O Método dos Elementos Finitos é uma solução numérica, normalmente, utilizada na determinação de tensões e deformações em estruturas, que pode ser, também, utilizada na determinação da condição de estabilidade de taludes, através do Fator de Segurança.
A partir dos anos 60, com o desenvolvimento do Método dos Elementos Finitos, iniciaram-se estudos com o objetivo de aplicá-lo para a análise de estabilidade de taludes. Com esta finalidade ressaltam-se os trabalhos de BROWN e KING (1966), WHITMAN e BAILEY (1967), SMITH e HOBBS (1974), ZIENKIEWICZ, HUMPHESON e LEWIS (1975), GRIFFITHS e LANE (1999) e SMITH e GRIFFITHS (2004).
A análise elasto-plástica de problemas geotécnicos utilizando o MEF vem sendo amplamente aceita em pesquisas a vários anos, no entanto seu uso rotineiro na prática de Geotecnia ainda é limitado.
Em geral, problemas lineares como a previsão de recalques e deformações, o cálculo de quantidades de fluxo ou o estudo dos efeitos transientes devido ao adensamento, são todos de solução relativamente simples quando resolvidos pelo Método dos Elementos Finitos. Métodos tradicionais são normalmente adequados para problemas rotineiros, mas o MEF pode ser importante para o caso de geometrias complexas ou para casos com variedades de materiais.
A estabilidade de taludes representa uma área da análise geotécnica, em que o Método dos Elementos Finitos, não linear, oferece benefícios reais, se comparado com outros métodos existentes.
O Método dos Elementos Finitos representa uma boa alternativa para a análise de estabilidade de taludes, sendo acurada, versátil e requerendo menor quantidade de considerações que os métodos tradicionalmente utilizados de equilíbrio limite. Para isto,
duas técnicas são empregadas: o Método das Tensões com Superfície de Deslizamento Definida e o Método de Redução da Resistência ao Cisalhamento.
Serão propostas, nesta tese em capítulos posteriores, aplicações de análise estabilidade com o MEF para o caso de encosta natural.
3.1.1 Técnica de Tensões com Superfície de Deslizamento Definida
BROWN e KING (1966) já abordava que, se o campo de tensões em um aterro for corretamente configurado, então a superfície de deslizamento pode ser desenhada e a condição de estabilidade determinada. Este simples procedimento é utilizado no Método das Tensões com Superfície de Deslizamento Definida, considerado um método indireto ou de equilíbrio limite aperfeiçoado. Então, a partir do estado de tensões, na massa de solo, obtido através do Método dos Elementos Finitos e de posse da superfície de deslizamento, pode-se obter a condição de estabilidade de um talude, sendo a superfície definida por procura ou adotada, a partir de resultados de instrumentação de campo.
a) Fator de Segurança: O conceito de Fator de Segurança empregado neste método de
análise é similar ao aplicado nos demais métodos de equilíbrio limite, sendo FS um valor global que mensura a força da terra que leva o talude ao deslizamento, por falta de valores de c´ e φ´ suficientes na ruptura ou considerando a definição de DUNCAN (1996a), o fator pelo qual a resistência ao cisalhamento do solo deve ser dividida para levar o talude ao estado limite de equilíbrio estável. Devido a natureza dos métodos de equilíbrio limite, o Fs deve seguir duas considerações:
• O Fator de Saguraça das componentes de coesão e de atrito da resistência são iguais para todos os solos envolvidos;
• O Fs é igual para todas as fatias.
Estas condições não são necessárias na técnica de tensões por elementos finitos. Por isto, este fator pode ser denominado Fator de Estabilidade, aqui, porém, também tratado por Fator de Segurança, Fs, sendo definido como a razão entre os somatórios, ao longo da superfície de deslizamento considerada, das resistências ao cisalhamento disponíveis, Sr e das forças cisalhantes mobilizadas, Sm, determinados em fatias, como segue:
m r S S Fs Σ ∑ = [3.1]
A força de resistência disponível, para cada fatia, é calculada multiplicando-se, a resistência do solo no centro da base da fatia pelo comprimento da base. Então, considerando a equação de Mohr-Coulomb, a força de resistência disponível equivale a:
β φ φ σ β [ ' ( n w)tan ' ( a w)tan b] r S c u u u S = = + − + − [3.2] Onde:
S - Resistência ao cisalhamento efetiva do solo no centro da base da fatia;
β - Comprimento da base da fatia;
n
σ - Tensão normal no centro da base da fatia;
a
u - Poro-pressão do ar;
w
u - Poro-pressão de água;
b
φ - Ângulo de atrito interno do solo com relação à sucção.
De forma similar, a força cisalhante mobilizada, para cada fatia, é calculada multiplicando-se a tensão cisalhante mobilizada, τm no centro da base, pelo comprimento da base.
β τm
m
S = [3.3]
O Fator de Segurança local da fatia pode ser obtido pela razão entre a força de resistência cisalhante disponível na fatia e a sua força cisalhante mobilizada.
τβ β S S S local Fs m r = = ) ( [3.4]
Vale salientar que a tensão normal, σn e a tensão de cisalhamento mobilizada,
m
τ são valores obtidos através do Método dos Elementos Finitos. No entanto as equações que calculam o Fator de Segurança são lineares, isto é, não são necessárias interações para estabelecer-se o Fator de Segurança como no Método de Equilíbrio
Limite. As interações são necessárias para o cálculo de tensões por elementos finitos, mas não no cálculo de estabilidade.
b) Tensão normal e tensão de cisalhamento mobilizada: Para utilizar o Método de
Tensões por Elementos Finitos, faz-se necessário obter-se o estado de tensões; σx, σy
e τxy, normalmente através de programas de Elementos Finitos, para cada ponto de Gauss dentro da malha. Estes valores são utilizados para calcular a tensão normal e a tensão cisalhante mobilizada no centro da base de cada fatia, como segue:
• Calculam-se as tensões nos pontos de Gauss no elemento. Para calcular o estado de tensões no centro da base da fatia, é necessário, primeiro, estabelecer o estado de tensões nos nós do elemento. Isto é feito projetando-se os valores de Gauss para os nós e, então, calculando-se a média dos valores nodais obtidos de cada elemento adjacente; • A projeção é realizada com a utilização de funções de interpolação. Em forma de equação:
{ }
F N f = [3.5] Com: f - Tensão no nó do elemento;N - Matriz de funções de interpolação;
{ }
F - Valores de tensões nos pontos de Gauss.• As funções de interpolação são as mesmas que as funções padrão utilizadas para descrever uma variável dentro do elemento em termos de valores nodais, exceto as coordenadas locais que são recíprocas aos pontos de integração padrão de Gauss.
• A projeção mencionada é executada para cada elemento no problema e, com os valores para cada elemento adjacente, calcula-se a média. Uma vez completo este procedimento, σx, σy e τxy são conhecidos para cada nó de toda a malha.
A tensão normal
{ }
σn e a tensão cisalhante mobilizada{ }
τm no centro da base são calculadas utilizando-se as seguintes equações baseadas no ciclo de Möhr:θ τ θ σ σ σ σ σ cos2 2 2 2 xysen y x y x n = + + − + [3.6] θ σ σ θ τ τ 2 2 2 cos x y sen xy m − − = [3.7] Onde: x
y
σ - Tensão total na direção y no centro da base;
xy
τ - Tensão cisalhante nas direções x e y no centro da base;
θ- Ângulo medido no eixo x positivo até a linha de aplicação da tensão normal. 3.1.2 Técnica de Redução da Resistência ao Cisalhamento
Neste método, o modelo de elementos finitos é diretamente empregado para localização da superfície crítica de deslizamento na massa de solo e determinação do Fator de Segurança. Isto é realizado através de simulação de colapso com a redução progressiva dos parâmetros de resistência ao cisalhamento do solo. A visualização da ruptura do talude é verificada através de zonas, nas quais a resistência ao cisalhamento é insuficiente para resistir às tensões cisalhantes.
a) Vantagens: Os itens que seguem resumem as principais vantagens do método, sobre
os métodos “tradicionais” de equilíbrio limite na análise de estabilidade de taludes: i. Não é necessária a atribuição de hipóteses sobre a forma da superfície de ruptura. A ruptura ocorre “naturalmente” nas zonas, da massa de solo, na qual a resistência ao cisalhamento não é suficiente para resistir a aplicação das forças cisalhantes;
ii. Como não há o procedimento de fatias, no Método dos Elementos Finitos, não existe necessidade de hipóteses com relação a forças laterais das fatias. O MEF mantem o equilíbrio global até a “ruptura” ser alcançada;
iii. O Método dos Elementos Finitos, com a Técnica de Redução da Resistência ao Cisalhamento, possibilita o monitoramento, progressivamente, da ruptura total por cisalhamento.
b) Descrição resumida do Método de Redução da Resistência ao Cisalhamento: O
modelo de elementos finitos para análise de estabilidade de taludes considerando o Método de Redução da Resistência ao Cisalhamento (SMITH e GRIFFITHS, 2004 e GRIFFITHS e LANE, 1999) tem como conceito de Fator de Segurança, assim com em Duncan, 1996a: “o fator pelo qual a resistência ao cisalhamento do solo deve ser
dividida para levar o talude ao estado limite de equilíbrio estável” ou, ainda, a razão
entre a resistência ao cisalhamento atual do solo e a resistência mínima necessária para evitar a ruptura.
O procedimento utilizado por GRIFFITHS e LANE (1999) considera a análise de deformação plana de solos com comportamento elasto-plástico e critério de ruptura
Mohr-Coulomb. Os elementos são quadriláteros de oito nós com integração reduzida, quatro pontos de Gauss por elemento, na geração de cargas de gravidade, na geração da matriz de rigidez e nas fases de redistribuição de tensões do algoritmo. Neste caso, o solo é assumido, inicialmente, como elástico e o modelo gera tensões normais e cisalhantes, em todos os pontos de Gauss, dentro da rede. Estas tensões são, então, comparadas com o critério de ruptura de Mohr-Coulomb. Se as tensões em um ponto de Gauss particular localizarem-se dentro da envoltória de resistência, então esta região é considerada que permanece elástica. Se as tensões localizam-se sobre ou fora da envoltória de ruptura de Mohr-Coulomb, então esta região é considerada em escoamento. As tensões de escoamento são redistribuídas pela rede utilizando-se o algoritmo visco-plástico (PERZYNA, 1966; ZIENKIEWICZ, HUMPHESON e LEWIS, 1975 e CORNEAU, 1974). Sobretudo a ruptura por cisalhamento ocorre quando um número suficiente de pontos de Gauss escoou para permitir o desenvolvimento do mecanismo. Na ruptura, as deformações cisalhantes desenvolvem-se da base ao topo do talude.
c) Modelo de solo: O modelo utilizado, nesse estudo, considera seis parâmetros do
solo, a serem devidamente obtidos através de ensaios de laboratório, como segue: ' φ – Ângulo de atrito ' c – Coesão Ψ - Ângulo de dilatância ' E –Módulo de Young ' ν – Coeficiente de Poisson
γ- Peso específico aparente úmido
O ângulo de dilatância Ψ influi na mudança de volume do solo durante o escoamento. Sabe-se que a mudança de volume ocorrida durante o escoamento do solo é muito variável. Por exemplo, um material de densidade média, durante o cisalhamento pode apresentar, inicialmente, algum decréscimo de volume (Ψ <0) seguido de uma fase de dilatância (Ψ >0), levado, eventualmente, para escoar sob volume constante (Ψ =0). Claramente, este tipo detalhado de modelagem volumétrica é distante do escopo, de modelos elasto-plásticos, utilizado neste estudo, onde um ângulo de dilatância constante é sugerido. Como, aqui, o principal objetivo é a obtenção acurada do Fator de Segurança do talude, um valor pré-fixado de Ψ =0 é utilizado, com variação de volume igual a 0(zero) durante o escoamento. Este valor de Ψ permite que o modelo forneça
fatores de segurança confiáveis e uma indicação racional da localização e formato da potencial superfície de deslizamento (GRIFFITHS e LANE, 1999).
Os parâmetros c ' e φ' referem-se; ao intercepto de coesão e ao ângulo de atrito interno, efetivos do solo, considerando o critério de ruptura de Mohr-Coulomb. Em termos de tensões principais e considerando a compressão com sinal convencionalmente negativo (Figura 3.1), é verificada, na formulação do critério, a relação entre o raio do círculo de MohrACe a menor distância do centro do círculo de Mohr até a envoltória de resistência BC,como segue.
BC AC F = − [3.8] Com: 2 ´ ´ 3 1 σ σ + − = AC [3.9] ´ ´cos ´ 2 ´ ´ 3 1 σ φ φ σ c sen DC BD BC= + = − − + [3.10]
Tem-se, daí, a formulação:
´ ´cos 2 ´ ´ ´ 2 ´ ´ 3 1 3 1 σ φ σ σ φ σ c sen F = + − − − [3.11]
A função de ruptura F pode, então, ser interpretada como segue:
F<0, tensões dentro da envoltória de ruptura (elástico);
F=0, tensões na envoltória de ruptura (plástico);
F>0, tensões fora da envoltória de ruptura (plástico e deve ser redistribuído).
−σ'3 c' Ο φ' −σ'1 τ σ' B A C c' φ' φ' −σ'3 −σ'3 −σ'1 −σ'1 D Círculo de Mohr Envoltória de resitência Mohr-Coulomb
Figura 3.1 – Círculo de tensões e envoltória de resistência para formulação do Critério de Ruptura, Função F.
Os parâmetros elásticos E' e ν ' referem-se, respectivamente, ao módulo de Young e ao coeficiente de Poisson do solo e não obstante terem grande influência nas deformações ocorridas antes da ruptura, estes têm uma pequena influência no Fator de Segurança obtido em análise de estabilidade de taludes. Na ausência de dados significativos para E' e ν', podem ser adotados: E' = 105 kN/m2 e ν' = 0,3 (GRIFFITHS e LANE, 1999).
O peso específico aparente úmido total γ, atribuído ao solo, é proporcional às cargas nodais de peso próprio geradas pela gravidade.
Em resumo, os parâmetros mais importantes em uma análise de estabilidade de taludes por elementos finitos são, além de E' e ν', os mesmos utilizados nos métodos “tradicionais” de equilíbrio limite que são: o peso específico aparente úmido γ, os parâmetros de resistência ao cisalhamento c' e φ' e a geometria do problema.
d) Vetor de forças de massa: As forças geradas devido ao peso próprio do solo são
computadas utilizando o procedimento de acionamento da gravidade, ou “turn on”, que envolve integrais sobre cada elemento de forma, como segue:
e T V e dV N p( ) =γ
∫
e [3.12]onde N são funções de forma do elemento e o sobrescrito e refere-se ao número do elemento. Esta integral avalia o volume de cada elemento, multiplicado pelo peso específico aparente total e distribui a força vertical da rede para todos os nós. Estas forças dos elementos são incorporadas num vetor de força de gravidade global que é aplicado numa rede de elementos finitos para gerar o estado de tensões inicial do problema. Em síntese, o procedimento de acionamento da gravidade consiste em aplicar, a uma rede inicialmente descarregada, forças verticais representando o peso do material.
e) Determinação do Fator de Segurança: O Fs é o fator pelo qual a resistência ao
cisalhamento do solo ou os parâmetros originais de resistência ao cisalhamento devem ser divididos para levá-lo a iminente ruptura. Na técnica de elementos finitos com redução da resistência ao cisalhamento, o comportamento elasto-plástico da resistência é considerado para o material do talude. A resistência ao cisalhamento é progressivamente reduzida até o colapso ocorrer.
Considerando o critério de ruptura de Mohr-Coulomb para o material, a redução da resistência ao cisalhamento, na ruptura, pode ser determinada pelo Fator de Redução
de Resistência FRR, que na situação de iminente colapso equivale ao Fator de Segurança Fs seguindo a equação:
FRR FRR c FRR ' tan ' φ τ = + [3.13] ou f f c FRRτ = +tanφ [3.14]
Os parâmetros de resistência c' e φ' e que são na ruptura cf' e φf' relacionam-se, considerando a “Técnica de Redução de Resistência ao Cisalhamento” (MATSUI e SAN, 1992), como mostrado nas equações que seguem:
FRR c cf´= ´ [3.15] ) ´ tan arctan( ´ FRR f φ φ = [3.16]
Sendo FRR o Fator de Redução de Resistência ou SRF, “Strength Reduction Factor”. A técnica de redução de resistência ao cisalhamento permite a aplicação de diferentes fatores para os termos c' e φ´. Pode-se, no entanto, aplicar-se o mesmo fator para ambos os termos. Para encontrar o Fator de Segurança FS é necessário iniciar uma procura sistemática pelo FRR que levará o talude a ruptura. Quando este valor é encontrado, então, FS=FRR.
f) Ruptura: A indicação de ruptura, considerada no modelo de análise de estabilidade
por elementos finitos, aqui apresentada, é a de não convergência da solução (ZIENKIEWICZ e TAYLOR, 1989), pois não ocorre mais mobilização de resistência necessária para se manter o equilíbrio.
Quando o algoritmo não converge dentro de um número máximo de interações especificadas pelo operador, a implicação é que nenhuma distribuição de tensões pode ser encontrada de forma que seja simultaneamente apta para satisfazer ambos; o critério de ruptura de Mohr-Coulomb e o equilíbrio global. Se o algoritmo não satisfaz estes critérios, considera-se que ocorreu a “ruptura”. Ruptura de talude e a não convergência numérica ocorrem simultaneamente e são acompanhadas de um drástico crescimento dos deslocamentos nodais na rede.
Vários ensaios de laboratório mostram que a zona de deformações cisalhantes máximas, na ruptura, coincide com a superfície de cisalhamento. Com isto, considera-se que o mecanismo de ruptura do talude está diretamente relacionado com o
desenvolvimento das deformações cisalhantes na Técnica de Redução de Resistência ao Cisalhamento (MATSUI e SAN, 1992).
g) Etapas da Técnica de Redução de Resistência ao Cisalhamento: Considerando o
critério de ruptura de Mohr Coubomb, as etapas para o procura sistemática do Fator de Segurança (Fs) que leva o talude a iminente ruptura, são como segue:
I. Com o modelo de elementos finitos, utilizando-se propriedades definidas, de comportamento tensão deformações e resistência, para o material do talude, calcula-se as tensões e deformações, obtendo-se as deformações cisalhantes máximas para a situação;
II. Eleva-se o Fator de Redução de Resistência FRR e obtem-se novos parâmetros de resistência ao cisalhamento. Utilizando-se, então, as novas propriedades de resistência, no modelo, faz-se mais um cálculo, obtendo-se novas deformações cisalhantes máximas;
III. Repete-se a etapa II com o aumento sistemático de FRR até o modelo não convergir mais para uma solução, isto é, reduz-se a resistência do material até que o material atinge a iminente ruptura. O valor crítico do FRR, onde ocorre a iminente ruptura, é o Fator de Segurança Fs.
Para o caso em que o talude, inicialmente, é instável, o FRR nas etapas II e III, deve ser reduzido até que o modelo de elementos finitos apresente convergência para uma solução.
3.2 VERIFICAÇÃO DA APLICAÇÃO DO MEF PARA ANÁLISE DE