Análise Quantitativa dos Dados

Na análise quantitativa foram comentadas as respostas dos professores ao questionário, questões 11, 15, 16 e 17 que recolheram informações sobre as concepções dos professores relativas ao “Ensino de Álgebra” com o objetivo de compará-las com as concepções de Usiskin (1995) e as abordagens para o ensino de Álgebra propostas por Bednarz, Kieran e Lee (1996). Levantamos o quantitativo de respostas, que serão comentados adiante.Ressaltamos que as demais respostas dos professores não sofreram esta análise quantitativa por terem sido pensadas como complementações para clareza das respostas que interrogavam diretamente as concepções de Usiskin (1995) sobre Álgebra e as abordagens de Bednarz, Kieran e Lee (1996) sobre o ensino de Álgebra.

Na tabela 7 estão registradas as respostas dos professores à questão 11: 11. A Álgebra é utilizada para traduzir expressões da linguagem do cotidiano

para a linguagem matemática e vice-versa.

A) Concordo B) Concordo Parcialmente C) Discordo

Esta questão objetivou recolher informação do professor sobre a utilização, quando ensinam Álgebra, da concepção de Álgebra como “Aritmética generalizada” de Usiskin.

Tabela 7: Respostas dos professores sobre a concepção de Álgebra como “Aritmética generalizada” de Usiskin (questão 11)

Respostas F. absoluta F. relativa (%)

Total 28 100

Concordo 20 71,43

Concordo Parcialmente 8 28,57

Discordo __ __

Na tabela 7, (questão 11) observa-se que, dos 28 professores:

• 20, mais da metade, concordam que a Álgebra é utilizada para traduzir expressões da linguagem do cotidiano para a linguagem matemática;

• 8 concordam parcialmente que utilizam a Álgebra para traduzir expressões da linguagem do cotidiano para a linguagem matemática. As respostas desses professores evidenciam que admitem a concepção “Álgebra como Aritmética generalizada” de Usiskin (1995). O quê os fez concordar parcialmente foi considerar esta a única forma de conceber a Álgebra, fica evidente a má interpretação da questão.

A concepção de “Álgebra como Aritmética generalizada”, de Usiskin (1995), foi expressa pela totalidade dos professores ( considerando a ressalva feita para os que concordaram parcialmente). Pela análise do conteúdo de suas respostas à questão 11 , conclui-se que, no ensino levado a efeito em suas classes, está presente a abordagem: “generalização das leis que regem os números”, de Bednarz, Kieran e Lee (1996). Esta concepção caracterizou os professores que compuseram os grupos 2, 3, 4 representados na árvore de similaridade do software C.H.I.C. (página... deste trabalho).

Na tabela 8 estão registradas as respostas dos professores à questão 15:

15. Alguns problemas de Álgebra podem ser resolvidos utilizando-se procedimentos ou algoritmos.

A) Concordo B) Concordo Parcialmente C) Discordo

Esta questão objetivou recolher informações dos professores sobre a utilização da concepção de “Álgebra como estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas” de Usiskin, quando ensinam Álgebra.

Tabela 8: Respostas dos professores sobre a concepção de "Álgebra como estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas", de Usiskin (questão 15)

Respostas F. absoluta F. relativa (%)

Total 28 100

Concordo 23 82,15

Concordo Parcialmente 2 7,14

Discordo 1 3,57

Não Respondeu 2 7,14

Os dados da tabela 8 (questão 15), mostram que, dos 28 professores:

• 2 admitem, parcialmente, a Álgebra como procedimento; • 3 discordaram ou não responderam.

A maioria dos professores, 23, admite a concepção de “Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas”, de Usiskin (1995). Suas respostas à questão 15 denotam a abordagem de Álgebra como “regras de transformações e soluções de equações”, segundo Bednarz, Kieran e Lee (1996). Este resultado está concordante com os grupos 2, 3 e 4 e o subgrupo 1.2 representado na árvore de similaridade (página deste trabalho) .

Na tabela 9 estão registradas as respostas dos professores à questão 16:

16. Os problemas envolvendo entes algébricos são resolvidos apenas aplicando-se propriedades válidas para as operações indicadas.

A) Concordo B) Concordo Parcialmente C) Discordo

Nesta questão buscou-se informação dos professores sobre a utilização da concepção de “Álgebra como estudo das estruturas algébricas” de Usiskin, quando ensinam Álgebra.

Tabela 9: Respostas dos professores sobre a concepção de "Álgebra como estudo das estruturas algébricas", de Usiskin (questão 16)

Respostas F. absoluta F. relativa (%)

Total 28 100

Concordo 7 25

Concordo Parcialmente 11 39,29

Discordo 8 28,57

Não Respondeu 2 7,14

• 7 concordaram que os problemas algébricos são sempre resolvidos como estruturas algébricas;

• 11concordaram parcialmente com o tratamento do problema algébrico sempre como estrutura algébrica;

• 10 discordam em resolver problemas algébricos como estruturas algébricas, ou não responderam.

Nesta questão 16, que buscou obter informações para inferir se a concepção “Álgebra como estudo das estruturas algébricas” estava presente na concepção dos professores sobre o “Ensino de Álgebra”, suas respostas evidenciaram um total desconhecimento desta concepção de Usiskin (1995) sobre Álgebra, como atestam algumas respostas típicas transcritas a seguir:

• “a depender da expressão, algumas são resolvidas mentalmente” (resposta de um professor que concordou ser os problemas algébricos, sempre, resolvidos como estruturas algébricas);

• “em alguns casos pode-se usar o raciocínio lógico” (resposta de um professor que concordou parcialmente com a questão);

• “não: abrange mais conteúdo envolvendo matemática” (resposta de um professor que descordou da questão).

Verificamos, também, que a maioria das respostas a esta questão não foi justificada comprovando, a nosso ver, que os professores por não trabalharem a concepção de “Álgebra como estudo das estruturas matemáticas”, nas séries dos Ensinos Fundamental e Médio, pouca familiaridade têm com esta concepção. Tal concepção, em geral, é trabalhada em cursos de graduação, como atesta Usiskin

(1995, p. 17): “O estudo de Álgebra nos cursos superiores envolve estruturas como grupos, anéis, domínios de integridade, corpos e espaços vetoriais”.

Na tabela 10 estão registradas as respostas dos professores à questão 17:

17. Um professor apresentou o seguinte problema aos seus alunos: “Prove que a soma de dois números impares é um número par.” Dois alunos apresentaram as seguintes soluções:

Aluno 1: Aluno 2:

Quem errou? Quem acertou? Explique por que errou e por que acertou? 3 + 5 = 8

9 + 3 = 12 11 + 7 = 18 13 + 15 = 28 99 + 123 = 222

Assim, somando dois números ímpares sempre teremos um número par. Com n, n’ ∈ N (2n + 1) + (2 n’ + 1) = = 2n + 1 + 2 n’ + 1 = = 2n + 2n’ + 2 = = 2 [( n + n’) + 1] = 2 n” Com (n + n’ + 1= n”) ∈ N, então 2n” é um número par.

Esta questão objetivou recolher informações dos professores sobre a utilização da concepção “Álgebra como relações entre grandezas” de Usiskin, quando ensinam Álgebra.

Tabela 10: Respostas dos professores sobre a concepção de "Álgebra como relações entre grandezas", de Usiskin (questão 17)

Respostas F. absoluta F. relativa (%)

Total 28 100

Aluno 1 acertou 7 25

Aluno 2 acertou 4 14,29

Alunos 1 e 2 não acertaram 2 7,14

Alunos 1 e 2 acertaram 14 50

Não Respondeu 1 3,57

Na tabela 10 (questão 17), observa-se que, dos 28 professores:

• 14 consideram que os problemas de Álgebra podem ser resolvidos por Aritmética;

• 2 dos professores aceitam soluções aritméticas ou algébricas para problemas de Álgebra;

• 7 confundem Álgebra com Aritmética considerando que pode-se provar em Matemática, com casos particulares;

• 4 consideram a Álgebra como generalização; • 1 não respondeu a questão.

Observa-se que, apenas, 4, dos 28 professores denotam a concepção de “Álgebra como estudo de relações entre grandezas” , de Usiskin (1995). Infere-se das respostas à questão 17 que os professores que só aceitam soluções generalizadas para problemas algébricos (4) abordam a Álgebra associando-a ao “conceito de variável e função”, de acordo com Bednarz, Kieran e Lee (1996). Tais professores

enquadram-se nos grupo 4 da árvore de similaridade produzida pelo C.H.I.C. (página ... deste trabalho).

Os demais professores (23) demonstraram não entendimento da natureza do ente algébrico:

• alguns considerando o ente algébrico como particularidade. Tratando a Álgebra como Aritmética;

• outros considerando o ente algébrico como particularidade e também como generalização. Não fazendo distinção entre o que é Álgebra e o que é Aritmética.

Na tabela 11, estão registradas as respostas dos professores à questão 9. 9. A exigência da linguagem formal no estudo de Álgebra é um dos fatores que explica a diminuição do interesse dos alunos por Álgebra.

A) Concordo B) Concordo Parcialmente C) Discordo

Esta questão coletou informações dos professores sobre a influencia da linguagem formal da Álgebra como fator impeditivos da aprendizagem dos alunos.

Tabela 11: Respostas dos professores sobre o fato da exigência da linguagem formal diminuir o interesse dos alunos por Álgebra (questão 9)

Respostas F. absoluta F. relativa (%)

Total Concordo Concordo Parcialmente Discordo 28 10 14 4 100 35,72 50 14,28

Na tabela 11 observa-se que dos 28 professores:

• 10 concordaram que a linguagem formal da Álgebra dificulta a aprendizagem dos alunos;

• 14 concordaram parcialmente que a linguagem formal da Álgebra seja um fator que dificulta a aprendizagem dos alunos;

• 4 discordam que a linguagem foram da Álgebra dificulta a aprendizagem dos alunos.

Assim, verificamos que, apenas, 4 professores discordaram com o fato da linguagem formal da Álgebra ser um fator impeditivo da aprendizagem do aluno. Os demais professores, 24, concordaram ou concordaram parcialmente com este fato. Isto, certamente, explica a situação dos 23 professores que demonstraram o não entendimento do ente algébrico como generalização, como acabamos de comentar.

Na tabela 12, estão mostradas as respostas dos professores à questão 10.

10 Conhecer a história do desenvolvimento dos conteúdos algébricos permite compreender melhor as dificuldades dos alunos ao estudar Álgebra.

A) Concordo B) Concordo Parcialmente C) Discordo

Esta questão colheu informações dos professores sobre a necessidade de se conhecer a história do desenvolvimento dos conceitos algébricos para se avaliar as dificuldades de aprendizagem dos alunos, quando trabalham nesta área da Matemática.

Tabela 12: Respostas dos professores sobre o conhecimento da história do desenvolvimento dos conteúdos algébricos para compreender as dificuldades dos alunos (questão 10).

Respostas F. absoluta F. relativa (%)

Total 28 100

Concordo 17 60,71

Concordo Parcialmente 7 25

Discordo 2 7,14

Não respondeu 2 7,14

Na tabela 12, verificamos que dos 28 professores:

• 17 concordaram, que conhecer a história do desenvolvimento dos conhecimentos algébricos ajuda a compreender a dificuldade de aprendizagem dos alunos, neste campo;

• 7 concordaram parcialmente que se compreende a dificuldade de aprendizagem dos alunos, em Álgebra, quando se conhece a história do desenvolvimento dos conceitos algébricos.

• 2 discordaram que a história dos conhecimentos algébricos ajuda a compreender as dificuldades de aprendizagem dos alunos nesta área da Matemática.

Verificamos que 24 professores concordaram ou concordaram parcialmente que o conhecimento da história do desenvolvimento dos conceitos algébricos ajuda a compreender as dificuldades de aprendizagem dos alunos, em Álgebra.

Na análise, dos dados da tabela 8 (página 86) concluímos que 23, dos 28 professores, admitem a concepção “Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas“, de Usiskin, inferimos que: provavelmente, para facilitarem a aprendizagem dos alunos, os professores trabalham a Álgebra, essencialmente, como procedimentos para resolver, por exemplo, equações.Para justificarem esta preferência na forma de conceber Álgebra como “procedimento” os professores, provavelmente, valem-se do fato histórico dos primeiros conhecimentos algébricos, elaborados pelos hindus, terem sido “apenas coleções de regras”, até hoje perpetuadas nos livros didáticos, como nos informa Eves (2002).

Conclusão

Esta pesquisa buscou investigar as concepções do professor sobre o “Ensino de Álgebra” e admitiu como hipótese, uma das seguintes possibilidades: o professor de Matemática considera que nas abordagens para o ensino de Álgebra deve-se trabalhar situações-problema cujas soluções denotam a Álgebra:

• Como Aritmética generalizada; ou

• Como procedimento; ou

• Como relações entre grandezas; ou

• Como estrutura algébrica; ou

• Como duas ou três das concepções anteriores;

ou ainda

• Como a concebeu Usiskin contemplando as quatro concepções: Aritmética generalizada, procedimentos, relações entre grandezas e estruturas algébricas.

As conclusões a que se chegou após as análises, qualitativa e quantitativa, dos dados nos leva a afirmar que dentre as possibilidades, supracitadas, que compuseram a hipótese da pesquisa e, considerando o “ou” exclusivo, que os professores evidenciaram, tanto em suas respostas ao questionário, quanto nas questões relativas aos mapas conceituais, por eles elaborados, que três concepções

de Usiskin (1995) sobre Álgebra estão implícitas em suas concepções sobre o Ensino de Álgebra. Isto foi mostrado na análise qualitativa dos quatro grupos que compuseram a árvore de similaridade construída pelo software C.H.I.C., e pelos mapas conceituais elaborados pelos professores e, ainda, pela análise quantitativa dos dados coletados chegando-se a seguinte conclusão: os professores de Matemática consideram que nas abordagens para o Ensino de Álgebra deve-se trabalhar situações-problema cujas soluções denotam a Álgebra como Aritmética generalizada, como procedimentos e como relações entre grandezas. Assim, concluímos que a hipótese estabelecida na pesquisa, foi comprovada, pois admitiu como uma possibilidade de ocorrência os professores evidenciarem três concepções abordadas por Usiskin, quando ensinam Álgebra, sendo este o resultado a que chegamos após as análises qualitativa e quantitativa dos dados.

As abordagens para o Ensino de Álgebra propostas por Bednarz, Kieran e Lee (1996), também ficaram, evidentes nas justificativas das respostas dos professores às questões de 09 a 18. Segundo nosso critério de análise os professores denotam uma atitude positiva em relação à Álgebra.

Referenciando aos fundamentos teórico-metodológicos as conclusões das análises qualitativa e quantitativa dos dados sobre as concepções e as abordagens dos professores relativas ao Ensino de Álgebra, efetuamos as seguintes observações:

• O grupo de professores (grupos 2, 3 e 4, e subgrupo 1. 2, da árvore de similaridade) que conceberam “Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas”, segundo Usiskin (1995), bem como abordam a Álgebra como recomendam Bednarz, Kieran e Lee (1996), “regras de transformações e soluções de equações”, representam a maioria dos professores pesquisados (23 dos 28 professores pesquisados).

Interpretando este significativo número de professores que trabalham a Álgebra como “procedimento” à luz da história da descoberta dos conhecimentos algébricos, como recomenda Duval (2003) diremos que tais professores podem estar influenciados por fatores externos que são os textos de Álgebra dos livros didáticos que têm raízes hindus e por isso, “são apenas coleções de regras” (EVES, 2002, p. 260), uma vez que os matemáticos hindus caracterizavam-se por apresentar uma “matemática empírica com poucas demonstrações” (EVES, 2002, p. 259 – 260). Ainda, admitindo que os professores estejam influenciados pelos textos dos livros didáticos, portanto fatores externos, ou, fatores inter-pessoais segundo Haste (1987, apud DUARTE 2004) interpretamos esta concepção dos professores para o “Ensino de Álgebra (Álgebra como procedimento) com base na definição de Artigue (1990) como “ponto de vista local” e na definição de Duroux (apud Artigue, 1990) como “conhecimentos locais”. Como esta concepção para o Ensino de Álgebra não foi a única evidenciada pelos professores pesquisados admitimos que o significativo percentual de professores que a utilizam em suas abordagens no Ensino de Álgebra, trabalham também a Álgebra não só como “regras de transformações” o que conduziria seus alunos a uma visão particularizada dos entes algébricos que, por natureza, são generalizações. E, assim procedendo poderiam estar contribuindo para efetivação de uma “aprendizagem por recepção” não significativa, de acordo com Ausubel, Novak e Hanesian (1980). Quiçá poder-se-ia, também, possibilitar ao aluno uma aprendizagem mecânica cujo material, segundo Ausubel, Novak e Hanesian (1980) “é mais facilmente esquecido”.

• O grupo de professores (distribuídos nos grupos 2, 3 e 4 da árvore de similaridade) que concebeu a “Álgebra como Aritmética generalizada”, de acordo com Usiskin (1995), e evidenciou abordar a Álgebra como “generalização das leis que regem os números”, segundo Bednarz, Kieran

e Lee (1996), representou na análise quantitativa, a totalidade dos 28 professores pesquisados.

O estudo de Álgebra “como Aritmética generalizada” conduz o aluno a uma aprendizagem significativa pois depende de conhecimentos prévios de Aritmética para que se processe a generalização. Segundo Ausubel, Novak e Hanesian (1980) trata-se de uma aprendizagem significativa, pois, neste caso: “a tarefa de aprendizagem implica relacionar […] uma nova informação a outras com as quais o aluno já esteja familiarizado” (p. 23).

• O grupo de professores (representado pelos grupos 3 e 4 da árvore de similaridade) que evidenciou, em suas respostas, conceberem a Álgebra como “estudo de relações entre grandezas”, de acordo com Usiskin (1995), e abordou a Álgebra, como “introdução do conceito de variável”, segundo Bednarz, Kieran e Lee (1996), está representado, por 4, dos 28 professores pesquisados.

Concluímos pelos resultados que acabamos de comentar que as concepções dos professores sobre o “Ensino de Álgebra” evidenciam que a Álgebra é tratada, principalmente, em situações que enfocam a “Álgebra como Aritmética generalizada” (pelos 28 professores pesquisados) e como “procedimentos para resolver certos tipos de problemas” (por 23, dos 28 professores pesquisados) sendo um menor número de professores (4, dentre os 28 professores pesquisados) que concebem a Álgebra como “relações entre grandezas”. Estas constatações vislumbram uma situação promissora no Ensino de Álgebra, pois, abordar a Álgebra das três formas diversificadas: Aritmética generalizada, procedimentos e generalização, facilita, para o aluno a construção dos conceitos algébricos como

afirma Duval (2003): “a compreensão em Matemática implica a capacidade de registro” (p. 21).

Porém, ao responder a pergunta que se constituiu no problema da pesquisa, assim formulada: “Quais as concepções dos professores de Matemática sobre o ensino de Álgebra?”, concluímos que um pequeno número de professores (4 dos 28 professores pesquisados) evidencia a concepção “Álgebra como estudo de relações entre grandezas”, de Usiskin. Tal constatação nos preocupa porque essa concepção trata o ente algébrico desvinculado de qualquer particularidade, ou seja, trata-o como generalização, diferentemente do que acontece na concepção “Álgebra como Aritmética generalizada”, evidenciada pelos 28 professores. Essa concepção, como vimos na análise qualitativa, é a abordagem de Álgebra preferida pelos professores que na tentativa de facilitar a aprendizagem dos alunos, partem sempre de casos particulares para depois generalizar.Tal procedimento poderá habituar o aluno a recorrer, sempre, a casos particulares deixando de generalizar, ou seja, não desenvolver o pensamento hipotético-dedutivo, tão necessário à demonstração.

Constatamos, também, que um número significativo de professores (23 dos 28 professores pesquisados) evidencia a concepção “Álgebra como estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas”, de Usiskin, em detrimento da concepção “Álgebra como estudo das relações entre grandezas”, de Usiskin. Essa primeira concepção poderá desenvolver, no aluno, apenas a habilidade de memorização, que, segundo Ausubel, é o nível mais elementar de ocorrência de aprendizagem, pois, tende a ser facilmente esquecida.