Amostragem retrospectiva - Regress˜ao log´ıstica linear

2.6 Regress˜ao log´ıstica linear

2.6.4 Amostragem retrospectiva

Em muitas situa¸cões práticas, especialmente no estudo de doen¸cas raras, pode ser mais conveniente a aplica¸cão de uma amostragem retrospectiva em que um conjunto de n1

casos (indiv´ıduos com y = 1) e n2 controles (indiv´ıduos com y = 0) ´e selecionado aleatori-

amente e classificado segundo os valores de x = (x1, . . . , xp)T. Esse tipo de planejamento

é muitas vezes motivado por questões econômicas ligadas ao custo e a dura¸cão do exper- imento. A amostragem retrospectiva assim constitu´ıda levaria diretamente a um modelo para P r(X = x|y), ao contrário dos dados prospectivos que estão associados ao modelo π(x) = P r(Y = y|x). Como o desenvolvimento de um modelo para P r(X = x|y) pode tornar-se muito complexo à medida que o valor x envolve um número maior de variáveis explicativas, particularmente cont´ınuas, a proposta de uma abordagem alternativa através da especifica¸cão de um modelo para P r(Y = y|x), de modo a induzir um modelo para P r(X = x|y), tem sido bastante utilizada. Vamos supor então um modelo log´ıstico linear para explicar π(x) = P r(Y = 1|x). Mostraremos a seguir que a probabilidade π(x), a menos de uma constante adicionada ao intercepto do modelo, coincide com a probabilidade π∗_{(x) = P r(Y = 1|x, Z = 1) se a sele¸cão amostral não depende de x, em que Z é}

uma vari´avel indicadora da classifica¸c˜ao amostral (vide, por exemplo, Armitage, 1971). Denotaremos

γ1 = P r(Z = 1|Y = 1) e γ2 = P r(Z = 1|Y = 0),

em que γ1 ´e a probabilidade de um caso ser selecionado e γ2 ´e a probabilidade de um

de x. Portanto

π∗_{(x) = P r(Y = 1|x, Z = 1)}

= P P r(Z = 1|Y = 1)P r(Y = 1|x)

y=0,1P r(Z = 1|Y = y)P r(Y = y|x)

= γ1π(x) γ2{1 − π(x)} + γ1π(x) = γ1 γ2 h _π(x) 1−π(x) i 1 + γ1 γ2 h _π(x) 1−π(x) i, ou melhor π∗(x) = e log{γ1/γ2}+η 1 + elog{γ1/γ2}+η, em que η =Pp_j=1xjβj.

Portanto, se fazemos uma amostragem retrospectiva e ajustamos um modelo log´ıstico como se fosse uma amostragem prospectiva, os coeficientes devem coincidir desde que a sele¸cão tenha sido feita independente de x. Se, no entanto, há interesse particular em estimar π(x), isto é, fazer predi¸cões dado x, deve-se corrigir a constante do modelo ajustado, obtendo o novo intercepto

β1 = ˆβ1∗− log(γ1/γ2),

em que ˆβ∗

1 ´e o intercepto do modelo ajustado. Apresentamos um exemplo ilustrativo na

pr´oxima se¸c˜ao.

2.6.5 Sele¸c˜ao de modelos

Uma vez definido o conjunto de covariáveis (ou fatores) a ser inclu´ıdo num modelo log´ıstico, resta saber qual a melhor maneira de encontrar um modelo reduzido que in- clua apenas as covariáveis e intera¸cões mais importantes para explicar a probabilidade de sucesso π(x). Esse problema poderia ser resolvido pelos métodos usuais de sele¸cão de modelos discutidos nas Se¸cões 1.8.5 e 1.9.4. Contudo, a questão de interpreta¸cão dos parâmetros é crucial num modelo log´ıstico, implicando que uma forma puramente mecânica de sele¸cão pode levar a um modelo sem sentido e de dif´ıcil interpreta¸cão. Par- ticularmente, a inclusão de certas intera¸cões impõe a permanência no modelo de seus respectivos efeitos principais de ordem inferior, na ótica do princ´ıpio hierárquico. Muitas vezes, variáveis consideradas biologicamente importantes não devem ser deixadas de lado

pela sua falta de significância estat´ıstica. Assim, a sele¸cão de um modelo log´ıstico deve ser um processo conjugado de sele¸cão estat´ıstica de modelos e bom senso.

Um dos métodos mais aplicados em regressão log´ıstica é o método stepwise. O método, como foi visto na Se¸cão 1.8.5, baseia-se num algoritmo misto de inclusão e elimina¸cão de covariáveis segundo a importância das mesmas de acordo com algum critério estat´ıstico. Esse grau de importância pode ser avaliado, por exemplo, pelo n´ıvel de significância do teste da razão de verossimilhan¸ca entre os modelos que incluem ou excluem as covariáveis em questão. Quanto menor for esse n´ıvel de significância tanto mais importante será considerada a covariável. Como a covariável mais importante por esse critério não é necessariamente significativa do ponto de vista estat´ıstico, há que impor um limite superior PE (os valores usuais estão no intervalo [0, 15; 0, 25]) para esses n´ıveis descritivos, a fim

de atrair candidatos importantes em princ´ıpio `a entrada.

Dado que a inclusão de novas covariáveis num modelo pode tornar dispensáveis out- ras covariáveis já inclu´ıdas, faremos a verifica¸cão da importância dessas covariáveis con- frontando os seus respectivos n´ıveis com um limite superior PS. As covariáveis com um

n´ıvel descritivo maior do que PS serão assim candidatas à remo¸cão.

Descrevemos a seguir uma variante desse algoritmo usada por Hosmer e Lemeshow (1989, Cap. 3) ( vide tamb´em Silva, 1992). A etapa inicial come¸ca com o ajustamento do modelo apenas com o intercepto e ´e completada pelos passos seguintes:

1. constru´ımos testes da razão de verossimilhan¸ca entre o modelo inicial e os modelos log´ısticos simples formados com cada uma das covariáveis do estudo. O menor dos n´ıveis descritivos associados a cada teste será comparado com PE. Se PE for maior,

inclu´ımos a covariável referente àquele n´ıvel e passamos ao passo seguinte; caso contrário, paramos a sele¸cão e adotamos o último modelo;

2. partindo do modelo incluindo a covariável selecionada no passo anterior, introduzi- mos individualmente as demais covariáveis. Cada um desses novos modelos é testado contra o modelo inicial desse passo. Novamente, o menor valor dos n´ıveis descritivos é comparado com PE. Se for menor do que PE, implica na inclusão no modelo da

covariável correspondente e a passagem ao passo seguinte. Caso contrário, paramos a sele¸cão;

3. comparamos o desvio do modelo log´ıstico contendo as covari´aveis selecionadas nos passos anteriores com os desvios dos modelos que dele resultam por exclus˜ao individ-

ual de cada uma das covariáveis. Se o maior n´ıvel descritivo dos testes da razão de verossimilhan¸ca for menor do que PS, a covariável associada a esse n´ıvel descritivo

permanece no modelo. Caso contrário, ela é removida. Em qualquer circunstância, o algoritmo segue para o passo seguinte;

4. o modelo resultante do passo anterior será ajustado, no entanto, antes de tornar- se o modelo inicial da etapa 2 (sele¸cão de intera¸cões de primeira ordem entre as covariáveis inclu´ıdas), avaliamos a significância de cada um dos coeficientes das covariáveis selecionadas, por exemplo através de um teste de Wald. Se alguma covariável ou fator não for significativo podemos exclu´ı-los do modelo;

5. uma vez selecionadas as covariáveis “mais importantes”, ou os efeitos principais, damos entrada na etapa 2 com o passo 1 que agora envolve apenas intera¸cões de primeira ordem entre as covariáveis selecionadas, e assim por diante.

E comum que algumas covariáveis ou intera¸cões de interesse ou com algum significado no estudo sejam mantidas no modelo desde o in´ıcio, mesmo que não sejam significativas. É também comum que a sele¸cão de intera¸cões seja feita dentre aquelas de interesse ou com algum significado no problema.

Uma desvantagem do procedimento descrito pelos passos 1-5 é de exigir as estimativas de máxima verossimilhan¸ca em cada passo, o que encarece o trabalho computacional, particularmente quando há muitas covariáveis (ou fatores). Alguns autores têm sugerido aproxima¸cões para esse processo de sele¸cão. O aplicativo cient´ıfico BMDP (Dixon, 1987) usa aproxima¸cões lineares nos testes da razão de verossimilhan¸ca. Peduzzi, Hardy e Holford (1980) apresentam uma variante desse método baseada no uso da estat´ıstica de Wald.

Aplica¸c˜ao

Voltemos agora ao exemplo discutido na Se¸cão 1.10.2 em que 175 pacientes com processo infeccioso pulmonar foram classificados de acordo com as variáveis tipo de tumor, sexo, idade, n´ıvel de HL e n´ıvel de FF. Para simplicidade das análises, iremos reagrupar os n´ıveis de HL e FF de modo que os n´ıveis de intensidade “ausente”e “discreto”sejam agora considerados como intensidade “baixa”e os n´ıveis “moderado”e “intenso”sejam agora de intensidade “alta”(vide Tabela 2.6).

Nesse estudo os pacientes foram amostrados retrospectivamente, sendo que os controles (processo benigno) foram formados por uma amostra de 104 pacientes de uma popula¸cão de 270, enquanto que os casos (processo maligno) foram todos os pacientes diagnosticados com processo infeccioso pulmonar maligno durante o per´ıodo da pesquisa. Portanto, seguindo a nota¸cão da Se¸cão 2.6.4 , temos que γ1 = 1 e γ2 = 104/270 1.

Aplicaremos a seguir o m´etodo de sele¸c˜ao stepwise proposto por Hosmer e Lemeshow (1989). Na etapa 1 consideraremos apenas os efeitos principais. Adotaremos PE = 0, 20

(n´ıvel para inclusão de covariáveis) e PS = 0, 25 (n´ıvel para elimina¸cão de covariáveis).

Tabela 2.6

Descri¸c˜ao das novas vari´aveis referentes ao exemplo sobre processo infeccioso pulmonar.

Vari´avel Descri¸c˜ao Valores Y Processo Infecioso 1:maligno

0:benigno IDADE Idade em anos SEXO Sexo 0:masculino

1:feminino HL Intensidade de 1:alta

Histi´ocitos-linf´ocitos 0:baixa FF Intensidade de 1:alta

Fibrose-frouxa 0:baixa

No passo 1 inclu´ımos a covariável IDADE, uma vez que o n´ıvel descritivo dessa covariável foi o menor dentre os n´ıveis descritivos das demais covariáveis e também foi menor do que PE. No passo seguinte inclu´ımos a covariável HL, e agora com duas covariáveis

inclu´ıdas no modelo verificamos se é poss´ıvel eliminar uma das duas. O maior n´ıvel descritivo é da IDADE que encontra-se na Tabela 2.7 na linha de referência do passo 3 e abaixo da curva tipo escada. O n´ıvel descritivo dessa covariável não é superior a PS, logo mantemos a IDADE no modelo. Seguindo essa lógica, encontramos os menores

n´ıveis descritivos em cada passo como sendo o primeiro elemento acima da curva tipo escada. Sendo todos inferiores a PE, decidimos pela inclus˜ao de todas as covari´aveis no

modelo. Relativamente à elimina¸cão, observamos que os n´ıveis com asterisco (maiores n´ıveis decritivos) são sempre inferiores a PS, indicando pela manuten¸cão das covariáveis

no modelo. Em resumo, o modelo resultante na etapa 1 ´e o modelo com todos os efeitos principais.

1_{Estamos supondo que a raz˜}_{ao γ}

1/γ2 = 270/104 vale tamb´em se as amostras tivessem sido feitas

De forma análoga procedemos a etapa 2, cujos n´ıveis descritivos para tomada de decisão em cada passo encontram-se na Tabela 2.8. Conclu´ımos então que apenas três intera¸cões de primeira ordem serão inclu´ıdas no modelo, sendo que nenhuma delas foi exclu´ıda posteriormente. Essas intera¸cões são IDADE ∗ HL, HL ∗ FF e SEXO ∗ FF.

Tabela 2.7

N´ıveis descritivos referentes `a etapa 1 do processo de sele¸c˜ao stepwise. Passo IDADE HL SEXO FF

1 0,000 0,000 0,288 0,001 2 0,000 0,000 0,100 0,003 3 0,000∗ _{0,000 0,050} _0,124 4 0,000 0,000 0,050∗ _0,182 5 0,000 0,000 0,050 0,182∗ Tabela 2.8

N´ıveis descritivos referentes `a etapa 2 do processo de sele¸c˜ao stepwise. Passo IDA*HL HL*FF SEX*FF IDA*FF IDA*SEX HL*SEX

1 0,012 0,014 0,050 0,056 0,663 0,063 2 0,012 0,027 0,060 0,232 0,218 0,099 3 0,023 0,027∗ _0,012 _0,233 _0,275 _0,176

4 0,028∗ _0,005 _0,012 _0,207 _0,403 _0,791

Na etapa 3 nenhuma intera¸c˜ao de segunda ordem foi selecionada, uma vez que o menor n´ıvel descritivo dos testes de inclus˜ao foi menor do que PE. Assim, o modelo resul-

tante contém os efeitos principais e três intera¸cões de primeira ordem. As estimativas dos parâmetros bem como os valores padronizados pelos respectivos desvios padrão aproxima- dos encontram-se na Tabela 2.9. O desvio do modelo foi de D(y; ˆµ) = 146, 22 (167 graus de liberdade), indicando um ajuste adequado. As Figuras 2.1a-2.1d apresentam alguns gráficos de diagnóstico. Na Figura 2.1a temos o gráfico de ˆhii contra os valores ajustados

(ver discussão sobre esse tipo de gráfico na Se¸cão 2.6.6) e nota-se dois pontos com maior destaque, #6 e #69. No gráfico de res´ıduos tDi, Figura 2.1b, a maioria dos pontos cai

dentro do intervalo [-2,2], com apenas duas observa¸cões, #21 e #172, fora do intervalo, porém muito próximas aos limites. Já o gráfico de influência LDi destaca novamente a

observa¸cão #69 e a observa¸cão #172. O paciente #172 é do sexo feminino, tem processo maligno, idade 55 anos e n´ıveis altos para HL e FF. Pelos resutaldos das estimativas seria mais provável esperar de um paciente com esse perfil um processo benigno. O paciente

#69 é também do sexo feminino, tem 78 anos, n´ıveis altos para HL e FF e não tem processo maligno. Aqui seria um pouco menos provável processo benigno para o paciente. Perfil parecido tem o paciente #6. Já o paciente #21 tem processo benigno, 82 anos, é do sexo feminino e tem n´ıvel alto para HL e baixo para FF. Seria mais provável nesse caso processo maligno para o paciente. Finalmente, temos na Figura 2.1d o gráfico normal de probabilidades para o res´ıduo tDi e não notamos nenhum ind´ıcio de que a distribui¸cão

utilizada seja inadequada.

Tabela 2.9

Estimativas dos parˆametros associados ao modelo log´ıstico resultante do processo de sele¸c˜ao stepwise.

Efeito Parˆametro Estimativa E/D.padr˜ao Constante β∗ 1 -1,409 -1,50 IDADE β2 0,039 2,29 HL β3 -5,521 -3,29 SEXO β4 1,402 2,40 FF β5 -1,978 -2,23 IDADE*HL β6 0,062 2,14 HL*FF β7 2,908 2,64 SEXO*FF β8 -3,349 -2,27

Como o interesse principal é estudar a associa¸cão entre o tipo de processo infeccioso pulmonar e as covariáveis histológicas HL e FF, formamos algumas razões de chances envolvendo essas covariáveis. Para ilustrar, a razão de chances de processo infeccioso maligno entre um paciente no n´ıvel alto de HL e um paciente no n´ıvel baixo de HL, que denotaremos por ψHL, supondo que os pacientes tenham o mesmo sexo, idade e n´ıvel de

FF, ´e estimada por ˆ

ψHL = exp{−5, 521 + 0, 062IDADE + 2, 908FF}.

Logo, podemos concluir que a chance de processo maligno é maior para pacientes com n´ıvel baixo de HL do que para pacientes com n´ıvel alto de HL, quando ambos estão no n´ıvel baixo de FF e também tenham a mesma idade. Por outro lado, quando ambos estão na categoria alta de FF, ˆψHL torna-se maior do que um após a idade de 42 anos

(aproximadamente), indicando uma chance maior de processo maligno para pacientes no n´ıvel alto de HL ap´os essa idade.

Analogamente, seja ψF F a raz˜ao de chances de processo infeccioso maligno entre um

pacientes são semelhantes nas demais covariáveis esse parâmetro é estimado por ˆ

ψF F = exp{−1, 978 − 3, 349SEXO + 2, 908HL}.

Dessa expressão podemos deduzir que a chance de processo maligno é maior para pacientes com intensidade baixa de FF do que para pacientes com intensidade alta de FF, isso entre as mulheres independentemente do n´ıvel de HL e para os homens com baixa intensidade de HL. Para os homens com alta intensidade de HL ocorre o contrário.

Valores ajustados Alavanca 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 (a) 6 69 Valores ajustados Componente do desvio 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 -2 -1 0 1 2 (b) 21 172 Valores ajustados Distancia de Cook 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 (c} 69 172 Percentis da N(0,1) Componente do Desvio -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 3 (d)

Figura 2.1: Gráficos de diagnóstico do exemplo sobre processo infeccioso pulmonar. Se houver interesse em prever P r{Y = 1|x}, probabilidade de um paciente da popula¸cão com um determinado conjunto de valores para as covariáveis estar com processo infeccioso maligno, devemos antes estimar β1 fazendo a corre¸cão

β1 = ˆβ1∗− log(270/104) = −1, 409 − 0, 954 = −2, 363.

Tabela 2.10

Previs˜oes para algumas configura¸c˜oes dadas. Idade Sexo HL FF _{P r{Y = 1|x}}

29 feminino baixo alto 0,005 51 masculino alto alto 0,142 44 masculino baixo baixo 0,343 62 feminino alto baixo 0,445 29 feminino baixo baixo 0,542 50 feminino baixo baixo 0,593

A regressão log´ıstica tem múltiplas utilidades, entre as quais a possibilidade de também ser utilizada em análise discriminante quando há apenas dois grupos para serem discrim- inados. O objetivo aqui é encontrar um modelo ajustado que melhor discrimine os dois grupos. Um critério é classificar como “sucesso”todo indiv´ıduo com probabilidade ajus- tada de pelo menos 0,50. Caso contrário o indiv´ıduo é classificado como “fracasso”. A Tabela 2.11 apresenta a discrimina¸aão feita pelo modelo ajustado do exemplo analisado nesta se¸cão. Note que a taxa de acertos é de 139/175 = 0,795 (79,5%).

Tabela 2.11

Discrimina¸cão através do modelo ajustado. Classifica¸cão Classifica¸cão pelo modelo

Correta Benigno Maligno

Benigno 86 18

Maligno 18 53

No documento MODELOS DE REGRESSÃO com apoio computacional (páginas 113-121)