A Tabela 1 apresenta os resultados do estudo de simulação para o processo
N GIN AR(1)7 com média µ = 5, tamanho amostral variando em 100, 200, 400 e 800, com
α = 0,3 e 0,5. As estimativas estão próximas de seus respectivos parâmetros estimados,
além disso, o erro quadrático médio diminui quando o tamanho da amostra aumenta. Quanto ao aumento do parâmetro α, os erros quadráticos médios de todos os estimadores são maiores do que ou iguais quando aumentamos de α = 0,3 para α = 0,5. Acreditamos que tal comportamento é observado devido à relativa proximidade, do valor 0,5 escolhido para α, à restrição, que neste cenário, é de 5/6 ≈ 0,83. Além disso, percebe-se que a diferença entre tais erros é maior para os estimadores de µ do que para os de α. Nota-se também que na sua grande maioria, os estimadores subestimam o verdadeiro valor do parâmetro.
Quanto a análise do melhor estimador, para o parâmetro α, o estimador de máxima verossimilhança condicional obteve um menor erro quadrático médio em todas as combinações estudadas na Tabela 1, já para o parâmetro µ, tal comportamento só foi
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verificado para tamanhos amostrais maiores que n = 100, em que para este, o estimador de Yule-Walker obteve menor erro quadrático médio.
Tabela 1 – Estimativa média e erro quadrático médio (em parênteses) para os estimadores do processo N GIN AR(1)7 com µ = 5.
Estimador YW Estimador MQC Estimador MVC
n α αˆyw µˆyw αˆmqc µˆmqc αˆmvc µˆmvc 100 0,3 0,2612 5,0001 0,2817 4,9940 0,2996 4,9831 (0,0105) (0,5236) (0,0106) (0,5898) (0,0044) (0,5485) 0,5 0,4368 4,9775 0,4719 4,9931 0,4931 4,9711 (0,0132) (0,7975) (0,0108) (0,9772) (0,0050) (0,8892) 200 0,3 0,2800 4,9951 0,2904 4,9933 0,2996 4,9893 (0,0054) (0,2605) (0,0054) (0,2757) (0,0022) (0,2572) 0,5 0,4675 5,0215 0,4854 5,0223 0,4967 5,0090 (0,0058) (0,4317) (0,0050) (0,4655) (0,0022) (0,4252) 400 0,3 0,2904 4,9929 0,2957 4,9930 0,3000 4,9919 (0,0027) (0,1323) (0,0027) (0,1365) (0,0010) (0,1277) 0,5 0,4832 4,9951 0,4921 4,9947 0,4977 4,9896 (0,0028) (0,2220) (0,0026) (0,2323) (0,0012) (0,2178) 800 0,3 0,2939 4,9973 0,2965 4,9971 0,2999 4,9949 (0,0013) (0,0711) (0,0013) (0,0722) (0,0005) (0,0671) 0,5 0,4929 4,9951 0,4972 4,9946 0,4994 4,9907 (0,0013) (0,1133) (0,0013) (0,1160) (0,0006) (0,1063) Com relação as combinações dos parâmetros utilizadas neste experimento, a Tabela 2 apresenta como diferença da Tabela 1 um aumento na média do processo de 5 para 10, que reflete no aumento da variabilidade e no aumento da magnitude dos valores do processo que levam a menos observações repetidas.
Conforme a Tabela 2, semelhante ao ocorrido com a Tabela 1, as estimativas estão próximas de seus respectivos parâmetros estimados, com o erro quadrático médio diminuindo quando o tamanho da amostra aumenta. Comparando as estimativas obtidas em relação ao aumento de α, o erro quadrático médio de todos os estimadores de µ é maior quando α = 0,5 do que para α = 0,3, mas desta vez, o estimador de mínimos quadrados condicionais de α teve seu erro quadrático médio reduzido. Em sua grande maioria, como observado na Tabela 1, os estimadores tendem a subestimar o verdadeiro valor do parâmetro.
Nota-se como principal diferença entre a Tabela 1 e a Tabela 2, a magnitude do erro quadrático médio dos estimadores de µ. Enquanto que para as estimativas de α praticamente não houve diferenças, o erro quadrático médio dos estimadores de µ são todos maiores do que 3 quando n = 100 e chega a ser maior do que 4 para o estimador de
Capítulo 5. Estudo de Simulação 31
mínimos quadrados condicionais.
Novamente, para o parâmetro α, o estimador de máxima verossimilhança condicio- nal obteve um menor erro quadrático médio em todas as combinações estudadas na Tabela 2, para o parâmetro µ, o estimador de Yule-Walker apresentou menor erro quadrático médio quando n = 100, e a partir de n = 200, o estimador de máxima verossimilhança condicional passa a ser o melhor estimador de µ.
Tabela 2 – Estimativa média e erro quadrático médio (em parênteses) para os estimadores do processo N GIN AR(1)7 com µ = 10.
Estimador YW Estimador MQC Estimador MVC
n α αˆyw µˆyw αˆmqc µˆmqc αˆmvc µˆmvc 100 0,3 0,2595 10,0235 0,2797 10,0239 0,2998 10,0082 (0,0102) (1,9669) (0,0101) (2,1764) (0,0024) (1,9723) 0,5 0,4414 10,0412 0,4765 10,0641 0,4986 10,0105 (0,0117) (3,0939) (0,0094) (4,8880) (0,0026) (3,2367) 200 0,3 0,2792 9,9983 0,2896 9,9985 0,2994 9,9961 (0,0049) (1,0040) (0,0048) (1,0767) (0,0011) (0,9738) 0,5 0,4694 10,0114 0,4866 10,0125 0,4990 9,9983 (0,0053) (1,5557) (0,0045) (1,6977) (0,0012) (1,4795) 400 0,3 0,2913 10,0063 0,2965 10,0065 0,3003 10,0057 (0,0025) (0,4955) (0,0025) (0,5115) (0,0005) (0,4682) 0,5 0,4855 10,0435 0,4943 10,0462 0,5001 10,0324 (0,0025) (0,7970) (0,0023) (0,8340) (0,0006) (0,7456) 800 0,3 0,2958 9,9976 0,2985 9,9984 0,3003 10,0012 (0,0012) (0,2533) (0,0012) (0,2576) (0,0003) (0,2327) 0,5 0,4926 10,0097 0,4970 10,0078 0,4997 10,0080 (0,0011) (0,3937) (0,0011) (0,4046) (0,0003) (0,3614) Ao comparar a Tabela 3 com a Tabela 1, é possível verificar o comportamento dos estimadores em amostras com períodos sazonais diferentes. Análogo as tabelas anteriores, as estimativas estão próximas de seus respectivos parâmetros estimados, além disso, o erro quadrático médio de todos os estimadores diminuem quando aumentamos o tama- nho da amostra. Quando o parâmetro α aumenta de 0,3 para 0,5, percebe-se o mesmo comportamento presente nas análises anteriores, com o aumento do erro quadrático médio.
Com respeito ao aumento do período sazonal, não verificamos alterações signifi- cantes no erro quadrático médio dos estimadores, poderíamos usar como exceção quando
n = 100, em que nota-se um aumento do erro quadrático médio para os estimadores de µ.
Quanto ao melhor estimador, mais uma vez verificou-se que para o parâmetro α, o estimador de máxima verossimilhança condicional obteve um menor erro quadrático médio em todas as combinações estudadas na Tabela 3, já para o parâmetro µ, o estimador de
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Yule-Walker se mostrou mais eficiente para n = 100, enquanto que a partir de n = 200, o estimador de máxima verossimilhança condicional obteve menor erro.
Tabela 3 – Estimativa média e erro quadrático médio (em parênteses) para os estimadores do processo N GIN AR(1)12 com µ = 5.
Estimador YW Estimador MQC Estimador MVC
n α αˆyw µˆyw αˆmqc µˆmqc αˆmvc µˆmvc 100 0,3 0,2470 4,9955 0,2815 4,9991 0,3000 4,9938 (0,0118) (0,5072) (0,0114) (0,6340) (0,0046) (0,6021) 0,5 0,4155 5,0010 0,4762 5,0244 0,4957 5,0091 (0,0165) (0,7725) (0,0115) (1,1272) (0,0054) (1,0781) 200 0,3 0,2732 4,9994 0,2906 4,9982 0,3003 4,9967 (0,0056) (0,2653) (0,0054) (0,2971) (0,0022) (0,2816) 0,5 0,4587 5,0118 0,4887 5,0156 0,4985 5,0035 (0,0065) (0,4193) (0,0051) (0,4928) (0,0023) (0,4540) 400 0,3 0,2858 5,0046 0,2947 5,0059 0,2996 5,0022 (0,0027) (0,1364) (0,0027) (0,1440) (0,0010) (0,1348) 0,5 0,4771 4,9949 0,4921 4,9946 0,4978 4,9881 (0,0030) (0,2123) (0,0026) (0,2265) (0,0011) (0,2116) 800 0,3 0,2927 5,0004 0,2972 5,0007 0,2996 4.9988 (0,0013) (0,0678) (0,0013) (0,0693) (0,0005) (0,0647) 0,5 0,4889 4,9930 0,4963 4,9923 0,4992 4,9901 (0,0014) (0,1150) (0,0013) (0,1195) (0,0006) (0,1093) Em relação a Tabela 3, a Tabela 4 se representa um aumento da média do processo
µ de 5 para 10, ocasionando um aumento da variabilidade e da magnitude dos valores da
série, como já comentado anteriormente.
Conforme a Tabela 4, é possível observar a proximidade entre as estimativas médias com seus respectivos parâmetros, além disso, o erro quadrático médio dos estimadores diminui conforme o tamanho da amostra aumenta. Com relação ao aumento do parâmetro
α, fica mais evidente que os estimadores do parâmetro µ sofrem mais influência de tal
aumento, principalmente em amostras pequenas. Conforme a Tabela 4, assim como a Tabela 2, observa-se que o erro quadrático médio dos estimadores do parâmetro µ é alto quando os valores de µ são altos.
Para o parâmetro α, o estimador de máxima verossimilhança condicional obteve um menor erro quadrático médio em todas as combinações estudadas na Tabela 4, já para o parâmetro µ, o estimador de Yule-Walker apresentou menor erro quadrático médio quando n = 100 e n = 200, e a partir de n = 400, o estimador de máxima verossimilhança condicional passa a ser o melhor estimador de µ.
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Tabela 4 – Estimativa média e erro quadrático médio (em parênteses) para os estimadores do processo N GIN AR(1)12 com µ = 10.
Estimador YW Estimador MQC Estimador MVC
n α αˆyw µˆyw αˆmqc µˆmqc αˆmvc µˆmvc 100 0,3 0,2469 9,9814 0,2817 9,9891 0,3007 9,9859 (0,0112) (1,9184) (0,0108) (2,3992) (0,0026) (2,1816) 0,5 0,4182 9,9752 0,4781 10,0074 0,4983 9,9714 (0,0149) (2,7999) (0,0100) (4,0417) (0,0027) (3,4048) 200 0,3 0,2736 10,0089 0,2913 10,0049 0,3007 9,9975 (0,0053) (0,9660) (0,0052) (1,0762) (0,0012) (0,9789) 0,5 0,4571 9,9984 0,4878 10,0080 0,4985 9,9830 (0,0062) (1,5077) (0,0047) (1,7186) (0,0012) (1,5171) 400 0,3 0,2869 10,0015 0,2958 10,0009 0,3000 10,0024 (0,0026) (0,5053) (0,0025) (0,5313) (0,0005) (0,4864) 0,5 0,4783 10,0019 0,4933 10,0020 0,4994 9,9956 (0,0027) (0,7816) (0,0023) (0,8484) (0,0006) (0,7440) 800 0,3 0,2926 10,0144 0,2971 10,0165 0,3001 10,0115 (0,0013) (0,2578) (0,0013) (0,2627) (0,0003) (0,2399) 0,5 0,4893 10,0053 0,4968 10,0056 0,4998 10,0050 (0,0012) (0,4018) (0,0011) (0,4199) (0,0003) (0,3791)
respectivos valores dos parâmetros, e pode-se dizer que, na maioria das vezes, os estimadores subestimam o verdadeiro valor do parâmetro. Quando o tamanho da amostra aumenta, é possível notar que o erro quadrático médio, de todos os estimadores, diminui, um indicativo de que tais estimadores são assintoticamente consistentes, isto é, quando n aumenta indefinidamente, os estimadores ficam mais próximos do verdadeiro valor do parâmetro com variância tendendo para 0.
É notável o aumento do erro quadrático médio dos estimadores quando o valor de µ é grande, denotando uma diminuição na precisão das estimativas. Além disso, suas estimativas também são afetadas quando o parâmetro α está próximo à restrição. Não foi verificado diferenças significantes nas estimativas com relação ao aumento do período sazonal.
Ainda que o estimador de máxima verossimilhança condicional exija um trabalho computacional considerável, acreditamos que este obteve um desempenho satisfatório, em relação aos outros estimadores abordados neste capítulo, na estimação do parâmetro α. Sugerimos utilizar o estimador de máxima verossimilhança condicional para estimar α, pois tal estimador se mostrou mais preciso do que os outros em qualquer cenário, enquanto que sugerimos utilizá-lo para estimar µ apenas com n > 100. Quando n ≤ 100, recomendamos utilizar o estimador de Yule-Walker para estimar o parâmetro µ.
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6 Aplicação
A aplicabilidade do modelo teórico a dados reais se faz necessária para justificar a pesquisa. Os dados utilizados neste trabalho se referem a um recorte mensal, no período de janeiro de 1985 a dezembro de 1994, de 120 observações do número de reivindicações de benefícios de invalidez a curto prazo, em que todos os requerentes são do sexo masculino com idade entre 35 e 54 anos, trabalham na indústria madeireira e relataram sua reivindicação ao Conselho de Compensação de Trabalhadores Work Safe BC em Richmond, Canadá. Somente reclamantes cujos ferimentos foram devidos a cortes e lacerações foram incluídos no conjunto de dados.
Conforme Work Safe BC (2017), a Work Safe BC é uma empresa com enfoque em segurança do trabalho, que, possui como principais objetivos promover a prevenção de lesões e doenças no local de trabalho, reabilitar aqueles que são feridos e providenciar o retorno ao trabalho, fornecer uma compensação justa para substituir a perda de salários dos trabalhadores ao se recuperar de lesões e garantir uma boa gestão financeira para um sistema viável de compensação dos trabalhadores.
As observações fazem parte do conjunto de dados analisados previamente por Freeland (1998), em que o modelo INAR(1) com marginal Poisson é ajustado aos dados com a finalidade de modelar e realizar previsões a cerca do número de reivindicações dos trabalhadores. O principal objetivo deste capítulo é ajustar o modelo N GIN AR(1)s
ao conjunto de dados e comparar tal ajuste com o dos modelos IN AR(1), IN AR(1)s e
N GIN AR(1).