetro omplexo e}

z _t = x _t + i ξ _t

^{éa variável omplexa.}

Como é fáil veriar, a dinâmia disreta em uma variável omplexa é equivalente a uma

lasse restrita de mapas bidimensionais envolvendo duas variáveis reaise duas funçõesque

pre-isam obedeer asondições de Cauhy-Riemann. Mas estasondições não sãorequeridas para

sistemasdinâmios bidimensionaisgenériosusualmente usadosomomodelosdefenmenos

na-turais[58 ℄. Noaso domapa 3.1,o sistemabidimensional equivalenteé dado por,

x _t+1 = a − x ² _t + ξ ² _t ,

-0.5 a 1.5 -1.0

1.0

b 1 ₂ ⁴

4

4

3

3

5

5 5

5

6

6 6

6 6

6

-0.5 a 1.5

-1.0 1.0

b

Figura3.1: OonjuntodeMandelbrot. Coresdiferentesdenotamregiõesdoespaçodeparâmetros

onde órbitas de períodos diferentes são estáveis. Indiamos om números algumas das regiões

maiores, orrespondentesa períodosmaisbaixos

ξ _t+1 = b − 2x _t ξ _t .

^(3.2)

O subonjunto do espaço de parâmetros

c

^{do mapa3.1, ou} equivalentemente para o mapa 3.2, paraosquaisnãohádivergêniaapósumnúmero innito deiteraçõesdo ponto rítio

z = 0

^do

mapa, éhamadodeonjuntodeMandelbrot

M

^{. Dene-se}matemátiamentetalonjunto omo

M = { c | lim n →∞ Q ⁿ _c (0) 9 ∞}

^onde

z = 0

^{éo ponto rítio domapade}

Q c (z)

^e

Q ⁿ _c (z)

^denotaa

n

^{-ésima omposição domapaom elepróprio[76 , 77℄. Mostramos oonjunto de Mandelbrotna}

gura3.1.

Devidoaoseuformato,oonjuntodeMandelbrotémuitasvezeshamadodeatus,sendoseu

orpoprinipal, queompreende a região de estabilidadede movimentos deperíodo

1

^,limitado

pelasuperfíiealgébria dada por:

256 b ⁴ + 32 − 3 + 16 a ²

b ² + 256 a ⁴ − 3 − 32 a − 96 a ² = 0.

^(3.3)

Embora, omo já menionado, esta dinâmia omplexa ser própria de uma lasse partiular de

sistemas multimensionais, é possível ver suadinâmia emexperimentos de laboratório, omo o

feitoporIsaevaetal.[80 ℄,queonstruiramumsistemaeletrnio baseadoemumaredeniçãodo

mapa 3.2,redenição estaque seonstitui namudança de variáveis dada por

X = x + βy; Y = x − βy,

^(3.4a)

A = a + βb; B = a − βb,

^(3.4b)

onde

β

^{é uma onstante arbitrária diferente de zero. Esta simples mudança de variáveis}

trans-forma omapa daEq. (3.2) em

X _t+1 = A − X _t ² + ǫ(X _t − Y _t ) ²

^(3.5)

Y _t+1 = B − Y _t ² + ǫ(X _t − Y _t ) ² ,

^(3.6)

onde

ǫ = 1 + β ²

4β ² .

^(3.7)

O mapa da Eq. (3.6), pode ser interpretado omo dois mapas quadrátios distintos aoplados,

sendo

ǫ

^{oparâmetrode}aoplamento. Notequeapesardeserpossívelumainteressante represen-taçãobidimensional da famíliaquadrátia Eq.(3.2), osparâmetros

A, B, ǫ

^da representaçãonão podemseresolhidossimultaneamentedemodo arbitrário,devido àsrelaçõesqueos

interone-tam.

O que faremos neste apítulo é analisar a dinâmia omplexa para um aso mais rio, e

om uma sobreposição maiorom a dinâmia real. Até aqui, a imensa literatura sobre o mapa

quadrátio estuda sua dinâmia sob dois pontos de vista extremos. Os ientistas que usam o

mapa para expliar fenmenos naturais ostumam onsiderar situações envolvendo variáveis e

parâmetros nodomínio real. Já os trabalhosde unho matemátio sãobaseados, quase

invaria-velmente, apenas no domíniode variáveis e parâmetros omplexos. Neste apítulo estudaremos

uma situaçãointermediária queserve de ponte entre osdoisasos extremos menionados.

Con-sideraremos os parâmetros de ontrole omo sendo reais, porém permitiremos que o espaço de

faseseja omplexo.

No documento ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ó Ê Ó Ö Ò Ó ËÙÐ ÁÒ Ø ØÙØÓ Ö Ø ÉÙ Ö Ð ÓÒ Ù Ó ÒÑ ÀÓÐÓÑ Ö Ñ ÈÓÒØÓ Ö Ø Ó ÒØÒ Ó Ò Ð Ö Ì Ö Ð Þ Ó ÓÖ ÒØ Ó Ó ÈÖÓ º Öº Â ÓÒ Ð Ö Ó ÖÐ ÓÒ ÐÐ ÔÖ ÒØ Ó Á (páginas 32-39)