Análise de Estabilidade

O critério de estabilidade por meio da localização dos autovalores da matriz de dinâmica A para sistemas LTI não é suficiente para sistemas LPV. De fato, pode-se mostrar, por exemplos simples, que mesmo quando todos os componentes da família de sistemas LTI obtidos pelo congelamento do parâmetro são estáveis, ainda assim o sistema LPV pode ser instável. Ou seja, para o sistema LPV

˙x(t) = A(θ(t))x(t) + B(θ(t))u(t)

y(t) = C(θ(t))x(t) + D(θ(t))u(t), ∀θ ∈ PΘ

(2.23)

onde A ∈ Rn×n_{, D ∈ R}p×m _{e P}

Θ é o domínio de variação paramétrica, a condição

Re(λi(A(θ))) < 0, i = 1, ...n, ∀θ ∈ PΘ (2.24)

não é suficiente para que se infira a estabilidade. Apesar disso, existe uma noção intuitiva de que se a variação do parâmetro for suficientemente lenta, a estabilidade do conjunto de sistemas LTI implica a estabilidade do sistema LPV. Nesse contexto se insere o teorema a seguir.

Teorema 2.1. (DESOER, 1975) O sistema LPV 2.23 é globalmente estável se as condições seguintes forem válidas:

• Re(λi(A(θ))) < 0, i = 1, ...n, ∀θ ∈ PΘ, • ∃α > 0 suficientemente pequeno tal que kd

dtθ(t)k < α, ∀t ≥ 0, ∀θ ∈ PΘ.

Ainda que o Teorema 2.1 mostre que, sob condição de variação lenta do parâmetro, a estabilidade do sistema LPV pode ser determinada a partir da estabilidade LTI, ele não indica qual é o valor α que caracteriza a velocidade dessa variação. Assim, do ponto de vista prático, não se costuma inferir sobre a estabilidade de um sistema LPV pela estabilidade LTI. Faz-se, então, necessária a utilização de uma teoria mais abrangente, como a teoria de estabilidade de Lyapunov (VIDYASAGAR, 1978; KHALIL, 1996). A teoria de Lyapunov é bastante geral, de maneira que são abordados nesta seção apenas alguns pontos básicos mais interessantes para o contexto deste estudo.

Seja o sistema autônomo geral

˙x = f (x, t), x ∈ Rn_{, t ≥ t} 0

x(t0) = x0

(2.25)

Supõe-se que sejam válidas as hipóteses de existência e unicidade para a solução do sistema de equações diferenciais que regem o sistema (2.25). Além disso, supõe-se que

x0 = 0 seja um ponto de equilíbrio para o sistema4, ou seja, ∀t ≥ t0, f (0, t) = 0

Definição 2.1 (Estabilidade Assintótica Uniforme (Global)). A trajetória de equi- líbrio x ≡ 0 é dita uniformemente assintoticamente estável se:

• ∀² > 0, ∃δ(²) tal que t ≥ t0 ≥ 0, kx(t0)k < δ ⇒ kx(t)k < ², • ∃c > 0 | ∀kx(t0)k < c, x(t) → 0 quando t → ∞, sendo que

∀² > 0, ∃T (c) | ∀t > t0+ T , kx(t)k < ².

Se essas condições forem verificadas para c → ∞, então a trajetória de equilíbrio x ≡ 0 é dita globalmente uniformemente assintoticamente estável.

Definição 2.2 (Estabilidade Exponencial (Global)). A trajetória de equilíbrio x ≡ 0 é dita (globalmente) exponencialmente estável se:

• as condições de estabilidade assintótica uniforme (global) forem verificadas,

• ∃λ > 0 tal que ∀kx(t0)k < c, ∃M(x(t0)) tal que t ≥ t0 ⇒ kx(t)k ≤ Me−λt

O teorema a seguir é central na teoria de Lyapunov.

Teorema 2.2. (VIDYASAGAR, 1978) O sistema (2.25) é globalmente uniformemente assintoticamente estável se existe uma função continuamente diferenciável, V (t, x), definida sobre R+× Rn com valores em R, tal que, para todo x ∈ Rn e todo t positivo:

α1(kxk) ≤ V (t, x) ≤ α2(kxk) (2.26)

∂V ∂t +

∂V

∂xf (t, x) ≤ −α3(kxk) (2.27)

onde α1, α2 e α3 são funções definidas sobre R+ com valores em R+, contínuas, estrita-

mente crescentes, não limitadas e nulas na origem.

O primeiro membro de (2.27), que representa a derivada temporal de V , é chamado de derivada de V ao longo das trajetórias do sistema (2.25) e é definido como

˙ V (t, x) := dV dt = ∂V ∂t + ∂V ∂x dx dt = ∂V ∂t + ∂V ∂xf (2.28)

Pode-se notar que, pelo Teorema 2.2, V (t, 0) = 0 para todo t > 0.

O teorema a seguir é uma variação do Teorema 2.2. Ele faz uma extensão para funções

V que sejam continuamente diferenciáveis por partes. Por outro lado, ele particulariza

as funções αi para

αi(kxk) = λikxkc, λi > 0, c > 0 (2.29)

Além disso, V passa a ser função apenas de x.

Teorema 2.3. (PETTERSSON, 1997) O sistema (2.25) é globalmente exponencialmente estável se existe uma função continuamente diferenciável por partes, V (x), definida sobre

Rn _{com valores em R, tal que, para todo x ∈ R}n _{e todo t positivo:}

λ1kxkc≤ V (x) ≤ λ2kxkc (2.30)

˙

V (x) ≤ −λ3kxkc (2.31)

com λ1, λ2, λ3 estritamente positivas e reais.

A função V que atende as condições dos Teoremas 2.2 e 2.3 é chamada de função de Lyapunov. Essa função pode ser vista como uma medida generalizada da energia do sistema. Existe uma idéia intuitiva por trás dos Teoremas 2.2 e 2.3 de que o sistema será estável se a energia do sistema (ou a função V ) for decrescente ao longo de todas as trajetórias desse sistema. Embora não esteja explicito, a estabilidade exponencial global garante a estabilidade de um ponto de vista entrada/saída (KHALIL, 1996).

Vale destacar que, embora o Teorema 2.3 aponte para a estabilidade do sistema (2.25) caso seja possível encontrar uma função de Lyapunov para esse sistema, ele não indica como fazê-lo.

Seja, agora, a particularização do sistema autônomo (2.25) para o caso LPV ˙x = A(θ)x, x ∈ Rn_{, t ≥ t}

0

x(t0) = x0

(2.32)

Para analisar a estabilidade desse sistema, será utilizada uma função de Lyapunov V (θ, x) quadrática

V (θ, x) = xTP (θ)x (2.33)

com P (θ) simétrica. Isso porque, para sistemas lineares, a estabilidade assintótica uni- forme pode ser inferida, por meio do Teorema 2.3, utilizando-se uma função de Lya- punov quadrática (VIDYASAGAR, 1978, p.183). Uma outra característica importante dos sistemas lineares é que a estabilidade assintótica uniforme é equivalente à estabilidade exponencial (VIDYASAGAR, 1978, p.170).

Para a função de Lyapunov dependente do parâmetro, V (θ, x), a derivada ao longo das trajetórias é obtida por

˙ V (θ, x) = ∂V ∂θ dθ dt + ∂V ∂x dx dt (2.34)

Segundo o Teorema 2.3, para que V seja uma função de Lyapunov e, conseqüente- mente, o sistema seja estável, ela deve satisfazer

V (θ, x) > 0, V (θ, x) < 0,˙ x 6= 0

V (θ, 0) = 0 e V (θ, 0) = 0˙ (2.35)

A primeira restrição é satisfeita quando a matriz P (θ) é positiva definida

P (θ) = P (θ)T > 0, ∀θ ∈ PΘ (2.36)

A segunda implica, de acordo com (2.34), em

xT ∂P (θ)

∂θ dθdtx + xTP (θ)(A(θ)x) + (xTAT(θ))P (θ)x =

xT_[∂P (θ)

∂θ dθdt + P (θ)A(θ) + AT(θ)P (θ)]x < 0

(2.37)

que é satisfeito quando

∂P (θ) ∂θ dθ dt + P (θ)A(θ) + A T_{(θ)P (θ) < 0, ∀θ ∈ P} Θ (2.38)

Assim, se for possível determinar uma matriz P dependente de θ e positiva definida tal que a inequação matricial parametrizada (2.38) seja satisfeita, então V (θ, x) será uma função de Lyapunov e o sistema (2.32) será estável.

A inequação matricial (2.38) é uma Desigualdade Linear Matricial Parametrizada, ou PLMI (do inglês Parametrized Linear Matrix Inequality). Como o parâmetro θ é uma função contínua do tempo, a PLMI tem que ser satisfeita para todos os infinitos valores de θ.

Para sistemas LTI basta considerar a matriz P constante, de forma que o problema de análise de estabilidade se reduz a determinar uma matriz P = PT _{> 0 tal que}

P A + ATP < 0 (2.39)

A LMI (2.39) é condição necessária e suficiente para que a parte real dos pólos do sistema LTI seja negativa (VIDYASAGAR, 1978; KAILATH, 1980).

2.5 INTERPOLAÇÃO DE CONTROLADORES ROBUSTOS DE ESTRUTURA