Análise da resolução proposta do exercício exemplar 5

No Quadro 26 selecionamos para análise sete trechos (aqui grifados) da resolução, os quais são apresentados um a um subsequentemente.

Quadro 26 _{– Resolução proposta do exercício exemplar 5}

O valor C1 do capital ao final do primeiro ano será: C1 = C0 + 12% de C0, ou seja, C1 = C0 (1 + 0,12) = 1,12 C0.

O valor C2 do capital ao final do segundo ano será: C2 = C1 (1 + 0,12) = C0 (1,12)2.

O valor C(t) do capital ao final de t anos será: C(t) = C0 (1 + 0,12)t.

O capital dobrará de valor quando C(t) = 2C0, ou seja, quando C(0)  1,12t = 2C0, o que significa que 1,12t = 2.

Calculando o logaritmo dos dois membros dessa igualdade, temos: t  log 1,12 = log 2, ou seja, t =

12 , 1 log 2 log .

Calculando log 1,12, obtemos: 100

112

log = log 112 – log 100 = log (24 7) – 2 = 4  log 2 + log 7 – 2  0,049

O valor de t, portanto, será: t =

049 , 0 301 , 0

= 6,14 anos  6 anos e 2 meses.

Como os juros são incorporados ao capital apenas ao final de cada ano, somente após sete anos será possível dispor do capital dobrado.

Fonte: São Paulo (2009a, p. 46).

Na primeira unidade de registro ―O valor C1 do capital ao final do primeiro ano será: C1= C0 + 12% de C0, ou seja, C1 = C0 (1 + 0,12) = 1,12 C0‖, podemos observar quatro caracterizadores do pensamento algébrico (Quadro 5): o primeiro, o sexto, o nono e o décimo segundo:

 favorece que o professor perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico;

 favorece que o professor transforme uma expressão ou representação numérica em outra;

 favorece que o professor perceba a relação de dependência das variáveis;  favorece que o professor perceba o uso da variável como relação funcional.

O Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009a) pressupõe que o professor consiga com as informações obtidas do enunciado expressar a equação referente

ao cálculo dos juros simples do capital ao final do primeiro ano: ―C1= C0 + 12% de

C0‖, tendo como variáveis o montante referente ao primeiro ano (C1) e o capital

inicial (C0).

O trecho grifado ―C1= C0 + 12% de C0, ou seja, C1 = C0 (1 + 0,12) = 1,12 C0‖ nos mostra o sexto caracterizador do pensamento algébrico (Quadro 5), que ―favorece que o professor transforme uma expressão ou representação numérica em outra‖.

O caracterizador do pensamento algébrico que ―favorece que o professor perceba a relação de dependência das variáveis‖ está presente, pois o valor da variável ‗montante‘ (neste caso, C1) é dependente do valor da variável ‗capital inicial‘ (C0).

Na parte grifada ―C1 = C0 (1 + 0,12) = 1,12 C0‖, da primeira unidade de registro, observamos o caracterizador do pensamento algébrico, que ―favorece que o professor perceba o uso da variável como relação funcional‖, porque a variável ―C1‖ (montante após um ano de aplicação) se obtém em função de ―C0‖ (capital inicial): C1 = 1.12 C0.

Ursini et al. (2005) afirmam que:

[...] para trabajar con las variables en relación funcional, es necesario ser capaz de reconocer, en primer lugar, que en ciertas situaciones están involucradas cantidades cuyos valores están relacionados; en segundo lugar, que, en tales situaciones, la variación de una cantidad afecta la variación de la otra30. (URSINI et al., 2005, p. 34)

No segundo trecho grifado (segunda unidade de registro), ou seja, C2 = C1 (1 + 0,12) = C0 (1,12)2, pressupomos quatro caracterizadores do pensamento algébrico (Quadro 5). São eles o quinto, o sexto, o sétimo e o oitavo:

 favorece que o professor interprete uma igualdade como equivalência numérica, entre duas medidas ou entre duas expressões;

 favorece que o professor transforme uma expressão ou representação numérica em outra;

30

―[...] para trabalhar com as variáveis de relação funcional, é necessário ser capaz de reconhecer, em primeiro lugar, que em certas situações estão envolvidas quantidades cujos valores estão relacionados; em segundo lugar, que, em tais situações, a variação de uma quantidade afeta a variação da outra [co-variação].‖ [Tradução nossa.]

 favorece que o professor desenvolva algum tipo de processo de generalização;

 favorece que o professor perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias.

No trecho ―C1  (1 + 0,12) = C0  (1,12)2_{‖, podemos observar o} caracterizador do pensamento algébrico que ―favorece que o professor interprete uma igualdade como equivalência numérica, entre duas medidas ou entre duas expressões‖, por meio de outro caracterizador do pensamento algébrico, que ―favorece que o professor transforme uma expressão ou representação numérica em outra‖, quando o Caderno do Professor substitui C1 pela expressão 1,12  C0, apresentada na primeira unidade de registro, e simplifica a expressão 1,12  C0  (1 + 0,12) em C0  (1,12)2.

Ainda nesse trecho, percebemos, com base em Figueiredo (2007), que o professor pode apresentar dificuldades em reconhecer a possibilidade de fatoração na expressão algébrica citada.

Quando o Caderno do Professor propõe determinar o montante após dois anos de aplicação (C2) através do capital inicial (C0), podemos perceber a tentativa de expressar uma regularidade, e a taxa de juros de 12% como uma invariância. Consequentemente, pressupõe que isso favorece que o professor desenvolva algum tipo de processo de generalização — outro caracterizador do pensamento algébrico.

Na terceira unidade de registro (―C(t) = C(0)  (1,12)t‖), podemos observar a equação final do processo de generalização e a presença de dois caracterizadores do pensamento algébrico (Quadro 5): o nono e o décimo segundo:

 favorece que o professor perceba a relação de dependência das variáveis;  favorece que o professor perceba o uso da variável como relação funcional.

Nesse trecho, ―C(t)‖ se apresenta como uma variável dependente de outras duas variáveis: o capital inicial (C0) e o tempo de aplicação (t) em anos. Segundo Ursini et al. (2005, p. 34) em uma relação funcional ―la variación de una cantidad afecta la variación de la otra31‖.

No quarto trecho grifado (quarta unidade de registro), ou seja, ―O capital dobrará de valor quando C(t) = 2C0, ou seja, quando C(0)  1,12t = 2C0, o que significa que 1,12t = 2‖, pressupomos dois caracterizadores do pensamento algébrico (Quadro 5). São eles o primeiro e o sexto:

 favorece que o professor perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico;

 favorece que o professor transforme uma expressão ou representação numérica em outra.

Dividindo a quarta unidade de registro em duas partes, temos na primeira parte grifada (―O capital dobrará de valor quando C(t) = 2C0‖) o primeiro caracterizador do pensamento algébrico (Quadro 5): ―favorece que o professor perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico‖. Na segunda parte grifada (―ou seja, quando C(0)  1,12t = 2C0, o que significa que 1,12t = 2‖), temos o sexto caracterizador do pensamento algébrico: ―favorece que o professor transforme uma expressão ou representação numérica em outra‖.

Na quinta unidade de registro (―t  log 1,12 = log 2, ou seja, t =

12 , 1 log 2 log ‖) e na sexta (― 100 112

log = log 112 – log 100 = log (24  7) – 2 = = 4  log 2 + log 7 – 2  0,049‖), podemos perceber o sexto caracterizador do pensamento algébrico (Quadro 5): ―favorece que o professor transforme uma expressão ou representação numérica em outra‖.

Essas transformações se dão através dos processos de resolução de equações e das propriedades logarítmicas de produto, quociente e potência, apresentadas na Figura 1. Segundo Figueiredo (2007), uma das dificuldades apresentadas pelos professores em relação aos tópicos de Álgebra Elementar é a de não reconhecerem e não aplicarem propriedades das operações — neste caso, em relação a logaritmos.

Na sétima unidade de registro (―t = 049 , 0 301 , 0 = 6,14 anos  6 anos e 2 meses‖), pressupomos quatro caracterizadores do pensamento algébrico (Quadro 5): o segundo, o quinto, o sexto e o décimo:

 favorece que o professor estabeleça relações/comparações entre expressões numéricas ou entre medidas;

 favorece que o professor interprete uma igualdade como equivalência numérica, entre duas medidas ou entre duas expressões;

 favorece que o professor transforme uma expressão ou representação numérica em outra;

 favorece que o professor perceba o uso da variável como incógnita. No início dessa unidade de registro, (―t =

049 , 0 301 , 0 = 6,14 anos‖), podemos observar a transformação de uma representação numérica em outra e o uso da variável t (anos) como incógnita, pois, segundo Ursini et al. (2005), para reconhecer o uso da variável como incógnita devemos ser capazes de:

[...] reconocer que en cierta situación está involucrada una cantidad cuyo valor no conocemos, pero que es posible determinar tomando en consideración los datos proporcionados.32 _{(URSINI et al., 2005, p. 27)}

Nesse mesmo trecho, percebemos que o valor encontrado para t é 6,14 anos, mas o que significa 0,14 anos? Essa passagem propicia mais um caracterizador do pensamento algébrico, o que favorece que o professor estabeleça relações/comparações entre expressões numéricas ou entre medidas.

No final da mesma unidade de registro, no trecho grifado ―6,14 anos  6 anos e 2 meses‖ podemos observar o quinto caracterizador do pensamento algébrico, o qual ―favorece que o professor interprete uma igualdade como equivalência numérica, entre duas medidas ou entre duas expressões‖.

32

―[...] reconhecer que em certas situações está envolvida uma quantidade cujo valor não conhecemos, mas que é possível determinar levando-se em consideração os dados fornecidos.‖ [Tradução nossa.]

No entanto, o tempo t procurado não é de aproximadamente 6 anos e 2 meses, pois, uma vez que ―os juros são incorporados ao capital apenas ao final de cada ano, somente após sete anos será possível dispor do capita dobrado‖.