3.2 Sistemas de controle
3.2.6 Análise de estabilidade de sistemas com atrasos variantes
Considere o sistema em malha fechada com uma entrada e uma saída representado nas Figuras 3.1 (a), (b) e (c). Onde: P (s) e P (z) são as funções de transferência do processo, respectiva- mente, no tempo contínuo e no tempo discreto; C(s) e C(z) são as funções de transferência do controlador, respectivamente, no tempo contínuo e no tempo discreto; ∆ indica o atraso de controle variante no tempo; A/D representa um conversor analógico digital que converte uma amostra do sinal de saída do processo a cada período h e D/A um conversor digital analógico com segurador de ordem zero (ZOH). Além disso, o sistema em malha fechada é estável para ∆ = 0. A estabilidade do sistema sob um atraso de controle ∆ limitado e variante de modo aleatório é determinado pelos teoremas a seguir. As provas desses teoremas são apresentadas em Kao e Lincoln (2004).
P(s)
C(z)
A/Dh D/AZOHD
S
-
P(s)
C(s)
D
S
-
P(z)
C(z)
D
S
-
(a)
(b)
(c)
Figura 3.1: Diagramas de blocos de uma malha de controle com atraso ∆ e: (a) processo e controlador contínuos no tempo; (b) processo e controlador discretos no tempo e (c) processo contínuo no tempo e controlador discreto no tempo.
Teorema 1 (Caso Contínuo no Tempo) O sistema em malha fechada representado na Figura 3.1(a) é estavél para qualquer atraso variante no tempo definido por
∆(v) = v(t − δ(t)), 0 ≤ δ(t) ≤ δmax (3.17) se, P (jω)C(jω) 1 + P (jω)C(jω) < 1 δmaxω , ∀ ω ∈ [0, ∞]. (3.18)
Teorema 2 (Caso Discreto no Tempo) O sistema em malha fechada representado na Figura 3.1(b) é estavél para qualquer atraso variante no tempo definido por
∆(v) = v(n − δ(n)), δ(n) ∈ {0,1,...,N} (3.19) se, P (ejω)C(ejω) 1 + P (ejω)C(ejω) < 1 N|ejω− 1|, ∀ ω ∈ [0, ∞]. (3.20)
Teorema 3 (Caso Contínuo e Discreto no Tempo) O sistema em malha fechada representado na Figura 3.1(c) é estável para qualquer atraso variante no tempo definido por
∆(v) = v(t − δ(t)), 0 ≤ δ(t) ≤ Nh (3.21)
ondeN é um número real, se
Palias(ω)C(eiω)
1 + PZOH(eiω)C(eiω)
< 1 ˜ N|eiω − 1|, ∀ ω ∈ [0, ∞], (3.22) onde: ˜N = p⌊N⌋2 + 2⌊N⌋g + g4;g = N − ⌊N⌋; P
ZOH(z) é a discretização ZOH de P (s)
utilizando um segurador de ordem zero, e
Palias(ω) = v u u t ∞ X k=−∞ P j(ω + 2πk)1 h 2 (3.23)
Observe que o valor máximo de ˜N deve ser obtido tal que a condição na Equação 3.22 do Teorema 3 seja satisfeita. Por outro lado, veja que o limite admissível para o atraso variável δ(t) está em função de N. Para facilitar a determinação do valor de N a partir de ˜N , Santos (2008) derivou a Equação 3.24. Assim, o maior valor de atraso variante no tempo (Nh) pode ser obtido.
N = N˜
2+ ⌊ ˜N ⌋2 + ⌊ ˜N ⌋
2⌊ ˜N⌋ + 1 (3.24)
A partir do Teorema 3 apresentado na seção 3.2.6, Cervin et al. (2004) definiram os con- ceitos da margem de jitter e margem de fase aparente. Esses conceitos serão apresentados a seguir.
Margem de jitter
A margem de jitter é definida como o maior valor de atraso variável em função de um atraso constante e conhecido, que pode ser tolerado sem que a malha de controle torne-se instável. O atraso variável (δ(t)) pode ser dividido em duas partes: uma parte constante (L ≥ 0), e uma parte variante no tempo chamada de jitter (J(t) ≥ 0), de acordo com a Figura 3.2. Então, do ponto de vista da análise de estabilidade, o processo P (s) pode ser representado pela sua versão atrasada P (s)e−sL. Dessa forma, o critério de estabilidade indicado na Equação 3.22 deve ser
calculado a partir da versão atrasada do processo, e a estabilidade é garantida para um atraso ¯
δ(t) ∈ [L, L + Nh]. O sistema com a versão atrasada de P (s) é representado pela Figura 3.3.
kh (k+1)h t
L J(t)
d(t)
Figura 3.2: Esquema do atraso de controle dividido nas partes constante (L) e variante no tempo (J(t)). P(s)e-sL C(z) A/Dh D/AZOH (t) d S -
Figura 3.3: Diagrama de blocos modificado da malha de um sistema de controle com atraso ¯
δ(t).
De acordo com essas considerações, a seguinte definição para margem de jitter foi formu- lada:
Definição 4 (Margem de Jitter) Considerando o sistema representado na Figura 3.3, a mar- gem de jitter é definida como o maior número Jm(L) para o qual a estabilidade em malha
fechada é garantida para qualquer atraso variante no tempo ¯δ(t) ∈ [L, L + Jm(L)].
A partir da Definição 4, é dito que uma malha de controle é estável se, para todo ciclo de operação, J(t) ≤ Jm(L), onde J(t) = δ(t) − L. Em resumo, o critério de estabilidade usando
a margem de jitter pode ser descrito pelos seguintes passos:
1. Determine o valor mínimo de L e o valor máximo de J(t) para um determinado sistema. 2. Determine o valor máximo de ˜N que satisfaz a Equação 3.22, onde P (s) é substituído
por P (s)e−sL.
3. Calcule o valor de N por meio da Equação 3.24. 4. Calcule o valor da margem de jitter Jm(L) = Nh.
5. Verifique se o sistema é estável, ou seja, se max{J(t)} ≤ Jm(L).
Margem de fase aparente
Na teoria de controle clássica, é comum usar a margem de fase como medida de desempenho e robustez. No entanto, a margem de fase é definida apenas para sistemas sem jitter. Para contornar esse problema, Cervin et al. (2004) generalizaram o conceito estendendo a definição da margem de atraso para sistemas com atraso constante e jitter.
Definição 5 (Margem de Atraso para Sistemas com Atraso Constante e Jitter) Considere o sistema representado na Figura 3.3, assumindo um atraso constanteL e um jitter J(t), a mar- gem de atraso é definida como o maior número ˆLmpara o qual a estabilidade em malha fechada
é garantida para algum atraso variante no tempo no intervalo[L + ˆLm, L + ˆLm+ J(t)].
Expressada em termos da função margem de jitter (Jm(L)), a margem de atraso é determi-
nada pelo menor valor de ˆLmque resolve a seguinte equação:
Jm(L + ˆLm) = J(t) (3.25)
A partir da relação entre margem de fase e margem de atraso (Equação 3.16) para sistemas de controle sem jitter, uma generalização da margem de fase, denominada de margem de fase aparente, foi definida.
Definição 6 (Margem de Fase Aparente) Considere o sistema representado na Figura 3.3, assumindo que o atraso constante L e o jitter J(t) são conhecidos, a margem de fase apa- rente é definida como o maior número ϕˆm para o qual a estabilidade em malha fechada é
garantida para algumjitter ¯r ∈ [L + ˆϕm/ωc, L + ˆϕm/ωc + J(t)], onde ωc é a frequência de
corte do sistema considerando apenas o atraso constanteL.
A margem de fase aparente pode ser interpretada como o menor valor de atraso de fase em ωc, que reduz a margem de jitter ao valor do atraso variável, ou seja, Jm = J(t). Em outras
palavras, expressa-se o quanto de atraso de fase o sistema suporta de forma que o critério de estabilidade seja respeitado, e pode ser indicado por:
Jm(L + ˆϕm/ωc) = J(t) (3.26)
A estabilidade não pode ser garantida para alguns valores de L e J(t) se ˆϕm ≤ 0. Mas,
se ˆϕm > 0, a estabilidade é garantida. Um fator de degradação de desempenho (F d) pode ser
obtido pela razão entre a margem de fase aparente ( ˆϕm) e a margem de fase (ϕm), conforme
indicado pela Equação 3.27.
F d = ϕˆm ϕm
(3.27) A partir dessa equação, as seguintes observações podem ser feitas:
• Para F d > 0, o sistema é estável.
• Para F d → 1, o atraso variável causa pouca degradação ao sistema. • Para F d < 0, o sistema é instável.
Atribuição de deadline
Usando o conceito da margem de jitter, é possível atribuir um deadline relativo D (Equação 3.28) para o atraso no ciclo de operação de uma malha de controle que garante a estabilidade.
D = L + Jm(L) (3.28)
De modo semelhante, é possível atribuir um deadline relativo que, além da estabilidade, garante uma margem de fase aparente. Dado um atraso constante L e uma margem de fase aparente desejável ˆϕm < ωc(Lm − L), o nível de desempenho é garantido para a seguinte
atribuição de deadline relativo: