Análise dos mapas conceituais

Esta análise tem por objetivo categorizar os mapas conceituais em bons ou ruins, ou seja, em mapas expressivos ou não daquilo que o aluno sabe sobre o conceito de derivada em termos de validade, organização e riqueza nas relações estabelecidas entre os conceitos.

Os resultados obtidos nesta etapa analítica dos mapas conceituais – versão final de cada estudante – podem ser observados na Tabela 3.

Tabela 3 - Resultado da aplicação da categorização por MCD

Mapas conceituais Cat.1 Cat.2 Cat.3 Cat.4

MCDP01-2 B B C B MCDP02-2 A A C A MCDP03-2 A A C A MCDP04-2 C – – – MCDP05-2 A A A A MCDP06-2 C – – – MCDP07-2 A A A A MCDP08-2 C – – – MCDP09-2 B C B B MCDP10-2 C – – – MCDP11-2 B B B B MCDP12-2 C – – – Fonte: MCDs do Apêndice C

Conforme mencionado anteriormente, os mapas que receberam avaliação C na categoria Cat.1, referente à validade das proposições formadas entre os conceitos, não foram analisados nas demais. Por esse motivo, a Tabela 3 contém campos não avaliados.

A Tabela 4 reorganiza as informações contidas na Tabela 3 de modo a agrupar os participantes conforme a avaliação recebida nas categorias.

Tabela 4 - Distribuição dos participantes por categorias

Fonte: Tabela 3

A seguir, com base no exposto, detalhamos as análises efetuadas sobre os mapas conceituais digitais construídos pelos estudantes participantes da pesquisa em cada uma das categorias definidas no início desta seção.

Quanto à validade das proposições formadas com os conceitos – (Cat.1)

Conforme a Tabela 3, na Cat.1, quatro mapas conceituais receberam avaliação A, três receberam B e cinco foram avaliados com C.

Um mapa com avaliação A, nesta categoria, possui todas as suas proposições válidas, enquanto mapas que contenham tanto proposições válidas, quanto proposições incorretas, confusas ou sem sentido, são avaliados com B.

A seguir, apresentamos os motivos que levaram os mapas conceituais MCDP04-2, MCDP06-2, MCDP08-2, MCDP10-2 e MCDP12-2 serem avaliados com C nesta categoria.

Entendemos que o autor de um mapa conceitual pode produzir proposições inválidas por diversos motivos como não possuir efetivamente qualquer conhecimento a respeito do tema ou porque suas ideias estão confusas e, por isso, não encontra meios de representá-las claramente nas proposições formadas. Categorias A B C Cat.1 P02 - P03 - P05 P07 P01 - P09 - P11 P04 - P06 - P08 P10 - P12 Cat.2 P02 - P03 - P05 P07 P01 - P11 P09 Cat.3 P05 - P07 P09 - P11 P01 - P02 - P03 Cat.4 P02 - P03 - P05 P07 P01 - P09 - P11 -

O segundo mapa conceitual do participante P04, por exemplo, apresentado no Apêndice C, sugere que este estudante não entende ou não tem clareza a respeito do conceito de derivada, e consequentemente, foi incapaz de desenhar um mapa conceitual com proposições válidas (Figura 14), mesmo partindo do conjunto de conceitos evocados pelo grupo na seção de brainstorming.

Figura 14 – Proposições inválidas no mapa MCDP04-2

Fonte: Próprio autor

Este fato leva-nos a pensar que a dúvida deste estudante, quanto à utilização da técnica dos mapas conceituais em sala de aula, talvez resida em sua dificuldade de conseguir representar graficamente seu conhecimento neste estudo e, portanto, não percebeu utilidade na ferramenta.

Ao observarmos seu perfil acadêmico, veremos que o participante P04 cursou mais de uma vez CDI. Portanto, é fato, que pelo menos durante os dois semestres matriculados na disciplina, o estudante esteve em contato de alguma forma com o tema proposto. O mesmo participante relatou que suas principais dificuldades com a disciplina de CDI foram ausência de conhecimentos prévios e a falta de compreensão devido ao ritmo dado pelo professor na apresentação dos conteúdos.

Com base no mapa apresentado por este estudante, podemos inferir que o mesmo não possui subsunçores relevantes, ancorados e disponíveis em sua estrutura cognitiva para este tema. Para a aprovação na disciplina, é provável que tenha memorizado as informações e as reteve por um período curto de tempo de forma literal e arbitrária, ou seja, de maneira mecânica. Segundo Ausubel:

[...] o esquecimento é uma continuação, ou fase temporal posterior, do mesmo processo interativo subjacente à disponibilidade do material de instrução estabelecido durante (e para) um período de tempo variável após a aprendizagem; e a mesma capacidade de subsunção necessária para a aprendizagem de recepção significativa fornece, de alguma forma e paradoxalmente, a base para o esquecimento futuro (AUSUBEL, 2002, p. 62).

Embora apareçam vários dos conceitos listados na seção de brainstorming nos mapas MCDP06-2 e MCDP08-2, tais como ‘taxa de variação’, ‘limite’ e ‘reta tangente’, encontramos, em ambos os mapas, proposições confusas ou incorretas (Figura 15). A dificuldade dos estudantes, em encontrar uma palavra ou frase de ligação para a construção de proposições válidas e pertinentes com o tema, comprometeu a possibilidade de expressar seu conhecimento através do mapa conceitual e, por isso, receberam avaliação C.

Figura 15 – Modelo de proposições confusas no mapa MCDP06-2

Fonte: Próprio autor

Segundo Meyer (2006), nos cursos de Cálculo é comum os estudantes associarem a aplicação de regras e procedimentos ao conceito de derivada, como no caso do participante P06, porém:

[...] tal processo de significação não o impede de ter sucesso na realização de tarefas ditas operatórias, mas pode contribuir para o insucesso na realização de tarefas que envolvam aspectos conceituais (MEYER, 2003, p. 4).

Os mapas MCDP10-2 e MCDP12-2, apresentados no Apêndice C, receberam avaliação C, pois não estavam de acordo com a proposta de construção de um mapa conceitual com foco no conceito de derivada utilizando o software CmapTools e os passos indicados por Novak e Cañas (2010). Enquanto o participante P10 ressaltou em seu mapa apenas aplicações da derivada, o participante P12 se deteve em aspectos marginais ao tema como mostra a Figura 16.

Figura 16 – Parte do segundo mapa conceitual do P12

Fonte: Próprio autor

Conforme dito anteriormente, apenas os mapas que possuíssem proposições válidas e relacionadas com o tema proposto seriam analisados nas demais categorias. Não faz sentido prosseguir na análise, uma vez que as proposições, elemento central da expressão do conhecimento do aprendiz, estão comprometidas ou erradas.

Quanto à hierarquização – (Cat.2)

Conforme a Tabela 3, os mapas MCDP02-2, MCDP03-2, MCDP05-2 e MCDP07-2 receberam avaliação A, pois todos os conceitos presentes nos mapas estão organizados hierarquicamente e apresentados dos mais gerais e inclusivos para os mais específicos e menos inclusivos como mostraremos mais adiante.

Empregando o mesmo critério, verificamos que os mapas MCDP01-2 e MCDP11-2 atenderam somente em parte às especificações da categoria Cat.2 e, portanto, receberam avaliação B.

O mapa MCDP09-2 foi o único a receber avaliação C. Sua organização assemelha-se mais a um mapa conceitual do tipo “teia de aranha” e, não com um do tipo hierárquico. Um mapa “teia de aranha”, segundo Tavares (2007), tem seu principal conceito colocado no meio do mapa e os demais vão se irradiando na medida em que se afastam do centro (Figura 17).

Figura 17 – Parte do MCDP09-2 – Exemplo de mapa tipo “teia de aranha”

Fonte: Próprio autor

Este tipo de organização em teia prevaleceu nas duas versões do mapa do participante P09, o que sugere que esta seja, realmente, a forma que o estudante organize seu pensamento e conhecimento a respeito da derivada.

O primeiro mapa do participante P07 (Figura 18) também é um mapa conceitual do tipo teia de aranha com o conceito ‘derivada’ no centro e os demais dispostos à sua volta. No entanto, o segundo mapa deste participante é um exemplo de mapa conceitual hierárquico e, portanto, nesta categoria, avaliado com A.

Figura 18 – Parte do mapa MCDP07-1 tipo “teia de aranha”

Um mapa hierárquico, em geral, se desdobra em vários ramos a partir de uma ideia raiz (central). A segunda versão do mapa conceitual do participante P07, representado em parte na Figura 19, tem o conceito ‘derivada’ no topo como o mais abrangente e geral que se subdivide em cinco ramos, onde os demais conceitos surgem em ordem decrescente de inclusividade.

Figura 19 – Parte do mapa MCDP07-2 organizado hierarquicamente

Fonte: Próprio autor

No primeiro ramo (da esquerda para a direita), o participante P07 traz a interpretação analítica da derivada como taxa de variação. No segundo ramo, o estudante define a derivada como inclinação da reta tangente, ou seja, apresenta a interpretação geométrica da derivada. No terceiro, temos algumas notações usuais para o conceito. No quarto, o participante P07 apresenta algumas aplicações do conceito e no quinto ramo, a integração como operação inversa da derivação. Essa ramificação pode ser tomada como indício de diferenciação progressiva.

A Figura 20 representa um ramo da estrutura hierárquica presente no mapa MCDP07-2 formado por quatro níveis que também sugere diferenciação de conceitos, já que demonstra inter-relações conceituais específicas, conforme faz notar Novak e Gowin (1996, p. 114).

O conceito que é acrescido ao ramo é sempre mais específico e menos geral que o conceito escrito acima dele. Neste caso, o conceito derivada torna-se a cada nível mais elaborado e específico evidenciando a estreita relação do participante P07 com o tema proposto.

Figura 20 – Ramo representativo da hierarquização do MCDP07-2

Fonte: Próprio autor

A seguir, analisamos com mais detalhes outros mapas com a finalidade de exemplificar e diferenciar um mapa A de um mapa B na Cat.2 em termos hierarquização e indícios de aprendizagem significativa.

É perceptível e notável a evolução e a reorganização dos conceitos entre as versões do mapa do participante P03. A primeira versão do mapa MCDP03 (Figura 21) apresenta apenas três ramos distintos partindo do conceito derivada. O P03 apresenta de forma válida a integração como a operação inversa da derivação e relacionada com os conceitos de velocidade e aceleração. Entendemos pela proposição ‘derivada’  ‘deriva de’  ‘limite’ que, embora perceba alguma ligação entre os conceitos citados, o participante P03 não consegue expressá-la de forma satisfatória em seu primeiro mapa.

Figura 21 – Parte do primeiro mapa conceitual do P03

O mapa MCDP03-2, apresentado na Figura 22, mostra a evolução, inclusão e reorganização dos conceitos nos mapas elaborados pelo participante P03.

Figura 22 – Conceitos incluídos no segundo mapa conceitual do P03

Fonte: Próprio autor

A segunda construção permitiu que o estudante refletisse a respeito das proposições formadas anteriormente e acrescentasse conceitos como ‘taxa de variação’ e ‘coeficiente angular’ conforme assinalado na Figura 22. Além disso, houve inclusão de algumas notações referentes à derivada não mencionadas no primeiro mapa como e . A inclusão do conceito ‘taxa de variação’ entre os conceitos ‘derivada’ e ‘velocidade’ explicita as relações de subordinação entre estes conceitos na estrutura cognitiva deste estudante.

O aumento no número de ramos e níveis de hierarquias do MCDP03-2 são elementos sinalizadores da ocorrência do processo de diferenciação progressiva. A segunda versão tornou as proposições ainda mais claras e as relações entre os conceitos mais complexas e distintas. Esta reorganização estrutural está de acordo com as recomendações de Novak e Cañas quando afirmam que:

É importante saber que um mapa conceitual nunca está finalizado. Uma vez concluído o mapa preliminar, é sempre necessário revisá-lo. Outros conceitos podem ser adicionados (NOVAK e CAÑAS, 2010, p. 16).

O mapa MCDP02-2 é outro mapa avaliado como A nesta categoria, pois possui todas as proposições válidas organizadas hierarquicamente, tendo a ‘derivada’ como o conceito principal, seguido de conceitos subordinados a ele como ‘taxa de variação’, ‘coeficiente angular’, ‘limite’ e ‘integral’.

Como mostra a Figura 23, no mapa MCDP02-2, o conceito ‘derivada’ engloba os conceitos de ‘taxa de variação’ e ‘coeficiente angular’. Desta forma a ‘derivada’ pode ser interpretada como ‘taxa de variação’ ou como ‘coeficiente angular’.

Figura 23 – Indício de diferenciação progressiva no MCDP02-2

Fonte: Próprio autor

Esta ramificação do conceito ‘derivada’ configura uma diferenciação progressiva, uma vez que o participante não parece apresentar dificuldades em diferenciar os conceitos mais abrangentes daqueles mais específicos.

A distribuição dos conceitos e as relações entre eles nos mapas dos participantes P02, P03, P05 e P07 evidenciam a hierarquia dos conceitos, a clareza e a compreensão de cada estudante sobre o tema tratado. A aquisição e retenção desses conceitos, provavelmente, se deram de forma significativa, afinal, tais informações ainda estão acessíveis e relacionadas entre si de maneira substantiva na estrutura cognitiva do aprendiz.

Em contraponto, os mapas MCDP01-2 e MCDP11-2 receberam avaliação B. Isso se deve ao fato de que em alguns ramos, as proposições construídas não deixam claro as ideias que os participantes queriam expressar ou tem sobre os conceitos, o que torna difícil distinguir os conceitos mais inclusivos daqueles subordinados.

A seguir, destacamos em quais pontos os mapas dos participantes P01 e P11 comprometeram a hierarquização dos conceitos.

No ramo assinalado na Figura 24 – parte do segundo mapa conceitual construído pelo participante P01 – tem-se, por exemplo, que a ‘tangente a uma curva’ também nos dá a ‘taxa de variação’ ou ‘ponto de inflexão’.

Figura 24 – Construção inadequada de ramos hierárquicos no MCDP01-2

Fonte: Próprio autor

No mapa MCDP01-2 os conceitos ‘coeficiente angular de uma reta’, ‘concavidade’, ‘ponto de máximo’ e ‘ponto de inflexão’ apresentam grau de generalização equivalente, evidenciando a falta de compreensão do estudante sobre o tema.

De modo semelhante, o mapa MCDP11-2 foi avaliado como B por atender em parte à hierarquização dos conceitos.

Conforme a Figura 25, observamos em um dos ramos do mapa MCDP11-2 a subordinação incorreta do conceito ‘taxa de variação’ ao conceito ‘ponto de máximo’ e ‘ponto de mínimo’. Ponto de mínimo não ocasiona taxa de variação assim como limite não possui ponto de máximo.

Figura 25 – Construção inadequada de ramos hierárquicos no MCDP11-2

Fonte: Próprio autor

Quanto à presença de ligações cruzadas entre as proposições – (Cat.3)

Somente os mapas MCDP05-2 e MCDP07-2 receberam avaliação A nesta categoria, pois foram os únicos a apresentar ligações cruzadas válidas – relações horizontais – entre conceitos relacionados.

A Figura 26 mostra as ligações cruzadas realizadas pelo participante P07 entre diferentes ramos do mapa conceitual. Essa relação horizontal entre diferentes ramos do conhecimento pode ser um indicativo de reconciliação integrativa ou diferenciação progressiva.

No primeiro ramo, a proposição ‘taxa de variação de uma função’ divide-se em ‘velocidade’ e ‘aceleração’. Ao mesmo tempo em que o participante distinguiu estes dois conceitos, ele os reintegra por meio de novas proposições como ‘aceleração’ depende do ‘tempo’ e da ‘velocidade’ que, por sua vez, está relacionada com a ‘inclinação da reta tangente’.

Figura 26 – Ligações cruzadas no MCDP07-2

Fonte: Próprio autor

Para Novak e Cañas (2010), as ligações cruzadas auxiliam na percepção do modo como um conceito, em um domínio de conhecimento representado no mapa, se relaciona com outro conceito de domínio diferente e são importantes para mostrar quais as relações que o estudante compreende entre os subdomínios do mapa construído.

Portanto, as ligações cruzadas no mapa MCDP07-2 evidenciam as conexões percebidas pelo estudante entre o conceito de ‘inclinação da reta tangente’ com aplicações da derivada como a ‘velocidade’ e ‘aceleração’. Porém, sentimos falta da ligação do conceito ’taxa de variação’ com sua representação simbólica

^{entre outras.}

A partir da proposição formada entre os conceitos ‘coeficiente angular’ e ‘limite dos coeficientes das secantes’, entendemos que o participante P07 percebe a relação entre as interpretações geométrica e analítica da derivada entre suas diferentes representações: numérica, gráfica e simbólica. Apesar de relatar dificuldades na disciplina de CDI, estas se referiam a percepção da utilidade dos conceitos estudados para o exercício da profissão escolhida e não relacionados diretamente com o aprendizado de tais conceitos.

Para Rogatto, Nogueira e Kato (2011) as ligações cruzadas, presentes num mapa conceitual, denotam a interação conceitual na estrutura cognitiva e ocorre quando o conhecimento ancorado não está compartimentalizado.

O segundo mapa do participante P05 apresenta dois ramos interligados. A conexão entre os ramos centrais, assinalado na Figura 27, é um elemento sinalizador da ocorrência de reconciliação integrativa e evidencia sua percepção do ‘coeficiente angular’ como representação gráfica da derivada.

Figura 27 – Indício de reconciliação integrativa no MCDP05

Fonte: Próprio autor

Quanto a presença de aplicações relacionadas ao tema – (Cat.4)

Nesta categoria todos os mapas conceituais atenderam perfeitamente às especificações e, portanto, foram avaliados como A. Um exame rápido dos mapas conceituais é suficiente para perceber a presença de exemplos de aplicações da derivada.

A predominância de aplicações vinculadas a taxa de variação como ‘velocidade’ e ‘aceleração’ nos chamou a atenção durante a análise e merece

destaque aqui. Por se tratar de estudantes de um curso de Física, é esperado que tais conceitos sejam lembrados mais que outros, uma vez que os conteúdos do currículo reforçam e direcionam o conceito de derivada à aplicações físicas relacionadas a taxa de variação.

De modo análogo, Peixoto et al (2008), analisando as respostas fornecidas por estudantes do terceiro período de um curso de bacharelado em Matemática a respeito da definição de derivada e seu campo conceitual, constataram predominância da representação gráfica e simbólica e ressaltaram o fato de que, em nenhuma das respostas, apareceu a derivada como taxa de variação.

As mesmas evidências foram encontradas por Olimpio Jr. (2006) ao perceber que licenciandos em Matemática também relacionavam o conceito de derivada apenas à sua interpretação geométrica. Embora este fato nos chame a atenção, não está nos propósitos do presente estudo analisá-lo.

Para Peixoto et al (2008, p. 186), o fato do estudante não conseguir transferir a outras situações práticas os conceitos estudados mostra que a “qualidade das aprendizagens dos estudantes ainda é estreita e bastante relacionada à aplicação de regras e procedimentos”.

Retomando os resultados apresentados na Tabela 2, as análises feitas em cada categoria e os conceitos de estrutura cognitiva hierárquica, diferenciação progressiva e reconciliação integrativa presentes na TAS, verificamos que os mapas MCDP05-2 e MCDP07-2 despontam por suas características como um bom mapa conceitual, uma vez que foram avaliados com A em todos os quesitos da análise.

Os mapas desenhados pelos participantes P05 e P07 são exemplos de bons mapas conceituais, pois possuem proposições válidas e pertinentes com o tema proposto bem como conceitos corretamente diferenciados que podem ser tomados como indícios de diferenciação progressiva e reconciliação integrativa. A riqueza das relações cruzadas estabelecidas entre os conceitos, somadas a utilização de bons exemplos de aplicações para denotar conceitos abstratos podem ser considerados fortes indicativos nestes mapas de que a aprendizagem destes estudantes possa ser qualificada como significativa.

No entanto, os mapas conceituais classificados como bons, segundo os critérios adotados neste estudo, quando confrontados com as informações obtidas a respeito do perfil acadêmico dos seus autores, não permitem extrapolar qualquer inferência causal entre, por exemplo, o número de vezes que o estudante cursou a disciplina de CDI ou a assertiva de que a disciplina não apresentou dificuldades e a produção de um bom mapa conceitual por estes estudantes. Entretanto, torna-se quase natural a formulação de hipóteses nesta direção, mas para testá-las, recomendamos um estudo mais amplo de cunho quantitativo abrangendo a maior variedade de circunstâncias possíveis.

Em contrapartida, os mapas conceituais dos participantes P04, P06, P08, P10 e P12 foram classificados como mapas conceituais ruins, seja por não atenderem às especificações das categorias ou por expressarem pouco do que o estudante sabe a respeito do conceito de derivada.

Os mapas MCDP01-2, MCDP02-2, MCDP03-2, MCDP09-2 e MCDP11-2 atenderam em parte aos critérios de análise adotados, mas possuem fortes indicativos que a aprendizagem destes estudantes está em algum lugar do continuum aprendizagem significativa – aprendizagem mecânica.

Vale lembrar que não existe um mapa conceitual correto. Segundo Moreira (2012, p. 14), um mapa conceitual é um instrumento dinâmico que reflete “a compreensão de quem o faz no momento em que o faz”.

Ao analisar e categorizar os mapas conceituais digitais construídos pelos estudantes nesta pesquisa em bons ou ruins, nosso objetivo foi o de identificar elementos que permitam avaliar se aquilo que o aluno sabe a respeito de um determinado tema corresponde aos principais conceitos esperados que saiba ao concluir a disciplina de CDI.

Com base nos resultados obtidos, identificamos nos mapas conceituais instrumentos eficazes para avaliar a aprendizagem significativa dos estudantes em conteúdos específicos do Cálculo Diferencial e Integral a partir dos conceitos de hierarquização, diferenciação progressiva e reconciliação integrativa definidos na Teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este estudo resultou de inquietações surgidas na prática docente e da busca por meios que favorecessem o processo de ensino e de aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral I. Uma das preocupações iniciais era encontrar maneiras de identificar, validar e estabelecer vínculos entre o conhecimento aprendido e o conhecimento a ser ensinado. Por isso, tornou-se fundamental a busca por ferramentas ou métodos que permitissem avaliar a aprendizagem do estudante e, assim, determinar o melhor ponto de partida para a futura instrução.

Os mapas conceituais, segundo Novak e Gowin (1996), são instrumentos capazes de identificar “o que o aluno já sabe” e de representar a organização dos conceitos em sua estrutura cognitiva. Como a técnica do Mapeamento Conceitual foi desenvolvida a partir das ideias contidas na Teoria da Aprendizagem