Análise Não Linear

A análise de uma estrutura trata da obtenção de sua resposta (esforços internos, reações e deslocamentos) às combinações das ações a que é submetida. Obviamente, isto requer a escolha de um modelo de avaliação que seja o mais próximo possível de suas reais condições de utilização. Nessa escolha, segundo Souza (2011), devem ser considerados os seguintes aspectos estruturais: Rigidez; Comportamento das seções; Imperfeições iniciais (execução, fabricação ou montagem); Comportamento das ligações; e as Estabilidades local (dos elementos) e global (da estrutura em seu conjunto).

Em decorrência do material adotado (aço), o modelo constitutivo pode ser considerado elástico linear ou elastoplástico. No modelo elástico linear, admite-se que as tensões nos elementos estruturais são inferiores à tensão de escoamento do material, com tensões e deformações progredindo proporcionalmente (lei de Hooke), enquanto que no modelo de análise elastoplástico, admite-se a existência de plastificação em algumas seções da estrutura, acarretando redistribuições de esforços em estruturas estaticamente indeterminadas. Neste caso, o comportamento “tensão x deformação” do material é não linear e a análise é dita fisicamente não linear. Neste trabalho o material foi considerado elástico linear, e a não linearidade física ou do material foi desconsiderada.

No que diz respeito ao efeito dos deslocamentos sobre o comportamento da estrutura existem duas alternativas de análises, classificadas como análise de 1ª ordem e de 2ª ordem. A análise de 1ª ordem (linear) pressupõe, para as obtenções de esforços, reações e deslocamentos, que o equilíbrio da estrutura ocorra em sua posição indeformada. Este tipo de análise se justifica quando os deslocamentos são muito pequenos e a geometria deformada é praticamente idêntica à indeformada. No caso da análise de 2ª ordem (não linear), entretanto o equilíbrio da estrutura ocorre na posição deformada, gerando esforços adicionais devido à ação das forças que atuam sobre esses incrementos de deslocamentos.

Os efeitos de 2ª ordem podem ser de duas formas: locais e globais. Os efeitos de 2ª ordem locais (P-δ) ocorrem no âmbito dos elementos componentes da estrutura, enquanto

os efeitos globais (P-Δ) ocorrem em relação aos nós da estrutura. Como os efeitos de 2ª ordem

se sucedem dos deslocamentos, esses esforços adicionais produzem novos deslocamentos, configurando um comportamento geometricamente não linear.

As imperfeições iniciais ou imperfeições geométricas agem influenciando os efeitos P-δ (pela não retilinilidade de componentes da estrutura) e também os efeitos P-Δ

modelo estrutural consiste na inclusão de forças horizontais fictícias, chamadas de forças nocionais, aplicadas no nível superior da estrutura, estimadas como um percentual das ações gravitacionais atuantes (NBR 8800, 2008).

No que se refere ao aspecto do comportamento das ligações, em razão do tipo de estrutura aqui em estudo (torre engastada na base e livre no topo), considera-se que as ligações intermediárias entre os segmentos da torre (flanges aparafusados) e também a base engastada podem ser asseguradas como perfeitamente rígidas, i.e, como vínculos do tipo ideal, haja vista existirem condições propícias que favorecem o alcance deste objetivo.

Do ponto de vista da estabilidade, o projeto em estudo é considerado uma estrutura de comprimento e esbeltez elevadas, possuem peso próprio considerável e uma concentração de massa no topo. Assim, é mais adequado que a escolha da análise seja realizada por meio da análise não linear geométrica, porque permitirá o conhecimento da trajetória real de seu caminho de equilíbrio. Essa alternativa poderá favorecer estudo paralelo, no qual, uma possível flexibilidade do deslocamento imposto para o topo da torre, possa favorecê-la na condução de uma solução viável e útil.

4.2.1 Análise Não Linear pelo MEF

O Método dos Elementos Finitos (MEF) consiste na divisão da estrutura em elementos menores, ligados entre si através de nós, cujos deslocamentos em seus interiores são obtidos de funções polinomiais simples, através de interpolações, que estão correlacionadas com os pontos nodais.

Por ser um método numérico e para obtenção de melhor convergência dos resultados, pode ser necessário o uso de malha mais discretizada, sem qualquer dificuldade para implementação. Mesmo em uma estrutura 3D e de geometria complexa, sujeita aos carregamentos externos, o método consegue determinar os deslocamentos, as deformações e as tensões em todos os seus nós.

No caso da utilização da análise com não linearidade geométrica, há que se ter o cuidado quanto à possibilidade da ocorrência de pontos críticos no caminho de equilíbrio da estrutura, os quais podem ser causadores de instabilidades ou grandes deformações. Para prevenção e avaliação de situações dessa natureza, são utilizados métodos de controle, capazes de verificar possíveis descontinuidades nessas trajetórias.

Neste trabalho utilizou-se o Método de Newton-Raphson (CRISFIELD, 1991) associado a controle de carga para análise não linear da estrutura. O método consiste na realização de processo incremental-iterativo, no qual incrementos de carga são aplicados a

partir da configuração inicial da estrutura, até que se complete o carregamento total previsto. Quanto menor for o incremento de carga aplicado, mais amiúde será conhecida a trajetória de equilíbrio.

A equação de equilíbrio de um modelo de elementos finitos pode ser escrita como:

(10)

onde, é o vetor dos deslocamentos nodais globais; é o vetor das forças internas e é o vetor das forças externas. A fim de permitir a aplicação do carregamento em etapas, o vetor de forças externas é escrito como:

(11)

onde λ é o fator de carga e um carregamento de referência. Desta forma, o controle da aplicação do carregamento é realizado através de um único parâmetro, que é o fator de carga.

O vetor das forças internas pode ser avaliado a partir das contribuições dos elementos finitos, representado simbolicamente por:

=

(12)

onde, ne é o número de elementos finitos e representa as forças internas nos elementos. Para um nível de carga λ, os deslocamentos nodais podem ser calculados a partir da solução do sistema não linear

(13)

Neste trabalho, esta solução é obtida utilizando o Método de Newton-Raphson. Sendo uma solução candidata da Equação (13), tem-se, em geral, um resíduo:

(14)

Este resíduo, comumente é não nulo, uma vez que o equilíbrio só é satisfeito quando for a solução exata da Equação (13).

Uma estimativa da solução da Equação (13) pode ser obtida expandindo-se o resíduo em Série de Taylor, retendo-se apenas os termos lineares e impondo a condição de que o novo resíduo seja nulo, i.e. . Assim:

= 0 (15)

Sendo q independente de u, tem-se que

onde é a matriz de rigidez tangente avaliada para . Assim, a Equação (15) pode ser escrita como

₍₁₇₎

ou

₍₁₈₎

onde, é o vetor de incrementos dos deslocamentos, tal que:

₍₁₉₎

Desta forma, as Equações (18) e (19) são utilizadas para a determinação da nova estimativa do vetor de deslocamentos e a Equação (14) empregada para calcular o resíduo das equações de equilíbrio. Caso este resíduo seja inferior a uma tolerância predefinida as iterações são interrompidas e o fator de carga λ é incrementado, caso contrário uma nova estimativa dos deslocamentos é calculada até que a tolerância seja satisfeita.