Análise Estatística de um Processo Espacial de Pontos

O padrão de pontos pode ser descrito por meio da densidade espacial estatística obtida a partir dos dados observados. Uma função alternativa para mensurar a distribuição espacial dos eventos é a intensidade do processo de pontos, que é proporcional à densi- dade espacial. A constante de proporcionalidade entre ambas é o número esperado de eventos do processo pontual na área A. Então, para dois processos com a mesma densidade espacial, mas com diferentes intensidades, o número de eventos observados será maior naquele com maior intensidade (BIVAND; PEBESMA; GÓMEZ-RUBIO, 2008).

A intensidade e a densidade espacial são propriedades de primeira ordem, porque mensuram a distribuição dos eventos em toda a região de estudo. Observa-se que a intensida- de e a densidade espacial não fornecem informação a respeito da interação entre dois pontos arbitrários. Tal interação é mensurada pelas propriedades de segunda ordem que representam a tendência de os eventos aparecerem em aglomerados, dispersos, independentemente (ou aleatoriamente) ou regularmente espaçados.

De acordo com Bivand, Pebesma e Gómez-Rubio (2008, p. 163), em algumas situações é difícil separar propriedades de primeira e de segunda ordem. Por exemplo, um grupo de eventos situam-se em uma localização específica por que a intensidade é maior nes- se local ou por que os eventos estão em aglomerado? Em geral, assume-se que as interações entre os pontos ocorrem em pequena escala, enquanto variações em larga escala são represen- tadas pela intensidade do processo pontual.

3.3.2.1 Processos de Poisson

O processo de Poisson fornece uma abordagem adequada a uma variedade de pro- blemas espaciais de pontos. O mesmo classifica-se em processo de Poisson homogêneo ou

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homogeneous Poisson process (HPP) e em processo de Poisson não homogêneo ou inhomo- geneous Poisson processes (IPP). O HPP e o IPP admitem que os eventos pontuais ocorram independentemente e que estejam distribuídos conforme a intensidade especificada. A princi- pal diferença entre ambos é que o HPP assume que a função de intensidade é constante; en- quanto que no IPP, a mesma varia espacialmente. Nesse sentido, o IPP é uma generalização do HPP, ou o HPP é um caso particular do IPP.

O HPP é um tipo de processo de pontos onde os eventos estão distribuídos inde- pendente e uniformemente na região A. A localização de um ponto não afeta a probabilidade de outros aparecerem em sua vizinhança e não há região onde há maior probabilidade de os eventos aparecerem. O HPP é também estacionário e isotrópico. É estacionário porque a in- tensidade é constante e a intensidade de segunda ordem depende apenas da posição relativa entre dois pontos. É isotrópico porque a intensidade de segunda ordem não varia com a rota- ção. Em resumo, o HPP tem intensidade constante e a intensidade de segunda ordem depende apenas da distância h entre os pontos, independentemente da posição relativa entre eles.

As restrições supracitadas são representadas por uma intensidade constante do processo de pontos, tal que = > , ∀ ∈ �. O HPP é, portanto, a definição formal de um processo de pontos que é CSR.

Todavia, ressalta-se que a suposição de que o processo de pontos encontra-se dis- tribuído de forma não homogênea é mais realista. Por exemplo, as distribuições da população em uma cidade ou de árvores em uma floresta são influenciadas por diversos fatores que as tornam não homogêneas.

O IPP é uma generalização do HPP, no qual a intensidade é não constante. O mesmo princípio de independência entre os eventos permanece; no entanto, a variação espaci- al pode ser mais diversa, pois os eventos têm maior probabilidade de ocorrerem em determi- nadas regiões. Nesse caso, a intensidade é uma função que varia espacialmente.

3.3.2.2 Estimação da Intensidade: Kernel Não Paramétrico

A intensidade de um processo de pontos HPP é constante. Nesse caso, o problema de estimar a intensidade é o problema de estimar uma função constante tal que o número esperado de eventos na região A (∫_� ) é igual ao número observado de casos. Uma forma de estimar a intensidade é ⁄ , sendo |�| a área da região A e n o número de pontos distri-|�| buídos em A.

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Para um IPP, pode-se estimar a intensidade de várias formas. Pode ser não para- metricamente através de uma função de kernel suavizado ou parametricamente por meio de uma função específica cujos parâmetros são estimados por maximização da probabilidade do processo de pontos.

Uma alternativa para analisar o comportamento de padrões de pontos não parame- tricamente é estimar a intensidade pontual do processo em toda região de estudo via função de kernel. Ajusta-se uma função bidimensional sobre os eventos considerados, cuja superfície é proporcional à intensidade das amostras por unidade de área. Por meio de tal função efetua-se a contagem de todos os pontos no interior de uma região de influência, ponderando-os pela distância de cada um em relação à localização de interesse, conforme Figura 3.

Figura 3 – Estimador de intensidade de distribuição de pontos.

Fonte: (DRUCK et al., 2004).

Sejam , ⋯ , as localizações de n eventos observados em uma região A e s é uma localização genérica no plano bidimensional cujo valor de intensidade deseja-se estimar. O estimador de intensidade, interpolador não paramétrico ou estimador da função de kernel em (7) é calculado a partir dos n eventos inscritos em um círculo de raio b (largura de ban- da ou bandwidth) em torno de s a uma distância ‖ − ‖ entre a posição de s e da i-ésima amostra contida no círculo (DIGGLE, 1983; DRUCK et al., 2004).

̂ _{= ∑} ‖ − ‖ _{⁄ ‖ ‖}

=

(7)

Sendo uma função de kernel simétrica ou bivariada. ‖ ‖ é uma função de correção de borda para compensar a perda de dados que há quando s está muito próximo dos limites da região A. A largura de banda b regula o nível de alisamento ou de suavização da função de kernel. Pequenos valores de b produzem muitos picos, enquanto valores grandes produzem uma função muito suave. Existem vários tipos de funções de kernel. Em (8) apresenta-se a função de kernel quártico ou biweigth em duas dimensões.

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= {� − ‖ ‖ , ∈ − ,

, � , (8)

sendo ‖ ‖ o quadrado da norma Euclidiana no ponto = , que é igual a + . Existem inúmeros métodos para a seleção da largura de banda b; no entanto, não há um método para escolher um valor para o caso geral (BIVAND; PEBESMA; GÓMEZ- RUBIO, 2008). Em geral, testam-se inúmeros valores e escolhe-se um valor que seja plausível conforme o processo sob estudo. Berman e Diggle (1989) propõem um critério para seleção da largura de banda b baseado na minimização do erro quadrático médio da função de alisa- mento de kernel quando o processo de pontos é estacionário.

Quando se estima a intensidade via função de kernel, a escolha chave não é a es- colha da função de kernel, mas da largura de banda, b. Bivand, Pebesma e Gómez-Rubio (2008, p. 167) demonstraram empiricamente que a intensidade do processo de pontos para diferentes funções de kernel produzem estimativas semelhantes para uma mesma largura de banda; no entanto, para uma mesma função de kernel, diferentes valores de largura de banda produzem resultados totalmente distintos.

No estimador de intensidade não ponderado, todos os pontos interpolados têm igual ponderação que corresponde ao inverso do número total de eventos, − . Em contrapo- sição, no estimador de intensidade ponderado, há uma ponderação específica para cada evento ou ponto . Em (9) apresenta-se o estimador de intensidade ponderado, no qual, para cada localização há um peso específico .

̂ ₌∑ [ −

− _]

=

∑₌ [ − − ]

(9)