Ao interconectar conversores munidos de circuitos de controle realimentados, não há qualquer garantia que o sistema será estável e apresentará um desempenho satisfatório, apesar de os subsistemas serem estáveis individualmente. Interações entre os subsistemas podem ocorrer, resultando em uma situação de instabilidade ou de degradação de desempenho. Estas interações ocorrem porque a entrada de um conversor realimentado drena uma potência constante independente da condição da sua tensão de entrada, tendo a dinâmica similar de uma CPL. A CPL apresenta a característica de impedância negativa que gera efeitos desestabilizantes no sistema. Portanto, além de analisar a estabilidade individual de cada subsistema, há a necessidade de estudar a estabilidade total do sistema após o acoplamento.
Inicialmente, a análise de estabilidade de sistemas em cascata foi desenvolvida por Middlebrook e Cuk (1976), originando o critério da impedância de Middlebrook e Cuk. A proposta introdutória era analisar como um filtro de entrada afetava as características dinâmicas de um conversor operando em malha fechada. O objetivo não era apenas garantir a estabilidade do sistema, mas também assegurar que as características dinâmicas do conversor não fossem afetadas pela adição de um filtro de entrada (MIDDLEBROOK; CUK, 1976).
O método de Middlebrook e Cuk (1976) é baseado na divisão do sistema em dois subsistemas: subsistema alimentador e subsistema de carga. Pressupondo que os subsistemas são estáveis individualmente, a estabilidade do sistema total é determinada a partir da impedância de saída do subsistema alimentador e de entrada do subsistema de carga, respectivamente, Zo_al e Zin_c. O critério da impedância de Middlebrook e Cuk (1976)
investiga a extensão da interferência de um subsistema em relação ao outro através da função de transferência de saída-entrada total do sistema GVo_c,Vin_a, que depende das funções de
in_c Vo_c,Vin_al al c al c o_al in_c o_al in_c Z 1 G = G G = G G Z Z + Z 1+ Z (9)
onde Gal e Gc são as funções de transferência de saída-entrada individuais do subsistema
alimentador e de carga, respectivamente, como mostrado na Figura 12. Visto que Gal e Gc são
estáveis, a interação e, consequentemente, a estabilidade dos subsistemas operando em cascata é definida através da razão das impedâncias, Zo_al/Zin_c. A condição necessária e
suficiente para estabelecer a estabilidade do sistema é obtida pela aplicação do critério de Nyquist à razão das impedâncias, isto é, o contorno de Nyquist da razão das impedâncias não deve envolver o ponto crítico (-1,0) (CHO; CHOI, 1991; LEWIS et al., 1989).
Middlebrook e Cuk (1976) desenvolveram o critério da impedância para subsistemas cascateados fundamentado na teoria de Nyquist. A condição suficiente para a estabilidade do sistema total é que Zin_c seja maior do que Zo_al em todo o espectro de frequência. Isso implica
que a razão das impedâncias é sempre inferior a um. Com isso, a margem de fase é infinita e o contorno de Nyquist está sempre contido no interior do círculo de raio unitário, portanto o ponto (-1,0) jamais pode ser envolvido.
Figura 12 - Subsistemas em cascata.
vin_al + - + - vin_c iin_c + - Zo_al Zin_c + - vo_al iin_al io_al vo_c io_c Gal = vo_al vin_al Gc = vo_c vin_c Subsistema Alimentador Subsistema de Carga Cbus
Fonte: Elaborada pelo autor.
O critério de Middlebrook e Cuk (1976) utiliza a margem de ganho (MG) para realizar o projeto dos subsistemas. Conhecendo |Zin_c|, é possível projetar o subsistema alimentador a
partir da especificação da MG, tal como:
1 MG o_al in_c Z Z (10)
O critério de Middlebrook e Cuk (1976) também estabeleceu o conceito de região proibida, sendo esta representada por um círculo de raio determinado pela MG, como ilustrado na Figura 13. O contorno de Nyquist da razão das impedâncias deve obrigatoriamente estar contido no interior deste círculo delimitado pela MG. Como a MG assume valores superiores a unidade, o círculo é preservado sempre no interior do círculo de raio unitário, de modo que a exigência |Zin_c| > |Zo_al| seja sempre atendida (RICCOBONO;
SANTI, 2014). A condição imposta pelo critério de Middlebrook e Cuk (1976) assegura a total separação das impedâncias, não havendo qualquer intersecção de magnitudes, porém os subsistemas em cascata ainda interagem, não estando completamente desacoplados. A interpretação do critério de Middlebrook e Cuk (1976) possibilita determinar se as interações entre os estágios interligados afetará a estabilidade do sistema.
Figura 13 - Limites dos critérios de estabilidade.
Im
Re
1/MG (-1,0)
Fonte: Adaptado de (RICCOBONO; SANTI, 2014).
Na Figura 14 é apresentada a resposta em frequência da impedância de saída Zo_al de
um conversor tipicamente alimentador (característica passiva de uma impedância LC) e da impedância de entrada Zin_c de um conversor no estágio de carga. Observa-se que em baixa
frequência a impedância de entrada apresenta a característica similar a de uma resistência negativa, onde há magnitude plana e fase de 180°. Como apresentado em Rahimi e Emadi (2009b), na faixa de frequência limitada pela banda passante do circuito de controle, a impedância de entrada de um conversor realimentado é fielmente representada pela resistência negativa quando o sistema realimentado possui ganho suficientemente elevado na faixa de frequência bem abaixo da banda passante. O valor da resistência negativa é obtido a partir dos
valores da tensão do barramento vbus e da potência de entrada demandada P pelo subsistema
de carga, sendo calculada por:
2 bus Neg v R P (11)
Na Figura 14 é destacada uma condição de instabilidade, segundo o critério de Middlebrook e Cuk (1976), já que há interação entre os subsistemas (intersecção de magnitudes de Zo_al e Zin_c). Com base na teoria do critério de Middlebrook e Cuk (1976) é
possível projetar dois subsistemas cascateados busca alcançar uma condição de estabilidade e que não há qualquer interação. Convém destacar que a condição imposta pelo critério de Middlebrook e Cuk (1976) para o projeto de subsistemas em cascata é apenas suficiente para garantir a estabilidade do sistema, porém não é necessária. Isso quer dizer que para o caso onde há intersecção de magnitudes, o sistema ainda pode ser estável.
O principal problema do critério de Middlebrook e Cuk (1976) é que apenas a magnitude das impedâncias é levada em consideração e analisada, apesar de simplificar a sua aplicação. A imposição relacionada à margem de fase infinita, resultando que o contorno de Nyquist da razão das impedâncias não pode exceder o círculo de raio unitário, torna tal
Figura 14 Respostas em frequência das impedâncias de entrada e saída dos subsistemas cascateados. -50 0 50 100 150 100 101 102 103 104 105 106 -90 0 90 180 270 360 Frequência (Hz) Zin_c Zo_al_inst Zo_al_est
critério bastante conservador. Isso levou a proposição de diversos critérios baseados no mesmo princípio de impedâncias, porém fixando condições menos restritivas.
Wildrick el al. (1995) estabeleceu um novo conceito de região proibida para Zo_al/Zin, a
partir de uma margem de fase (MF) de 60° e margem de ganho de 6 dB. Este critério, denominada de GMPM (Gain Margin Phase Margin), suaviza o princípio conservador do critério de Middlebrook e Cuk (1976), uma vez que é permitido que o contorno de Nyquist extrapole o círculo de raio unitário, desde que às exigências de MF e MG sejam atendidas (WILDRICK et al., 1995).
Feng et al. (1999) buscou expandir a análise de estabilidade para sistema mais complexos, onde se tem múltiplas cargas, propondo o critério do argumento oposto (FENG et al., 1999). Este possibilita a análise de sistemas com múltiplas cargas, sendo a impedância de entrada total a combinação em paralelo de todas as impedâncias de entrada individuais. O conceito de região proibida passou a ser estabelecido de acordo com a MG de interesse e a razão das potências de cada carga, Pin_cN, e do sistema total, Po, definida como:
1 Re MG o_al in_cN in_cN o Z P Z P (12)
Desde então, alguns outros critérios foram proposto na literatura, buscando sempre condições não tão restritivas e conservadoras e baseado no princípio das impedâncias (LIU et al., 2003; SUDHOFF et al., 2000). Um aspecto comum a todos estes critérios é o fato de as condições de região proibida e relação entre impedâncias serem apenas suficientes, e não necessárias, para a estabilidade. Isso quer dizer que mesmo violadas, o sistema ainda pode ser estável. Dessa forma, para estimar a estabilidade relativa ou definir até que ponto o sistema completo é estável é necessário sempre analisar a representação gráfica do contorno de Nyquist da razão das impedâncias.